高中数列知识点及历年高考题

1 Lesson6 数列数列 知识点 1 等差数列及其前 n 项 1 等差数列的定义 2 等差数列的通项公式 如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 那么它的通项公式an a1 n 1 d 3 等差中项 如果 A 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 a b 2 4 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m d n m N 2 若 an 为等差数列 且 k l m n k l m n N 则ak al am an 3 若 an 是等差数列 公差为 d 则 a2n 也是等差数列 公差为2d 4 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn 也是等差数列 5 若 an 是等差数列 公差为 d 则 ak ak m ak 2m k m N 是公差为md的等差 数列 5 等差数列的前 n 项和公式 设等差数列 an 的公差 d 其前 n 项和Sn 或 n a1 an 2 Sn na1 d n n 1 2 6 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn n2 n 数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn A B 为常数 d 2 a1 d 2 7 等差数列的最值 在等差数列 an 中 a1 0 d 0 则 Sn存在最 大 值 若 a10 则 Sn存在最 小 值 难点正本 疑点清源 1 等差数列的判定 1 定义法 an an 1 d n 2 2 等差中项法 2an 1 an an 2 2 等差数列与等差数列各项和的有关性质 1 am am k am 2k am 3k 仍是等差数列 公差为 kd 2 2 数列 Sm S2m Sm S3m S2m 也是等差数列 3 S2n 1 2n 1 an 4 若 n 为偶数 则 S偶 S奇 d n 2 若 n 为奇数 则 S奇 S偶 a中 中间项 例 1 等差数列的判定或证明 已知数列 an 中 a1 an 2 3 5 1 an 1 n 2 n N 数列 bn 满足 bn n N 1 an 1 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 1 证明 an 2 n 2 n N bn 1 an 1 1 an 1 n 2 时 bn bn 1 1 an 1 1 an 1 1 1 2 1 an 1 1 1 an 1 1 1 an 1 an 1 1 1 an 1 1 数列 bn 是以 为首项 1 为公差的等差数列 5 2 2 解 由 1 知 bn n 则 an 1 1 7 2 1 bn 2 2n 7 设函数 f x 1 2 2x 7 易知 f x 在区间和内为减函数 7 2 7 2 当 n 3 时 an取得最小值 1 当 n 4 时 an取得最大值 3 例 2 等差数列的基本量的计算 设 a1 d 为实数 首项为 a1 公差为 d 的等差 数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 S5S6 15 0 1 若 S5 5 求 S6及 a1 2 求 d 的取值范围 解 1 由题意知 S6 3 a6 S6 S5 8 15 S5 所以Error 解得 a1 7 所以 S6 3 a1 7 2 方法一 S5S6 15 0 5a1 10d 6a1 15d 15 0 即 2a 9da1 10d2 1 0 2 1 3 因为关于 a1的一元二次方程有解 所以 81d2 8 10d2 1 d2 8 0 解得 d 2或 d 2 22 方法二 S5S6 15 0 5a1 10d 6a1 15d 15 0 9da1 10d2 1 0 故 4a1 9d 2 d2 8 所以 d2 8 故 d 的取值范围为 d 2或 d 2 22 例 3 前 n 项和及综合应用 1 在等差数列 an 中 已知 a1 20 前 n 项和为 Sn 且 S10 S15 求当 n 取何值时 Sn取得最大值 并求出它的最大值 2 已知数列 an 的通项公式是 an 4n 25 求数列 an 的前 n 项和 解 方法一 a1 20 S10 S15 10 20 d 15 20 d d 10 9 2 15 14 2 5 3 an 20 n 1 n 5 3 5 3 65 3 a13 0 即当 n 12 时 an 0 n 14 时 an 0 当 n 12 或 13 时 Sn取得最大值 且最大值为 S13 S12 12 20 12 11 2 130 5 3 方法二 同方法一求得 d 5 3 Sn 20n n2 n 2 n n 1 2 5 3 5 6 125 6 5 6 n 25 2 3 125 24 n N 当 n 12 或 13 时 Sn有最大值 且最大值为 S12 S13 130 2 an 4n 25 an 1 4 n 1 