《概率论与数理统计》课后习题答案chapter1

1 习题习题 1 1 解答解答 1 将一枚均匀的硬币抛两次 事件分别表示 第一次出现正面 两次CBA 出现同一面 至少有一次出现正面 试写出样本空间及事件中的样本点 CBA 解 解 正 正正 正 正 反 反 正 反 反 正 反 反 正 反 反 正 正正 正 正 反 正 反 正 正 反 反 正 正 反 反 A B 正 正正 正 正 反 反 正 正 反 反 正 C 2 在掷两颗骰子的试验中 事件分别表示 点数之和为偶数 点数DCBA 之和小于 5 点数相等 至少有一颗骰子的点数为 3 试写出样本空间及 事件中的样本点 DCBABCCABAAB 解 解 6 6 2 6 1 6 6 2 2 2 1 2 6 1 2 1 1 1 1 3 2 2 3 1 1 1 AB 1 2 2 1 6 6 4 6 2 6 5 1 3 1 1 1 BA CA 2 2 1 1 BC 4 6 2 6 1 5 6 4 2 4 6 2 4 2 5 1 DCBA 3 以分别表示某城市居民订阅日报 晚报和体育报 试用表示以下CBA CBA 事件 1 只订阅日报 2 只订日报和晚报 3 只订一种报 4 正好订两种报 5 至少订阅一种报 6 不订阅任何报 7 至多订阅一种报 8 三种报纸都订阅 9 三种报纸不全订阅 解 解 1 2 3 CBACABCBACBACBA 4 5 BCACBACAB CBA 6 7 或或CBACBACBACBACBA CBCABA 8 9 ABCCBA 4 甲 乙 丙三人各射击一次 事件分别表示甲 乙 丙射中 试说明 321 AAA 下列事件所表示的结果 2 A 32 AA 21A A 21 AA 321 AAA 313221 AAAAAA 解 甲未击中 乙和丙至少一人击中 甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有 一人未击中 甲和乙都未击中 甲和乙击中而丙未击中 甲 乙 丙三人至少有 两人击中 5 设事件满足 试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和 CBA ABC CBA CAB ACB 解 解 如图 2 BCACB CABAB BCACBACABACB CCABCAB CBACBABCAABCCABCBACBACBA 6 若事件满足 试问是否成立 举例说明 CBA CBCA BA 解 解 不一定成立 例如 5 4 3 A 3 B 5 4 C 那么 但 CBCA BA 7 对于事件 试问是否成立 举例说明 CBA CBACBA 解 解 不一定成立 例如 5 4 3 A 6 5 4 B 7 6 C 那么 但是 3 CBA 7 6 3 CBA 8 设 2 1 BP 试就以下三种情况分别求 3 1 AP ABP 1 2 3 ABBA 8 1 ABP 解 解 1 2 1 ABPBPABBPABP 2 6 1 APBPABPABP 3 8 3 8 1 2 1 ABPBPABBPABP 9 已知 求事件 4 1 CPBPAP 16 1 BCPACP0 ABP 全不发生的概率 CBA CBACBA CBA ABC BCA CAB CBA A B C CBA 3 解 解 1 CBAPCBAPCBAP 1ABCPBCPACPABPCPBPAP 8 3 0 16 1 16 1 0 4 1 4 1 4 1 1 10 每个路口有红 绿 黄三色指示灯 假设各色灯的开闭是等可能的 一个人骑 车经过三个路口 试求下列事件的概率 三个都是红灯 全红 A 全绿 全黄 无红 无绿 三次颜色 B C D E F 相同 颜色全不相同 颜色不全相同 G H 解 解 27 1 333 111 CPBPAP 27 8 333 222 EPDP 9 1 27 1 27 1 27 1 FP 9 2 333 3 GP 9 8 9 1 1 1 FPHP 11 设一批产品共 100 件 其中 98 件正品 2 件次品 从中任意抽取 3 件 分三 种情况 一次拿 3 件 每次拿 1 件 取后放回拿 3 次 每次拿 1 件 取后不放回拿 3 次 试求 1 