2011年高考数学试题分类汇编 三角函数

三 三角函数三 三角函数 一 选择题 1 重庆理 6 若 ABC 的内角 A B C 所对的边 a b c 满足 22 ab4c 且 C 60 则 ab 的值为 A 4 3 B 8 4 3 C 1 D 2 3 答案 A 2 浙江理 6 若 0 2 0 2 1 cos 43 3 cos 423 则 cos 2 A 3 3 B 3 3 C 5 3 9 D 6 9 答案 C 3 天津理 6 如图 在 ABC中 D是边AC上的点 且 23 2ABCDABBD BCBD 则sinC的值为 A 3 3 B 3 6 C 6 3 D 6 6 答案 D 4 四川理 6 在 ABC 中 222 sinsinsinsinsinABCBC 则 A 的取值范围是 A 0 6 B 6 C 0 3 D 3 答案 C 解析 由题意正弦定理 222 222222 1 1cos0 23 bca abcbcbcabcAA bc 5 山东理 6 若函数 sinf xx 0 在区间 0 3 上单调递增 在区间 3 2 上 单调递减 则 A 3 B 2 C 3 2 D 2 3 答案 C 6 山东理 9 函数 2sin 2 x yx 的图象大致是 答案 C 7 全国新课标理 5 已知角 的顶点与原点重合 始边与 x 轴的正半轴重合 终边在直线 2yx 上 则cos2 A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 答案 B 8 全国大纲理 5 设函数 cos 0 f xx 将 yf x 的图像向右平移3 个单位长 度后 所得的图像与原图像重合 则 的最小值等于 A 1 3 B 3 C 6 D 9 答案 C 9 湖北理 3 已知函数 3sincos f xxx xR 若 1f x 则 x 的取值范围为 A 3 x kxkkZ B 22 3 xkxkkZ C 5 66 x kxkkZ D 5 22 66 xkxkkZ 答案 B 10 辽宁理 4 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c asinAsinB bcos2A a2 则 a b A 2 3 B 2 2 C 3 D 2 答案 D 11 辽宁理 7 设 sin 1 43 则sin2 A 7 9 B 1 9 C 1 9 D 7 9 答案 A 12 福建理 3 若 tan 3 则 2 sin2 cos a 的值等于 A 2 B 3 C 4 D 6 答案 D 13 全国新课标理 11 设函数 sin cos f xxx 0 2 的最小正 周期为 且 fxf x 则 A yf x 在 0 2 单调递减 B yf x 在 3 44 单调递减 C yf x 在 0 2 单调递增 D yf x 在 3 44 单调递增 答案 A 14 安徽理 9 已知函数 sin 2 f xx 其中 为实数 若 6 f xf 对x R 恒 成立 且 2 ff 则 f x 的单调递增区间是 A 36 kkkZ B 2 kkkZ C 2 63 kkkZ D 2 kkkZ 答案 C 二 填空题 15 上海理 6 在相距 2 千米的A B两点处测量目标C 若 00 75 60CABCBA 则A C两点之间的距离是 千米 答案 6 16 上海理 8 函数 sin cos 26 yxx 的最大值为 答案 23 4 17 辽宁理 16 已知函数 xf Atan x 2 0 y xf 的部分图像如下 图 则 24 f 答案 3 18 全国新课标理 16 ABC 中 60 3 BAC 则 AB 2BC 的最大值为 答案 2 7 19 重庆理 14 已知 1 sincos 2 且 0 2 则 cos2 sin 4 的值为 答案 14 2 20 福建理 14 如图 ABC 中 AB AC 2 BC 2 3 点 D 在 BC 边上 ADC 45 则 AD 的长度等于 2 答案 21 北京理 9 在 ABC 中 若 b 5 4 B tanA 2 则 sinA a 答案 102 5 52 22 全国大纲理 14 已知 a 2 sin 5 5 则 tan2 答案 4 3 23 安徽理 14 已知 ABC 的一个内角为 120o 并且三边长构成公差为 4 的 等差数列 则 ABC 的面积为 答案 315 24 江苏 7 已知 2 4 tan x 则 x x 2tan tan 的值为 答案 9 4 三 解答题 25 江苏 9 函数 sin wAwxAxf 是常数 0 0 wA 的部分图象如图所 示 则 f 0 答案 2 6 26 北京理 15 已知函数 4cos sin 1 6 f xxx 求 f x 的最小正周期 求 f x 在区间 6 4 上的最大值和最小值 解 因为 1 6 sin cos4 xxxf 1 cos 2 1 sin 