25 an 1 an 4 d 又 a1 4 1 25 21 所以数列 an 是以 21 为首项 以 4 为公差的递增的等差数列 令Error 由 得 n10 q 1q 1q0 递增 递减 常数列 摆动数列 a0 它的前 n 项和为 40 前 2n 项和为 3 280 且前 n 项中数值最大的项为 27 求数列的第 2n 项 1 设数列 an 的公比为 q 由通项公式 an a1qn 1及已知条件得 Error 由 得 a1q3 8 将 a1q3 8 代入 式 得 q2 2 无解将 a1q3 8 代入 式 得 q2 4 q 2 故舍去 当 q 2 时 a1 1 S8 255 a1 1 q8 1 q 当 q 2 时 a1 1 S8 85 a1 1 q8 1 q 2 若 q 1 则 na1 40 2na1 3 280 矛盾 q 1 Error 得 1 qn 82 qn 81 将 代入 得 q 1 2a1 又 q 0 q 1 a1 0 an 为递增数列 an a1qn 1 27 由 得 q 3 a1 1 n 4 a2n a8 1 37 2 187 例 2 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 数列 bn 中 b1 a1 bn an an 1 n 2 且 an Sn n 1 设 cn an 1 求证 cn 是等比数列 2 求数列 bn 的通项公式 1 证明 an Sn n an 1 Sn 1 n 1 得 an 1 an an 1 1 2an 1 an 1 2 an 1 1 an 1 an 1 是等比数列 an 1 1 an 1 1 2 首项 c1 a1 1 又 a1 a1 1 a1 c1 公比 q 1 2 1 2 1 2 又 cn an 1 cn 是以 为首项 为公比的等比数列 1 2 1 2 7 2 解 由 1 可知 cn n 1 n 1 2 1 2 1 2 an cn 1 1 n 当 n 2 时 bn an an 1 1 2 1 n n 1 n n 1 2 1 1 2 n 1 1 2 1 2 1 2 又 b1 a1 代入上式也符合 bn n 1 2 1 2 例 3 在等比数列 an 中 1 若已知 a2 4 a5 求 an 1 2 2 若已知 a3a4a5 8 求 a2a3a4a5a6的值 解 1 设公比为 q 则 q3 即 q3 a5 a2 1 8 q an a5 qn 5 n 4 1 2 1 2 2 a3a4a5 8 又 a3a5 a a 8 a4 2 2 43 4 a2a3a4a5a6 a 25 32 5 4 例 4 已知数列 an 满足 a1 1 a2 2 an 2 n N an an 1 2 1 令 bn an 1 an 证明 bn 是等比数列 2 求 an 的通项公式 规范解答 1 证明 b1 a2 a1 1 1 分 当 n 2 时 bn an 1 an an an 1 an 2 an an 1 bn 1 5 分 1 2 1 2 bn 是首项为 1 公比为 的等比数列 6 分 1 2 2 解 由 1 知 bn an 1 an n 1 8 分 1 2 当 n 2 时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 10 分 1 1 n 2 1 1 2 1 2 1 1 2 n 1 1 1 2 1 n 1当 n 1 时 1 1 1 a1 2 3 1 1 2 n 1 5 3 2 3 1 2 5 3 2 3 1 2 8 an n 1 n N 14 分 5 3 2 3 1 2 例例 4 4 0707 重庆重庆 1111 设 设的的等比中项 等比中项 则则a a 3 3b b的最大值为的最大值为 2 2 311baa 和 和和 和 三角函数 三角函数 例例 5 5 若数列若数列 1 1 2cos 2cos 2 22 2coscos2 2 2 23 3coscos3 3 前前 100100 项之和为项之和为 0 0 则则 的值为的值为 例例 6 6 ABC ABC 的三内角成等差数列的三内角成等差数列 三边成等比数列三边成等比数列 则三角形的形状为则三角形的形状为 等边三角形等边三角形 综合应用 例 7 已知等差数列 an 的首项 a1 1 公差 d 0 且第 2 项 第 5 项 第 14 项 分别是等比数列 bn 的第 2 项 第 3 项 第 4 项 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 设数列 cn 对 n N 均有 an 1成立 求 c1 c2 c3 c2 c1 b1 c2 b2 cn bn 013 解 1 由已知有 a2 1 d a5 1 4d a14 1 13d 1 4d 2 1 d 1 13d 解得 d 2 d 0 an 1 n 1 2 2n 1 又 b2 a2 3 b3 a5 9 数列 bn 的公比为 3 bn 3 3n 2 3n 1 2 由 an 1得 c1 b1 c2 b2 cn bn 当 n 2 时 an c1 b1 c2 b2 cn 1 bn 1 两式相减得 n 2 时 an 1 an 2 cn bn cn 2bn 