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率 2 取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率 解 解 一次拿 3 件 1 2 0588 0 3 100 1 2 2 98 C CC P0594 0 3 100 1 98 2 2 2 98 1 2 C CCCC P 每次拿一件 取后放回 拿 3 次 1 2 0576 0 3 100 982 3 2 P0588 0 100 98 1 3 3 P 每次拿一件 取后不放回 拿 3 次 1 0588 0 3 9899100 97982 P 2 0594 0 9899100 969798 1 P 12 从中任意选出 3 个不同的数字 试求下列事件的概率 9 2 1 0 50 1 与三个数字中不含 A 50 2 或三个数字中不含 A 4 解 解 15 7 3 10 3 8 1 C C AP 或 15 142 3 10 3 8 3 9 2 C CC AP 15 14 1 3 10 1 8 2 C C AP 13 从中任意选出 4 个不同的数字 计算它们能组成一个 4 位偶数的9 2 1 0 概率 解 解 90 4145 4 10 2 8 3 9 P PP P 14 一个宿舍中住有 6 位同学 计算下列事件的概率 1 6 人中至少有 1 人生日在 10 月份 2 6 人中恰有 4 人生日在 10 月份 3 6 人中恰有 4 人生日在同一月份 解 解 1 2 41 0 12 11 1 6 6 P00061 0 12 11 6 24 6 C P 3 0073 0 12 11 6 24 6 1 12 CC P 15 从一副扑克牌 52 张 任取 3 张 不重复 计算取出的 3 张牌中至少有 2 张花色相同的概率 解 解 或或602 0 3 52 1 39 2 13 1 4 3 13 1 4 C CCCCC P602 0 1 3 52 1 13 1 13 1 13 3 4 C CCCC P 5 习题习题 1 2 解答解答 1 假设一批产品中一 二 三等品各占 60 30 10 从中任取一件 结果不 是三等品 求取到的是一等品的概率 解 解 令 取到的是 等品 i Ai3 2 1 i 3 2 9 0 6 0 3 1 3 31 31 AP AP AP AAP AAP 2 设 10 件产品中有 4 件不合格品 从中任取 2 件 已知所取 2 件产品中有 1 件不 合格品 求另一件也是不合格品的概率 解 解 令 两件中至少有一件不合格 两件都不合格 A B 5 1 1 1 2 10 2 6 2 10 2 4 C C C C AP BP AP ABP ABP 3 为了防止意外 在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II 两种报警系统单独使用 时 系统 I 和 II 有效的概率分别 0 92 和 0 93 在系统 I 失灵的条件下 系统 II 仍有效 的概率为 0 85 求 1 两种报警系统 I 和 II 都有效的概率 2 系统 II 失灵而系统 I 有效的概率 3 在系统 II 失灵的条件下 系统 I 仍有效的概率 解 解 令 系统 有效 系统 有效 A B 则85 0 93 0 92 0 ABPBPAP 1 BAPBPBABPABP 862 0 85 0 92 0 1 93 0 ABPAPBP 2 058 0 862 0 92 0 ABPAPABAPABP 3 8286 0 93 0 1 058 0 BP BAP BAP 4 设1 0 AP 证明事件与独立的充要条件是AB ABPABP 证 证 与独立 与也独立 A BA B BPABPBPABP ABPABP 1 01 0 APAP 又 AP BAP ABP AP ABP ABP 而由题设 AP BAP AP ABP ABPABP 6 即 1 ABPBPAPABPAP 故与独立 BPAPABP AB 5 设事件与相互独立 两个事件只有发生的概率与只有发生的概率都ABAB 是 求和 4 1 AP BP 解 解 又与独立 4 1 BAPBAP AB 4 1 1 