第四节简谐激励振动理论的应用

1 第四节第四节 简谐激励振动理论的应用简谐激励振动理论的应用 一 一 旋转不平衡质量引起的强迫振动旋转不平衡质量引起的强迫振动 一 运动方程及其解 一 运动方程及其解 在高速旋转机械中 偏心质量产生的离心惯性力是主在高速旋转机械中 偏心质量产生的离心惯性力是主 要的激励来源之一 要的激励来源之一 M e m t 2 k 2 k c x o 一个旋转机械的力学模性 设旋转机械总质量为一个旋转机械的力学模性 设旋转机械总质量为 M 转子的偏心质量为转子的偏心质量为 偏心距为 偏心距为 转子的转动角速度为 转子的转动角速度为 me 选静平衡位置为坐标原点 坐标选静平衡位置为坐标原点 坐标表示机器离开静平衡位置表示机器离开静平衡位置x 的垂直位移 而偏心质量的位移为的垂直位移 而偏心质量的位移为 sinxet 根据牛顿运动定律 列出系统的振动微分方程根据牛顿运动定律 列出系统的振动微分方程 2 22 22 sin d xddx Mmmxetckx dtdtdt 整理后 得整理后 得 3 18 2 sinMxcxkxmet 上式的形式与方程 上式的形式与方程 3 1 相似 只是由 相似 只是由代替了代替了 2 me 0 F 故前面所有的分析都可适用 设故前面所有的分析都可适用 设 n k M 2 n c M n r 则方程 则方程 3 18 的稳态响应为 的稳态响应为 sin x tXt 式中振幅式中振幅为为X 2 222 2 222 2 222 1 1 2 1 2 me X kMc me k rr mer M rr 显然 相位差显然 相位差为为 22 2 1 cr tg kmr 可见 偏心质量引起的强迫振动的振幅与不平衡质量可见 偏心质量引起的强迫振动的振幅与不平衡质量成成me 正比 为了减小振动 旋转机械的转子通常要作平衡试验 正比 为了减小振动 旋转机械的转子通常要作平衡试验 3 使质量分布尽可能均匀 使质量分布尽可能均匀 二 幅频特性 二 幅频特性 放大因子定义为放大因子定义为 3 19 2 222 1 2 MXr me rr 以放大因子以放大因子为纵坐标 频率比为纵坐标 频率比 为横坐标 阻尼比为横坐标 阻尼比 MX me r 为参数 画出幅频特性曲线 为参数 画出幅频特性曲线 1 0 2 0 3 0 4 0 1 0 2 03 0 MX me r 0 0 15 0 25 由曲线可见 由曲线可见 4 1 当当时 时 即振幅接近于零 即振幅接近于零 0 n r 0 MX me 2 当当时 时 即振幅趋近于常数 即 即振幅趋近于常数 即1 n r 1 MX me me X M 而与激励频率及阻尼比基本上无关 而与激励频率及阻尼比基本上无关 3 共振发生在共振发生在 即即 2 1 12 r 2 12 n 时 位于时 位于的右边 共振振幅为的右边 共振振幅为1r 2 1 21 me X M 当阻尼很小时 当阻尼很小时 可以认为当 可以认为当0 2 即即 1r n 发生共振 共振振幅为发生共振 共振振幅为 2 meme X Mc 5 例题 例题 一台惯性式激振器一台惯性式激振器 安放在机器正上方 以安放在机器正上方 以 测定机器的振动特性 测定机器的振动特性 激振器有一对带有偏心激振器有一对带有偏心 质量 等速反向旋转的质量 等速反向旋转的 齿轮组成 当旋转角速齿轮组成 当旋转角速 度度 为时 偏心质量的为时 偏心质量的 离心惯性力在水平方向离心惯性力在水平方向 合力为零 在垂直方合力为零 在垂直方 向合成激振力向合成激振力 me me 2 2sin tsin t 其中其中 m m 为总的偏心质量 为总的偏心质量 e e 为偏心距 通过改变转速 为偏心距 通过改变转速 测得测得共振时的垂直振幅共振时的垂直振幅为为 1 07cm1 07cm 而 而超过共振很远时 垂直振幅趋于定值超过共振很远时 垂直振幅趋于定值 0 320 32 cmcm 若偏心质量为若偏心质量为 12 7kg12 7kg 