2 3n 1 n 2 又当 n 1 时 a2 c1 3 c1 b1 cn Error c1 c2 c3 c2 013 3 3 3 32 013 32 013 6 2 32 013 1 3 知识点 3 数列的基本知识 1 1 1 1 nnnnn SSnSaSa 或的关系 与 例 1 设数列的前 n 项和 则的值为 15 n a 2 nSn 8 a 2 数列的递推公式及应用 利用数列的递推公式求数列的通项公式 一般有三 种方法 累加法 累积法 构造法 2 2 Z 3 kk 9 对形如的递推公式 可令qpaaaa nn 11 1 pqp 为常数且 整理得 所以是等比 nn apa 1 nn apa p q 1 1 n a 数列 对形如的递推公式 两边取倒数后换元转化为 qpa a a n n n 1 nn a q p a 1 1 再求出即可 n a 1 例 2 已知数列满足 则的最小值为 10 5 n anaaa nn 2 33 11 n an 历年高考真题汇编历年高考真题汇编 数列 含 数列 含 1 2011 年新课标卷文 已知等比数列中 公比 n a 1 1 3 a 1 3 q I 为的前 n 项和 证明 n S n a 1 2 n n a S II 设 求数列的通项公式 31323 logloglog nn baaa n b 解 因为 3 1 3 1 3 1 1 n n n a 2 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 nn n S 所以 2 1 n n a S nn aaab 32313 logloglog 21 n 2 1 nn 所以的通项公式为 n b 2 1 nn bn 2 2011 全国新课标卷理 等比数列的各项均为正数 且 n a 2 12326 231 9 aaaa a 1 求数列的通项公式 n a 10 2 设 求数列的前项和 31323 loglog log nn baaa 1 n b 解 设数列 an 的公比为 q 由得所以 有条件 2 326 9aa a 32 34 9aa 2 1 9 q 可知 a 0 故 1 3 q 由得 所以 故数列 an 的通项式为 12 231aa 12 231aa q 1 1 3 a an 1 3n 111111 loglog log n baaa 12 1 2 n n n 故 1211 2 1 1 n bn nnn 12 111111112 2 1 22311 n n bbbnnn 所以数列的前 n 项和为 1 n b 2 1 n n 3 2010 新课标卷理 设数列满足 n a 21 11 2 3 2 n nn aaa A 1 求数列的通项公式 n a 2 令 求数列的前 n 项和 nn bna n S 解 由已知 当 n 1 时 111211 nnnnn aaaaaaaa 2123 3 222 2 nn 2 1 1 2 n 而 所以数列 的通项公式为 1 2 a n a 21 2 n n a 由知 21 2 n nn bnan 3521 1 22 23 22 n n Sn 11 从而 235721 21 22 23 22 n n Sn 得 2352121 1 2 22222 nn n Sn 即 21 1 31 22 9 n n Sn 4 20I0 年全国新课标卷文 设等差数列满足 n a 3 5a 10 9a 求的通项公式 n a 求的前 项和及使得最大的序号 的值 n an n S n Sn 解 1 由 am a1 n 1 d 及 a1 5 a10 9 得 1 1 25 99 ad ad 解得 1 9 2 a d 数列 an 的通项公式为 an 11 2n 6 分 2 由 1 知 Sn na1 d 10n n2 1 2 n n 因为 Sn n 5 2 25 所以 n 5 时 Sn取得最大值 5 2011 年全国卷 设数列的前 N 项和为 已知求和 n a n S 2 6 a 12 630 aa n a n S 6 2011 辽宁卷 已知等差数列 an 满足 a2 0 a6 a8 10 I 求数列 an 的通项公式 II 求数列的前 n 项和 1 2n n a 12 解 I 设等差数列的公差为 d 由已知条件可得 n a 1 1 0 21210 ad ad 解得 1 1 1 a d 故数列的通项公式为 5 分 n a2 n an II 设数列 即 1 2 n n n a nS 的前项和为 2 11 1 1 22 n n n aa SaS 故 12 2242 nn n Saaa 所以 当时 1n 121 1 1 1 1 2222 1112 1 2422 12 1 1 22 nnnn nn nn nn Saaaaa a n n 所以 2n n 1 2 n n n S 综上 数列 11 22 n n nn an nS 的前项和 7 2010 年陕西省 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且 a1 a3 a9成等比数 列 求数列 an 的通项 求数列 2an 的前 n 项和 Sn 解 由题设知公 差 d 0 由 a1 1 a1 a3 