BPAPBPAPBAP 4 1 1 BPAPBPAPBAP 4 1 2 APAPBPAP 即 2 1 BPAP 6 证明 若 0 0 则有 AP BP 1 当与独立时 与相容 ABAB 2 当与不相容时 与不独立 ABAB 证明 证明 0 0 BPAP 1 因为与独立 所以AB 与相容 0 BPAPABPAB 2 因为 而 0 ABP0 BPAP 与不独立 BPAPABP AB 7 已知事件相互独立 求证与也独立 CBA BA C 证明 证明 因为 相互独立 ABC BCACPCBAP CPBAPCPABPBPAP CPBPAPCPBPCPAP ABCPBCPACP 与独立 BA C 8 甲 乙 丙三机床独立工作 在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别 为 0 7 0 8 和 0 9 求在这段时间内 最多只有一台机床需要工人照顾的概率 解 解 令分别表示甲 乙 丙三机床不需要工人照顾 321 AAA 那么9 0 8 0 7 0 321 APAPAP 令表示最多有一台机床需要工人照顾 B 7 那么 321321321321 AAAAAAAAAAAAPBP 902 0 1 08 07 08 02 07 09 08 03 09 08 07 0 321321321321 AAAPAAAPAAAPAAAP 9 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 称为元件的可 10 pp 靠性 假设各元件能否正常工作是相互独立的 计算下面各系统的可靠性 解 解 令 系统 正常工作 系统 正常工作 A B 第 个元件正常工作 i Aini2 2 1 相互独立 ni AAAPAP 221 那么 22121nnnn AAAAAAPAP 2 2 2 2 1 2 11 22122121 nnnn n i i n ni i n i i nnnnn PPPP APAPAP AAAPAAAPAAAP 22211nnnn AAAAAAPBP nn n i n i iniini n i ini PPPP APAPAPAP AAP 2 2 1 2 1 1 10 10 张奖券中含有 4 张中奖的奖券 每人购买 1 张 求 1 前三人中恰有一人中奖的概率 2 第二人中奖的概率 解 解 令 第 个人中奖 i Ai3 2 1 i 1 321321321 AAAAAAAAAP 注 利用第 7 题的方法可以证 明与 ini AA jnj AA 时独立 ji 系统 I 12n n 1n 22n 系统 II 1 n 1 2 n 2 n 2n 8 321321321 AAAPAAAPAAAP 213121 213121213121 AAAPAAPAP AAAPAAPAPAAAPAAPAP 2 1 8 5 9 4 10 6 8 4 9 5 10 6 8 5 9 6 10 4 或 2 1 3 10 2 6 1 4 C CC P 2 1211212 AAPAPAAPAPAP 5 2 9 4 10 6 9 3 10 4 11 在肝癌诊断中 有一种甲胎蛋白法 用这种方法能够检查出 95 的真实患者 但也有可能将 10 的人误诊 根据以往的记录 每 10 000 人中有 4 人患有肝癌 试求 1 某人经此检验法诊断患有肝癌的概率 2 已知某人经此检验法检验患有肝癌 而他确实是肝癌患者的概率 解 解 令 被检验者患有肝癌 用该检验法诊断被检验者患有肝癌 B A 那么 0004 0 10 0 95 0 BPBAPBAP 1 BAPBPBAPBPAP 10034 0 1 09996 0 95 0 0004 0 2 BAPBPBAPBP BAPBP ABP 0038 0 1 09996 0 95 0 0004 0 95 0 0004 0 12 一大批产品的优质品率为 30 每次任取 1 件 连续抽取 5 次 计算下列事 件的概率 1 取到的 5 件产品中恰有 2 件是优质品 2 在取到的 5 件产品中已发现有 1 件是优质品 这 5 件中恰有 2 件是优质品 解 解 令 5 件中有 件优质品 i Bi5 4 3 2 1 0 i 1 3087 