2 3 cos4 xxx 1cos22sin3 2 xx xx2cos2sin3 6 2sin 2 x 所以 xf 的最小正周期为 因为 3 2 6 2 6 46 xx所以 于是 当 6 26 2 xx即 时 xf 取得最大值 2 当 6 66 2xfxx时即 取得最小值 1 27 江苏 15 在 ABC 中 角 A B C 所对应的边为 cba 1 若 cos2 6 sin AA 求 A 的值 2 若 cbA3 3 1 cos 求 Csin 的值 本题主要考查三角函数的基本关系式 两角和的正弦公式 解三角形 考查运算求解能力 解 1 由题设知 0cos cos3sin cos2 6 sincos 6 cossin AAAAAA所以从而 3 0 3tan AaA所以因为 2 由 cos23 3 1 cos 222222 cbaAbccbacbA 得及 故 ABC 是直角三角形 且 3 1 cossin 2 ACB所以 28 安徽理 18 在数 1 和 100 之间插入n个实数 使得这 2n 个数构成递增的等比数列 将这 2n 个数的 乘积记作 n T 再令 lg nn aT 1n 求数列 n a 的通项公式 设 1 tantan nnn baa A 求数列 n b 的前n项和 n S 本题考查等比和等差数列 指数和对数的运算 两角差的正切公式等基本知识 考查灵活运 用知识解决问题的能力 综合运算能力和创新思维能力 解 I 设 221 n lll 构成等比数列 其中 100 1 21 n tt 则 2121 nnn ttttT 1221 ttttT nnn 并利用 得 21 102 2131 nitttt nin 1 2lg 10 2 2 12211221 2 nnTattttttttT nn n nnnnn II 由题意和 I 中计算结果 知 1 3tan 2tan nnnbn 另一方面 利用 tan 1tan 1 tan 1tan 1tan 1tan kk kk kk 得 1 1tan tan 1tan tan 1tan kk kk 所以 2 31 tan 1tan n k n k kn kkbS 1tan 3tan 3tan 1 1tan tan 1tan 2 3 n n kk n k 29 福建理 16 已知等比数列 an 的公比 q 3 前 3 项和 S3 13 3 I 求数列 an 的通项公式 II 若函数 sin 2 0 0 f xAxAp 在 6 x 处取得最大值 且最大值 为 a3 求函数 f x 的解析式 本小题主要考查等比数列 三角函数等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 满分 13 分 解 I 由 3 1 3 1 3 1313 3 31 33 a qS 得 解得 1 1 3 a 所以 12 1 33 3 nn n a II 由 I 可知 2 3 3 3 n n aa 所以 因为函数 f x 的最大值为 3 所以 A 3 因为当 6 x 时 f x 取得最大值 所以 sin 2 1 6 又 0 6 故 所以函数 f x 的解析式为 3sin 2 6 f xx 30 广东理 16 已知函数 1 2sin 36 f xxxR 1 求 5 4 f 的值 2 设 106 0 3 32 22135 faf 求cos 的值 解 1 515 2sin 4346 f 2sin2 4 2 101 32sin32sin 132326 f 61 32 2sin 32 2sin2cos 5362 f 53 sin cos 135 2 2 512 cos1sin1 1313 2 2 34 sin1cos1 55 故 3125456 cos coscossinsin 51313565 31 湖北理 16 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1 1 2 cos 4 abC 求 ABC 的周长 求 cos AC 的值 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识 同时考查基本运算能力 满分 10 分 解 222 1 2cos1444 4 cababC 2 c ABC 的周长为 1225 abc 22 1115 cos sin1cos1 444 CCC 15 sin15 4 sin 28 aC A c acAC 故 A 为锐角 22 157 cos1sin1 88 AA 71151511 cos coscossinsin 848816 ACACAC 32 湖南理 17 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 csinA acosC 求角 C 的大小 求 3 sinA cos B 4 