a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d 解得d 1 d 0 舍去 故 an 的通项 an 1 n 1 1 n 由 知 2n 由等比数列前 n 项和公式得2 m a Sn 2 22 23 2n 2n 1 2 2 1 2 1 2 n 13 8 2009 年全国卷 设等差数列 的前 项和为 公比是正数的等比数列 的前 项 n an n s n bn 和为 已知的通项公式 n T 113333 1 3 17 12 nn ababTSb 求 a 解 设的公差为 的公比为 n ad n bq 由得 33 17ab 2 12317dq 由得 33 12TS 2 4qqd 由 及解得 0q 2 2qd 故所求的通项公式为 1 21 3 2n nn anb 9 2011 福建卷 已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 I 求数列 an 的通项公式 II 若数列 an 的前 k 项和 Sk 35 求 k 的值 10 2011 重庆卷 设是公比为正数的等比数列 求的通项公式 设是首项为 1 公差为 2 的等差数列 求数列 的前 项和 14 11 2011 浙江卷 已知公差不为 0 的等差数列的首项为 且 成 n a Raa 1 1 a 2 1 a 4 1 a 等比数列 求数列的通项公式 n a 对 试比较与的大小 Nn n aaaa 2 3 2 2 22 1 111 1 1 a 解 设等差数列的公差为 由题意可知 n ad 2 214 111 aaa 即 从而因为 2 111 3 ada ad 2 1 a dd 1 0 ddaa 所以 故通项公式 n ana 解 记 2 2 2 22 111 2 n n n n Taa aaa 因为 所以 2 11 1 1 111111 22 1 1 2222 1 2 n n n n T aaa 从而 当时 当0a 1 1 n T a 1 1 0 n aT a 时 1212 20112011 湖北卷 湖北卷 成等差数列的三个正数的和等于 15 并且这三个数分别加上 2 5 13 后成为等比数列 n b中的 3 b 4 b 5 b I 求数列 n b的通项公式 15 II 数列 n b的前 n 项和为 n S 求证 数列 5 4 n S 是等比数列 13 2010 年山东卷 已知等差数列满足 的前 项和为 n a7 3 a26 75 aa n an n S 求及 n a n S 令 求数列的前 项和为 1 1 2 n n a b Nn n bn n T 解 设等差数列的首项为 公差为 n a 1 ad 由于 所以 26102 1 da 7 3 a26 75 aa72 1 da 16 解得 2 d 由于 3 1 adnaan 1 1 2 1n n aan S 所以 12 nan 2 nnSn 因为 所以12 nan 1 41 2 nnan 因此 1 11 4 1 1 4 1 nnnn bn 故 nn bbbT 21 1 11 3 1 2 1 2 1 1 4 1 nn 所以数列的前项和 1 1 1 4 1 n 1 4 n n n bn 1 4 n n Tn 14 2010 陕西卷 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且 a1 a3 a9成等比数 列 求数列 an 的通项 求数列 2an 的前 n 项和 Sn 解 由题设知公 差 d 0 由 a1 1 a1 a3 a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d 解得d 1 d 0 舍去 故 an 的通项 an 1 n 1 1 n 由 知 2n 由等比数列前 n 项和公式得2 m a Sm 2 22 23 2n 2n 1 2 2 1 2 1 2 n 15 2010 重庆卷 已知是首项为 19 公差为 2 的等差数列 为的前 项和 n a n S n an 求通项及 n a n S 设是首项为 1 公比为 3 的等比数列 求数列的通 nn ba n b 项公式及其前 项和 n n T 17 16 2010 北京卷 已知为等差数列 且 n a 3 6a 6 0a 求的通项公式 n a 若等差数列满足 求的前 n 项 n b 1 8b 2123 baaa n b 和公式 解 设等差数列的公差 n ad 因为 所以 解得 36 6 0aa 1 1 26 50 ad ad 1 10 2ad 所以10 1 2212 n ann 设等比数列的公比为 因为 n bq 2123 24 8baaab 所以 即 3824q q 所以的前项和公式为 n bn 1 1 4 1 3 1 n n n bq S q 17 2010 浙江卷 设 a1 d 为实数 首项为 a1 公差为 d 的等差数 an 的前 n 项和为 Sn 满足 S2S6 15 0 若 S5 S 求 Sn及 a1 求 d 的取值范围 18 解 由题意知 S0 5 15 S 3 a S S 8 所以 1 1 105 58 Sad ad 解得 a1 7 所以 S 3