0 7 0 3 0 322 52 CBP 2 0 02 02 5 1 2 BP BBP BBPBBP i i 371 0 7 0 1 3087 0 1 5 0 2 BP BP 9 13 每箱产品有 10 件 其次品数从 0 到 2 是等可能的 开箱检验时 从中任取 1 件 如果检验是次品 则认为该箱产品不合格而拒收 假设由于检验有误 1 件正品 被误检是次品的概率是 2 1 件次品被误判是正品的概率是 5 试计算 1 抽取的 1 件产品为正品的概率 2 该箱产品通过验收的概率 解 解 令 抽取一件产品为正品 A 箱中有 件次品 i Ai2 1 0 i 该箱产品通过验收 B 1 9 0 10 10 3 1 2 0 2 0 ii ii i AAPAPAP 2 ABPAPABPAPBP 887 0 05 0 1 098 0 9 0 14 假设一厂家生产的仪器 以概率 0 70 可以直接出厂 以概率 0 30 需进一步调 试 经调试后以概率 0 80 可以出厂 并以概率 0 20 定为不合格品不能出厂 现该厂 新生产了台仪器 假设各台仪器的生产过程相互独立 求 2 nn 1 全部能出厂的概率 2 其中恰有 2 件不能出厂的概率 3 其中至少有 2 件不能出厂的概率 解 解 令 仪器需进一步调试 仪器能出厂 A B 仪器能直接出厂 仪器经调试后能出厂 A AB 显然 ABAB 那么8 0 3 0 ABPAP 24 0 8 03 0 ABPPAABP 所以94 0 24 0 7 0 ABPAPBP 令 件中恰有 件仪器能出厂 i Bnini 1 0 1 n n BP 94 0 2 222222 2 06 0 94 0 06 0 94 0 n n nn nn CCBP 3 nn nnn n k k CBPBPBP 94 0 94 0 06 0 1 1 11 1 2 0 15 进行一系列独立试验 每次试验成功的概率均为 试求以下事件p 的概率 1 直到第次才成功 r 2 第次成功之前恰失败次 rk 3 在次中取得次成功 n 1 nrr 10 4 直到第次才取得次成功 n 1 nrr 解 解 1 1 1 r ppP 2 krr kr ppCP 1 1 1 3 rnrr n ppCP 1 4 rnrr n ppCP 1 1 1 16 对飞机进行 3 次独立射击 第一次射击命中率为 0 4 第二次为 0 5 第三次 为 0 7 击中飞机一次而飞机被击落的概率为 0 2 击中飞机二次而飞机被击落的概率 为 0 6 若被击中三次 则飞机必被击落 求射击三次飞机未被击落的概率 解 解 令 恰有 次击中飞机 i Ai3 2 1 0 i 飞机被击落 B 显然 09 0 7 01 5 01 4 01 0 AP 36 0 7 0 5 01 4 01 7 01 5 0 4 01 7 01 5 01 4 0 1 AP 41 0 7 05 0 4 01 7 0 5 01 4 0 7 01 5 04 0 2 AP 14 0 7 05 04 0 3 AP 而 0 0 ABP2 0 1 ABP6 0 2 ABP1 3 ABP 所以 458 0 3 0 i ii ABPAPBP542 0 458 0 1 1 BPBP 11 习题习题 1 3 解答解答 1 设为随机变量 且 k kXP 2 1 则X 2 1 k 1 判断上面的式子是否为的概率分布 X 2 若是 试求和 为为为为XP 5 XP 解 解 令 2 1 2 1 kpkXP k k 1 显然 且10 k p 1 12 1 2 1 2 1 11 k k k k p 所以为一概率分布 2 1 2 1 kkXP k 2 为偶数XP 3 1 12 1 4 1 4 1 1 2 1 2 k k k k p 16 1 12 1 5 2 1 2 1 55 5 k k k k pXP 2 设随机变量 X 的概率分布为 且 求常 e k C kXP k 2 1 k0 数 C 解 解 而1 1 e k c k k 1 0 e k k k 即1 0 1 0 ec 1 1 ec 3 设一次试验成功的概率为 不断进行重复试验 直到首次成功 10 pp 为止 用随机变量表示试验的次数 求的概率分布 XX 解 解 2 