偏心距为 偏心距为 1515 cmcm 支承弹簧刚度为 支承弹簧刚度为 k 976 7N cmk 976 7N cm 计算 计算 1 1 支承阻尼器的阻尼比 支承阻尼器的阻尼比 2 2 转速 转速 为为 N 300r minN 300r min 时机器的垂直振幅 时机器的垂直振幅 M k 2k 2 c 6 解 设机器和激振器的总质量为解 设机器和激振器的总质量为 M 系统的振动微分方程 系统的振动微分方程 为为 2 sinMxcxkxmet 1 共振时 共振时 r 1 的振幅为的振幅为 max 1 07 2 me Xcm M 而而 r 1 超过共振很远时超过共振很远时 时有 时有 0 32 me Xcm M 所以阻尼比所以阻尼比 max 0 32 0 15 22 1 07 X X 2 当转速为当转速为 N 300r min 时 激励频率为时 激励频率为 rad s 22300 31 4 6060 N 由由 和和 得 得 n k M me X M rad s 97 6 100 0 32 12 8 12 7 15 n kX me 频率比频率比 31 4 2 45 12 8 n r 则机器的振幅为则机器的振幅为 2 2 2 22 22 2 45 0 320 38 1 2 45 2 0 1 15 2 45 2 mer X M r m r c 7 例例 3 2 桥式起重机运行机构采用高速空心轴传动 轴的桥式起重机运行机构采用高速空心轴传动 轴的 两端由调位轴承支承 轴上无别的零件 空心轴的内径两端由调位轴承支承 轴上无别的零件 空心轴的内径 d1 为 外径为为 外径为 d2 两支承间距离为 两支承间距离为 求轴的临界转速 求轴的临界转速l r minr min l EI 2m 轴的临界转速轴的临界转速ncr为为 故只要知道梁的固 故只要知道梁的固 60 2 n cr n 有频率即可求出轴的临界转速有频率即可求出轴的临界转速ncr 求连续梁第一阶固有频率时 其模型可按如下简化 离求连续梁第一阶固有频率时 其模型可按如下简化 离 散化 散化 将梁离散为三点 两个端点和一个中点 其中梁将梁离散为三点 两个端点和一个中点 其中梁 的两端端点的质量各为总质量的四分之一 即的两端端点的质量各为总质量的四分之一 即 2 42 mm 中点的质量为总质量的二分之一 即中点的质量为总质量的二分之一 即 如图所示 如图所示 2 2 m m 这样处理后 可以把梁看作是抗弯刚度为这样处理后 可以把梁看作是抗弯刚度为 EI 无质量的弹 无质量的弹 8 性梁 性梁 l EI 2l 2 m m 2m 2 由静变形法 知由静变形法 知 3 48 n gEI ml 式中式中 是梁中点的静变形 由材力知是梁中点的静变形 由材力知 3 48 mgl EI 9 二 二 基础运动引起的强迫振动基础运动引起的强迫振动 在许多情况下 系统受到的激励来自于支承的运动 在许多情况下 系统受到的激励来自于支承的运动 例例 如固定在机器上的仪表 汽车在不平的路面行驶时的振动如固定在机器上的仪表 汽车在不平的路面行驶时的振动 等等 都是支承运动引起的强迫振动 等等 都是支承运动引起的强迫振动 一 一 运动方程及其解运动方程及其解 ck m x y Y t m k xy c xy 如图所示是受基础激励的振动力学模型 以系统静平如图所示是受基础激励的振动力学模型 以系统静平 衡位置为坐标原点建立坐标系 衡位置为坐标原点建立坐标系 质量块的位移质量块的位移 x 10 基础的位移基础的位移 y 设基础运动规律为设基础运动规律为 sinyYt 由牛顿运动定律 得由牛顿运动定律 得 3 20 mxk xyc xy 即即 a mxcxkxkycy 或也可写成 或也可写成 sincosmxcxkxkYtc Yt 利用复指数法求解上式 利用复指数法求解上式 用用代换代换 j t yYe sinyYt 所以所以 代入式 代入式 a 得 得 j t yj Ye b j tj t j t