等差、等比数列知识与题型总结

高中数学基础强化训练 聚沙成塔 滴水穿石 基强训练基强训练 2 等差 等比数列 等差 等比数列 一 数列的概念一 数列的概念 1 数列定义 按一定次序排列的一列数叫做数列 注意与的区别 n a n a 2 通项公式的定义 如果数列的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示 那 n a 么这个公式就叫这个数列的通项公式 说明 表示数列 表示数列中的第项 表示数列的通项公式 n a n an n a f n 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 例如 n a 1 n cos n 二 等差数列二 等差数列 1 1 等差数列定义 或 1 2 nn aad n 1 1 nn aad n 2 2 等差数列的通项公式 1 1 n aand 1 已知等差数列中 等于 n a 12497 116aaaa 则 A 15 B 30 C 31 D 64 2 是首项 公差的等差数列 如果 则序号等于 n a 1 1a 3d 2005 n a n A 667 B 668 C 669 D 670 3 3 等差中项的概念 如果如果 成等差数列 那么成等差数列 那么叫做叫做与与的等差中项 的等差中项 aAbAab 成等差数列 即 aAb 2 ab A 21 2 nnn aaa 1 06 全国 I 设是公差为正数的等差数列 若 n a 123 15aaa 123 80a a a 则 111213 aaa A B C D 1201059075 4 4 等差数列的性质 1 在等差数列中 从第 2 项起 每一项是它相邻二项的等差中项 n a 2 在等差数列中 相隔等距离的项组成的数列是等差数列 n a 3 在等差数列中 对任意 n am nN nm aanm d nm aa d nm mn 4 在等差数列中 若 且 则 n amnpqN mnpq mnpq aaaa 5 5 等差数列的前和的求和公式 n 1 1 1 22 n n n aan n Snad n d a 2 n 2 1 1 2 2 n SAnBn 当 n 为奇数时 递推公式 中 naSn 1 2 n n aa n S 1 如果等差数列 n a中 345 12aaa 那么 127 aaa 高中数学基础强化训练 聚沙成塔 滴水穿石 A 14 B 21 C 28 D 35 2 2009 湖南卷文 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 已知 2 3a 6 11a 则 7 S等 于 A 13 B 35 C 49 D 63 3 若一个等差数列前 3 项的和为 34 最后 3 项的和为 146 且所有项的和为 390 则这个 数列有 A 13 项B 12 项C 11 项D 10 项 4 已知等差数列的前项和为 若 n an n S 1185212 21aaaaS 则 5 2009 全国卷 理 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 53 5aa 则 9 5 S S 6 6 等差数列前项和为 则仍成等差数列 片段和性 n an n S nnnnn SSSSS 232 质 1 等差数列 an 的前m项和为 30 前 2m项和为 100 则它的前 3m项和为 A 130 B 170 C 210 D 260 2 06 全国 II 设Sn是等差数列 an 的前n项和 若 则 3 6 S S 1 3 6 12 S S A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 8 8 判断或证明一个数列是等差数列的方法 定义法 是等差数列 常数 Nndaa nn 1 n a 中项法 是等差数列 2 21 Nnaaa nnn n a 通项公式法 是等差数列 为常数bkbknan n a 前项和公式法 是等差数列n 2 为常数BABnAnSn n a 1 已知数列满足 则数列为 n a2 1 nn aa n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 2 已知数列的通项为 则数列为 n a52 nan n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 3 已知一个数列的前 n 项和 则数列为 n a42 2 nsn n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 4 已知一个数列的前 n 项和 则数列为 n a 2 2nsn n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 5 已知一个数列满足 则数列为 n a02 12 nnn aaa n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 6 数列满足 8 求数列的通 n a 1 a022 124 nnn aaaa 且 Nn n a 项公式 高中数学基础强化训练 聚沙成塔 滴水穿石 9 9 数列最值 1 时 有最大值 时 有最小值 1 0a 0d n S 1 0a 0d n S 2 最值的求法 若已知 n S的最值可求二次函数 2 n Sanbn 的最值 n S n S 可用二次函数最值的求法 或者求出 n a中的正 负分界项 即 nN 若已知 则最值时的值 可如下确定或 n a n SnnN 1 0 0 n n a a 1 0 0 n n a a 1 等差数列中 则前 项的和最大 n a 1291 0SSa 三 等比数列三 等比数列 定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那 么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母 表示 即 q 0 q 1n a 0 n aq q 1 1 递推关系与通项公式 递推关系与通项公式 mn mn n n nn qaa qaa aa 推广 通项公式 递推关系 1 1 1 q 1 在等比数列中 则 n a 3 7 12 2aq 19 a 2 在等比数列中 则 n a2 2 a54 5 a 8 a 2 2 等比中项 若三个数 等比中项 若三个数成等比数列 则称成等比数列 则称为为的等比中项 的等比中项 cba bca与 1 2009 重庆卷文 设 n a是公差不为 0 的等差数列 1 2a 且 136 a a a成等比数列 则 n a的前n项和 n S A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 3 3 等比数列的基本性质 等比数列的基本性质 1 1 1 qpnm aaaaqpnm 则若 Nqpnm其中 2 2 Nnaaa a a q mnmnn m nmn 3 为等比数列 则下标成等差数列的对应项成等比数列 n a 4 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列 n a n a 1 等比数列中 和是方程的两个根 则 n a 1 a 10 a 2 2510 xx 47 aa 高中数学基础强化训练 聚沙成塔 滴水穿石 5 2 A 2 2 B 1 2 C 1 2 D 2 在等比数列 已知 则 n a5 1 a100 109 aa 18 a 3 等比数列的各项为正数 且 n a 56473132310 18 loglogloga aa aaaa 则 A 12 B 10 C 8 D 2 3 log 5 4 4 等比数列的前 等比数列的前 n n 项和 项和 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 1 在各项都为正数的等比数列中 首项 前三项和为 21 则 n a 1 3a 345 aaa A 33 B 72 C 84 D 189 5 5 等比数列的前等比数列的前 n n 项和的性质项和的性质 若数列是等比数列 是其前 n 项的和 那么 成 n a n S Nk k S kk SS 2kk SS 23 等比数列 1 2009 辽宁卷理 设等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 若 6 3 S S 3 则 6 9 S S A 2 B 7 3 C 8 3 D 3 2 一个等比数列前项的和为 48 前 2项的和为 60 则前 3项的和为 nnn A 83 B 108 C 75 D 63 6 6 等比数列的判定法 1 定义法 为等比数列 常数 q a a n n 1 n a 2 中项法 为等比数列 0 2 2 1nnnn aaaa n a 3 通项公式法 为等比数列 为常数 qkqka n n n a 4 前项和法 为等比数列 n 为常数 qkqkS n n 1 n a 为等比数列 为常数 qkkqkS n n n a 1 已知数列的通项为 则数列为 n a n n a2 n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是