1 1 1 kppkXP k 4 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p 0 1 当生产过程中出现废品时 立即进行调整 X 代表在两次调整之间生产的合格品数 试求 1 的概率分布 2 X 5 XP 解 解 1 2 1 0 1 0 9 0 1 kppkXP kk 2 5 55 9 0 1 0 9 0 5 k k k kXPXP 5 一张考卷上有 5 道选择题 每道题列出 4 个可能答案 其中有 1 个答案是正确 的 求某学生靠猜测能答对至少 4 道题的概率是多少 12 解 解 因为学生靠猜测答对每道题的概率为 所以这是一个 4 1 p5 n 的独立重复试验 4 1 p 64 1 4 3 4 1 4 3 4 1 4 055 5 44 5 CCXP 6 为了保证设备正常工作 需要配备适当数量的维修人员 根据经验每台设备发 生故障的概率为 0 01 各台设备工作情况相互独立 1 若由 1 人负责维修 20 台设备 求设备发生故障后不能及时维修的概率 2 设有设备 100 台 1 台发生故障由 1 人处理 问至少需配备多少维修人员 才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过 0 01 解 解 1 按 泊松 分布近似 0175 0 99 0 01 0 20 99 0 1 1920 Poisson 2 按 泊松 分布近似 101 0 100 100 npnPoisson 01 0 1 99 0 01 0 1 100 1 1 100 1 100 100 Nk k Nk kkk k e CNXP 查表得4 N 7 设随机变量服从参数为的 Poisson 泊松 分布 且 求X 2 1 0 XP 1 2 1 XP 解 解 2ln 2 1 0 0 0 eXP 1 0 1 1 1 1 XPXPXPXP 2ln1 2 1 2ln 2 1 2 1 1 8 设书籍上每页的印刷错误的个数 X 服从 Poisson 泊松 分布 经统计发现在某 本书上 有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同 求任意检验 4 页 每页上都 没有印刷错误的概率 解 解 即 2 1 XPXP 2 2 1 21 ee 2 0 eXP 842 eeP 9 在长度为的时间间隔内 某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的 Poisson 分布 而与时间间隔的起点无关 时间以小时计 求 1 某一天从中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率 2 某一天从中午 12 时至下午 5 时收到 1 次紧急呼救的概率 9 在长度为 t 的时间间隔内 某急救中心收到紧急呼救的次数 X 服从参数为 的 Poisson 泊松 分布 而与时间间隔的起点无关 时间以小时计 求 2 t 1 某一天从中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率 2 某一天从中午 12 时至下午 5 时收到 1 次紧急呼救的概率 13 解 解 1 2 3 0 2 3 3 eXPt 2 2 5 1 0 1 1 2 5 5 eXPXPt 10 已知的概率分布为 X X 2 10123 P2a 10 1 3a a a 2a 试求 1 2 的概率分布 a1 2 XY 解 解 1 123 10 1 2 aaaaa 10 1 a 2 Y 1 038 P 10 3 5 1 10 3 5 1 11 设连续型随机变量的概率密度曲线如图 1 3 8 所示 X 试求 1 的值 2 的概率密度 3 tX 22 XP 解 解 1 135 0 2 1 5 0 2 1 t 1 t f x 图图 1 3 81 3 8 x t o 1 2 3 0 5 14 2 其它 0 3 0 2 1 6 1 0 1 2 1 2 1 xx xx xf 3 12 11 2 1 6 1 2 1 2 1 22 0 1 2 0 dxxdxxXP 12 