mxcxkxkYejc Ye kjcYe 假定方程 假定方程 b 的解为 的解为 c j t x tXe 式中式中 复振幅复振幅X 则则 j t x tj Xe 2 j t x tXe 带入方程 带入方程 b 得 得 2 j tj t kmjcXekjcYe d 2 j t kjc XYXe kmjc 则实振幅为则实振幅为 11 e 22 222 2 222 1 2 1 2 kc XXY kmc r Y rr 相位差相位差 3 27 3 22 3 22 2 1 2 mc tg k kmc r rr 故方程 故方程 b 的解为 的解为 f jt x tXe 由于方程 由于方程 3 20 中的激励力 中的激励力是正弦函数 是正弦函数 sinyYt 所以方程 所以方程 3 20 的解也只能取式 的解也只能取式 f 的虚部 故方程 的虚部 故方程 3 20 的解为 的解为 g sin x tXt 12 二 二 幅频特性幅频特性 令振幅放大因子为令振幅放大因子为 3 28 2 222 1 2 1 2 Xr Yrr 以放大因子以放大因子为纵坐标 频率比为纵坐标 频率比 为横坐标 阻尼比为横坐标 阻尼比为为 X Y r 参数 画出幅频特性曲线 由此可见 它与简谐激励力参数 画出幅频特性曲线 由此可见 它与简谐激励力 作用下的响应曲线基本相同 作用下的响应曲线基本相同 所不同的是 所不同的是 0 sinFt 13 1 0 2 0 3 0 4 0 r 1 0 2 03 02 0 0 125 0 25 X Y 1 当当时 振幅时 振幅等于基础运动振幅等于基础运动振幅2 2 n r X 与阻尼无关 与阻尼无关 Y 2 当当时 振幅时 振幅小于基础运动振幅小于基础运动振幅2 2 n r X 增加阻尼反而使振幅 增加阻尼反而使振幅增大 增大 YX 14 例题 例题 试求图示系统在上端有基试求图示系统在上端有基 础运动的稳态响应 已知础运动的稳态响应 已知 1 sinxat 和激励频率和激励频率 1 2 kk m 解 系统的运动微分方程为解 系统的运动微分方程为 11 1 mxkk xk x 即即 m k1 k x1 x 15 11 sinmxkk xk at 固有频率为固有频率为 1 n kk m 频率比为频率比为 2 n r 思考问题 思考问题 1 此题此题是用是用 3 2 中的式 中的式 3 4 还是用 还是用 3 4 2 基础激励中基础激励中 的公式 的公式 h 来求解该题的响应 来求解该题的响应 2 此题此题相位差相位差为多少 为多少 振幅为振幅为 11 22 2 1 1 1 1 1 4 3 k ak a X kk kkm kkm m k a kk 相位差为相位差为 16 则系统的响应为则系统的响应为 sin sinxXtXt 例题例题 3 3 如图为汽车的拖车在波形道路上行驶 引起垂如图为汽车的拖车在波形道路上行驶 引起垂 直方向振动的简化模型 已知直方向振动的简化模型 已知 车速 车速350 kN k m 100 km v h 满载时拖车质量满载时拖车质量 1 1000mkg 1 0 5 空载时拖车质量空载时拖车质量 2 250mkg 路面成正弦波形 可表示成路面成正弦波形 可表示成 17 其中 其中 2 sin vt yY L 5Lm L y Y m c2 k 2 k x v 求 满载和空载时车辆的振幅比求 满载和空载时车辆的振幅比 1 2 X X 解 解 1 基础激励的频率 基础激励的频率 3 100 10 2 2 60 60 34 9 5 v rad s L 2 空载时的阻尼比 空载时的阻尼比 2 阻尼系数阻尼系数 1122 22cm km k 1 21 2 1000 0 51 250 m m 3 满载和空载时的频率比满载和空载时的频率比 满载时系统的固有频率满载时系统的固有频率 18 3 1 1 350 10 18 7 1000 n k rad s m 满载时频率比满载时频率比 1 1 34 9 1 87 18 7 n