定积分求体积

定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 2 求立体的体积求立体的体积 有两种情形的几何立体的体积可用定积分来计算 它们是 1 平行截面面积已知的立体 选与平行截面垂直的直线为 x 轴 截面面积 函数 为 S x 设立体可在的 x 轴上 的范围是区间 a b 任取一小区间 微元 x x x 夹在过两个端点的平行平 面间的立体体积 微元 V 与相应的圆柱体体积 S x x 它们相差至多是 S x dS 0 x x S x x 0 x x 0 x 即 V S x x 0 x 或 dV S x dx 由此得到立体体积 式所说明的和立体几何中的 祖暅原理 是一回事 2 旋转体 由曲线 y f x f x 0 a x b 与直线 x a x b 及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转 而成的立体的体积为 因为在坐标 x 处的截面面积为 S x f2 x 故由 即得 解 取 z 轴为积分轴 积分变量 z 的取值范围是 c z c 椭球与在 z 处垂 所求椭球的体积为 例 8 以一平面截半径为 R 的球 截体高为 h 求被截部分的体积 解 取垂直于截面的直径方向为 x 轴 即积分轴 在沿 x 轴的截面上建立坐标系 如图 1 被截下的部分可以视为由阴影部分绕 x 轴旋转所得的旋转体 其体积为 其中 h 的取值范围可以是 0 h 2R 此即立体几何中的球缺体积公式 例 9 设底半径为 a 的圆柱 被一过底面直径的平面所截 如图 2 截下楔形的高 为 h 求此楔形的体积 解 取截面与底面相交的直径方向为 x 轴 底面中心为原点 于是考虑 a x 所求楔形体积为 例 10 求由内摆线 星形线 绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积 解 摆线在 0 t 2 上有 0 x 2 a y 0 且 dx a 1 cost dt 故由旋转体体积公式得 例 12 求由曲线 y 2x x2和 y 0 分别绕 x 轴和 y 轴旋转所成曲面包围的体积 解 作抛物线 y 2x x2的图形如图 4 易知它绕 x 轴旋转时所成的体积为 而绕 y 轴旋转时 x 作为 y 的函数有二支 即由方程可解出 因而所生成的旋转体的体积应当等于它的分别生成的旋转体体积之差 其中 x1 x2 0 当 0 y 1 时 当处理有上述情形的曲线时 可以作为一个公式来用 由此可见处理旋转体的 情形时一定要注意曲线的形状 由 可知所求抛物线绕 y 轴旋转的体积为 习题 13 用定积分求两底面半径为 r 和 R 高为 h 的圆台体积 14 设立体的垂直于 x 轴的截面面积为 S x Ax2 Bx C a x b A B C 为常数 求证 此立体的体积为 15 底面半径为 2 的圆柱被过底面圆的一条弦的平面所截 该弦中点到圆的中心 的距离为 1 且被截去的楔形不含底圆的中心 楔形的高为 3 求此楔形体积 16 抛物线 y x2 1 和直线 y 2 围成的面积分别绕 x 轴和 y 轴旋转时得到两个 旋转体 求它们的体积 17 求圆 x2 y b 2 a2 0 a b 绕 x 轴旋转所生成的旋转体的体积 18 求曲线 y sinx 和 x 轴上的线段 0