设连续型随机变量的概率密度为X 其他 0 0 sin axx xf 试确定常数并求 a 6 XP 解 解 令 即1 dxxf1sin 0 dxx a 即1cos 0 a x 2 0cos aa 2 3 cossin 6 2 6 2 6 xxdxXP 13 乘以什么常数将使变成概率密度函数 xx e 2 解 解 令 1 2 dxce xx 即 1 4 1 2 1 2 dxeec x 即 1 4 1 ce 4 1 1 ec 14 随机变量 其概率密度函数为 2 NX 6 44 2 6 1 xx exf x 试求 若已知 求 2 C C dxxfdxxf C 解 解 2 2 2 3 2 2 6 44 32 1 6 1 x xx eexf 2 3 2 15 若 由正态分布的对称性 c c dxxfdxxf 可知 2 c 15 设连续型随机变量的概率密度为X 其他 0 10 2 xx xf 以表示对的三次独立重复试验中 出现的次数 试求概率 YX 2 1 X 2 YP 解 解 4 1 2 2 1 2 1 0 xdxXP 64 9 4 3 4 1 2 22 3 CYP 16 设随机变量服从 1 5 上的均匀分布 试求 如果X 21 xXxP 1 2 51 21 xx 21 51xx 解 解 的概率密度为X 其他 0 51 4 1 x xf 1 2 1 221 1 4 1 4 1 x xdxxXxP 2 5 121 1 5 4 1 4 1 x xdxxXxP 17 设顾客排队等待服务的时间 以分计 服从的指数分布 某顾客等X 5 1 待服务 若超过 10 分钟 他就离开 他一个月要去等待服务 5 次 以Y表示一个月 内他未等到服务而离开的次数 试求Y的概率分布和 1 YP 解 解 2 10 5 1 1 1 10 1 10 eeXPXP 5 4 3 2 1 0 1 522 5 keeCkYP kkk 5167 0 1 1 1 52 eYP 16 习题习题 1 4 解答解答 1 已知随机变量的概率分布为 X2 0 1 XP3 0 2 XP 试求的分布函数 画出 xF的曲线 5 0 3 XPX 25 0 XP 解 解 3 1 32 5 0 21 2 0 1 0 x x x x xF5 0 25 0 XP 曲线 xF 2 设连续型随机变量的分布函数为X 3 31 11 1 1 8 0 4 0 0 x x x x xF 试求 1 的概率分布 2 X 1 2 XXP 解 解 1 X 1 13 P 4 04 02 0 2 3 2 1 1 1 2 XP XP XXP 3 从家到学校的途中有 3 个交通岗 假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独 立的 且概率均是 0 4 设为途中遇到红灯的次数 试求 1 的概率分布 XX 2 的分布函数 X 解 解 1 3 2 1 0 5 3 5 2 3 3 kCkXP kkk 列成表格 x xF 0 123 2 0 5 0 1 17 X 0123 p 125 27 125 54 125 36 125 8 2 3 1 32 125 117 21 125 81 10 125 27 0 0 x x x x x xF 4 试求习题 1 3 中第 11 题的分布函数 并画出 xF的曲线 X 解 解 31 30 4 1 2 1 12 1 01 4 1 2 1 4 1 10 2 2 x xxx xxx x xF 5 设连续型随机变量的分布函数为X 0 0 0 2 x xBeA xF x 试求 1 的值 2 3 概率密度函数 BA 11 XP xf 解 解 1 11 lim 2 ABeAF x x 又10 0 lim 2 0 ABFBeA x x 1 x xF 0 23 25 0 1 1 18 2 2 1 1 1 11 eFFXP 3 0 0 0 2 2 x xe xFxf x 6 设为连续型随机变量 其分布函数为X 1 ln 1 exd exdcxxbx xa xF 试确定 xF中的的值 dcba 解 解 10 aF 又11 dF 又10 1ln lim 1 cacxxbx x 又 即111 1ln lim ebedxxbx ex 1 b 7