的最大值 并求取得最大值时角 A B 的大小 解析 I 由正弦定理得sin sinsincos CAAC 因为0 A 所以 sin0 sincos cos0 tan1 4 ACCCCC 从而又所以则 II 由 I 知 3 4 BA 于是 3sincos 3sincos 4 3sincos2sin 6 311 0 46612623 ABAA AAA AAAA 从而当即时 2sin 6 A 取最大值 2 综上所述 3sincos 4 AB 的最大值为 2 此时 5 312 AB 33 全国大纲理 17 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 己知 A C 90 a c 2b 求 C 解 由 2acb 及正弦定理可得 sin sin2sin ACB 3 分 又由于 90 180 ACBAC 故 cos sin2sin CCAC 2sin 902 C 2cos2 C 7 分 22 cossincos2 22 CCC cos 45 cos2 CC 因为0 90C 所以2 45 CC 15C 34 山东理 17 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 cosA 2cosC2c a cosBb I 求 sin sin C A的值 II 若 cosB 1 4 b 2 ABC 的面积 S 解 I 由正弦定理 设 sinsinsin abc k ABC 则 22 sinsin2sinsin sinsin cakCkACA bkBB 所以 cos2cos2sinsin cossin ACCA BB 即 cos 2cos sin 2sinsin cosACBCAB 化简可得sin 2sin ABBC 又A BC 所以sin 2sinCA 因此 sin 2 sin C A II 由 sin 2 sin C A 得 2 ca 由余弦定理 222 222 1 2coscos 2 4 1 44 4 bacacBBb aa 及 得4 a 解得 a 1 因此 c 2 又因为 1 cos 4 BGB 且 所以 15 sin 4 B 因此 111515 sin1 2 2244 SacB 35 陕西理 18 叙述并证明余弦定理 解 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦 之积的两倍 或 在 ABC 中 a b c 为 A B C 的对边 有 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 证法一 如图 2 aBCBC ACABACAB 22 2ACACABAB 22 2cosbbcAc 22 2ACACAB COSAAB 即 222 2cosabcbcA 同理可证 222 2cosbacacB 222 2coscababC 证法二 已知 ABC 中 A B C 所对边分别为 a b c 以 A 为原点 AB 所在直线为 x 轴 建立直 角坐标系 则 cos sin 0 C bA bA B c 2222 cos sin aBCbAcbA 22222 cos2cossinbAbcAcbA 222 2cosbacacB 同理可证 222 222 2cos 2cos bcacaB cababC 36 四川理 17 已知函数 73 sin cos 44 f xxxxR 1 求 f x 的最小正周期和最小值 2 已知 44 cos cos 0 552 a 求证 2 20f 解析 7733 sin coscos sincos cossin sin 4444 2sin2cos 2sin 4 f xxxxx xx x max 2 2Tf x 2 4 cos coscossinsin 1 5 4 cos coscossinsin 2 5 coscos0 0cos0 22 2 2 20ff 37 天津理 15 已知函数 tan 2 4 f xx 求 f x 的定义域与最小正周期 II 设 0 4 若 2cos2 2 f 求 的大小 本小题主要考查两角和的正弦 余弦 正切公式 同角三角函数的基本关系 二倍角的正弦 余弦公式 正切函数的性质等基础知识 考查基本运算能力 满分 13 分 I 解 由 2 42 xkkZ 得 82 k xkZ 所以 f x 的定义域为 82 k xR xkZ f x 的最小正周期为 2 II 解 由 2cos2 2 a fa 得 tan 2cos2 4 aa 22 sin 4 2 cossin cos 4 a aa a 整理得 sincos 2 cossin cossin cossin aa aaaa aa 因为 0 4 a 所以sin cos0 aa 因此 2 11 cossin sin2 22 aaa 即 由 0 4 a 得