r 空载时系统的固有频率空载时系统的固有频率 3 2 2 350 10 37 4 250 n k rad s m 空载时频率比空载时频率比 2 2 34 9 0 93 37 4 n r 4 满载和空载时车辆的振幅比 满载和空载时车辆的振幅比 1 2 X X 满载时满载时 2 11 1 222 11 1 1 2 0 68 1 2 Xr Yrr 空载时空载时 2 22 2 222 22 2 1 2 1 13 1 2 Xr Yrr 1 2 0 6 X X 三 三 隔振隔振 机器超过允许范围的振动影响着本身的正常运行及寿机器超过允许范围的振动影响着本身的正常运行及寿 命 而且还造成环境污染 影响周围设备的正常工作和人命 而且还造成环境污染 影响周围设备的正常工作和人 体健康 有效地隔振是相当重要的问题 隔振就是在振源体健康 有效地隔振是相当重要的问题 隔振就是在振源 和振体之间设置隔振系统或隔振装置 以减少或隔离振动和振体之间设置隔振系统或隔振装置 以减少或隔离振动 的传递 的传递 19 隔振分为两类 隔振分为两类 主动隔振主动隔振 隔离机械设备通过支座传递至地基的振隔离机械设备通过支座传递至地基的振 动 以动 以减少动力的传递减少动力的传递 被动隔振被动隔振 防止地基的振动通过支座传递至需保护的防止地基的振动通过支座传递至需保护的 精密设备或仪器仪表 以精密设备或仪器仪表 以减少运动的传递减少运动的传递 隔振装置通常由合适的弹性材料及阻尼材料组成 例隔振装置通常由合适的弹性材料及阻尼材料组成 例 如钢弹簧 橡胶 软木 毡类等 如钢弹簧 橡胶 软木 毡类等 1 主动隔振主动隔振 ck m x m 0 sinFt 0 sinFt kX cXc X 振源是机器本身 主动隔振的目的是减少传递到地基振源是机器本身 主动隔振的目的是减少传递到地基 上的力 其隔振效果用力传递率 系数 上的力 其隔振效果用力传递率 系数 表示 它定义表示 它定义 F T 为为 0 1 T F F T F 隔振后传递到地基上的力 隔振前传递到地基上的力 20 隔振后机器的强迫振动为隔振后机器的强迫振动为 sin xXt sin xXt 故机器通过弹簧传递到地基上的力为故机器通过弹簧传递到地基上的力为 kX 机器通过阻尼器传递到地基上的力为机器通过阻尼器传递到地基上的力为 kXkX 其合力为其合力为 222 2 0 222 1 2 1 2 1 2 T FkXc XkXr r F rr 式中式中 3 3 0 222 1 2 F k X rr 所以力传递率为所以力传递率为 3 29 2 222 0 1 2 1 2 T F Fr T Frr 2 被动隔振被动隔振 ck m x m y t y t sinyYt 被动隔振振源来自地基运动 被动隔振的目的是减小被动隔振振源来自地基运动 被动隔振的目的是减小 21 传递到机器的运动 其隔振效果用位移传递率 系数 传递到机器的运动 其隔振效果用位移传递率 系数 来表示 它定义为来表示 它定义为 D T 1 D T 隔振后机器的振幅 X 隔振前机器的振幅 Y 显然有显然有 3 28 2 222 1 2 1 2 D r T rr 比较主动隔振式 比较主动隔振式 3 29 和被动隔振式 和被动隔振式 3 28 可知 主动 可知 主动 隔振式和被动隔振的原理是相似的 故此 力传递率 系隔振式和被动隔振的原理是相似的 故此 力传递率 系 数 数 和位移传递率 系数 和位移传递率 系数 统称为传递率 系数 统称为传递率 系数 F T D T 用符号用符号表示 所以有表示 所以有T 2 222 1 2 1 1 2 r T rr 传递率传递率有如下特点 有如下特点 T 1 不论阻尼大小 只有当频率比 不论阻尼大小 只有当频率比 即 即 2r 2 n 时 才有传递率时 才有传递率 即隔振才起作用 即隔振才起作用 1T 2 当频率比 当频率比后 随着后 随着的增加 传递率的增加 传递率逐渐逐渐2r rT 减小 减小 当频率比当频率比之