勾股定理16种证明方法

精品文档 1欢迎下载 勾股定理的证明勾股定理的证明 看前 看前 5 5 个就可以了 个就可以了 证法证法 1 1 课本的证明 课本的证明 做 8 个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为 a b 斜边长为 c 再做 三个边长分别为 a b c 的正方形 把它们像上图那样拼成两个正方形 从图上可以看到 这两个正方形的边长都是 a b 所以面积相等 即 abcabba 2 1 4 2 1 4 222 整理得 222 cba 证法证法 2 2 邹元治证明 邹元治证明 以 a b 为直角边 以 c 为斜边做四个全等的直角三角形 则每个直角三角形的面 积等于 ab 2 1 把这四个直角三角形拼成如图所示形状 使 A E B 三点在一条直线上 B F C 三点在一条直线上 C G D 三点在一条直线上 Rt HAE Rt EBF AHE BEF AEH AHE 90 AEH BEF 90 HEF 180 90 90 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形 它的面积等于 c2 Rt GDH Rt HAE HGD EHA HGD GHD 90 EHA GHD 90 又 GHE 90 DHA 90 90 180 ABCD 是一个边长为 a b 的正方形 它的面积等于 2 ba 2 2 2 1 4cabba 222 cba 证法证法 3 3 赵爽证明 赵爽证明 以 a b 为直角边 b a 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形 则每个直角 DG C F A H E B a b c a b c a b c a b c b ab a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b a c G D A C B F EH 精品文档 2欢迎下载 a ba b c c AB C D E 三角形的面积等于 ab 2 1 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状 Rt DAH Rt ABE HDA EAB HAD HAD 90 EAB HAD 90 ABCD 是一个边长为 c 的正方形 它的面积等于 c2 EF FG GH HE b a HEF 90 EFGH 是一个边长为 b a 的正方形 它的面积等于 2 ab 2 2 2 1 4cabab 222 cba 证法证法 4 4 18761876 年美国总统年美国总统 GarfieldGarfield 证明 证明 以 a b 为直角边 以 c 为斜边作两个全等的直角三角形 则每个直角三角形的面 积等于 ab 2 1 把这两个直角三角形拼成如图所示形状 使 A E B 三点在一条直线上 Rt EAD Rt CBE ADE BEC AED ADE 90 AED BEC 90 DEC 180 90 90 DEC 是一个等腰直角三角形 它的面积等于 2 2 1 c 又 DAE 90 EBC 90 AD BC ABCD 是一个直角梯形 它的面积等于 2 2 1 ba 2 2 2 1 2 1 2 2 1 cabba 222 cba 证法证法 5 5 辛卜松证明 辛卜松证明 ab 2 1 ab 2 1 ab 2 1 ab 2 1 2 c 2 b 2 a A A D D BB CC b a ba b a b a b a c c c c b a ab ab b ab a 精品文档 3欢迎下载 P H G F E D C BA a b c a b c ab c a b c 设直角三角形两直角边的长分别为 a b 斜边的长为 c 作边长是 a b 的正方形 ABCD 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分 则正方形 ABCD 的面积为 abbaba2 22 2 把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分 则正方形 ABCD 的面积为 2 2 2 1 4cabba 2 2cab 222 22cababba 222 cba 证法证法 6 6 梅文鼎证明 梅文鼎证明 做四个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为 a b 斜边长为 c 把 它们拼成如图那样的一个多边形 使 D E F 在一条直线上 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P D E F 在一条直线上 且 Rt GEF Rt EBD EGF BED EGF GEF 90 BED GEF 90 BEG 180 90 90 又 AB BE EG GA c ABEG 是一个边长为 c 的正方形 ABC CBE 90 Rt ABC Rt EBD ABC EBD EBD CBE 90 即 CBD 90 又 BDE 90 BCP 90 BC BD a BDPC 是一个边长为 a 的正方形 同理 HPFG 是一个边长为 b 的正方形 设多边形 GHCBE 的面积为 S 则 2 1 2 22 abSba abSc 2 1 2 2 222 cba 证法证法 7 7 项明达证明 项明达证明 精品文档 4欢迎下载 c c c ba c b a A B C E F P Q M N 做两个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为 a b b a 斜边长 为 c 再做一个边长为 c 的正方形 把它们拼成如图所示的多边形 使 E A C 三点在 一条直线上 过点 Q 作 QP BC 交 AC 于点 P 过点 B 作 BM PQ 垂足为 M 再过点 F 作 FN PQ 垂足为 N BCA 90 QP BC MPC 90 BM PQ BMP 90 BCPM 是一个矩形 即 MBC 90 QBM MBA QBA 90 ABC MBA MBC 90 QBM ABC 又 BMP 90 BCA 90 BQ BA c Rt BMQ Rt BCA 同理可证 Rt QNF Rt AEF 从而将问题转化为 证法 4 梅文鼎证明 证法证法 8 8 欧几里得证明 欧几里得证明 做三个边长分别为 a b c 的正方形 把它们拼成如图所示形状 使 H C B 三点 在一条直线上 连结 BF CD 过 C 作 CL DE 交 AB 于点 M 交 DE 于点 L AF AC AB AD FAB GAD FAB GAD FAB 的面积等于 2 2 1 a GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半 矩形 ADLM 的面积 2 a 同理可证 矩形 MLEB 的面积 2 b 正方形 ADEB 的面积 矩形 ADLM 的面积 矩形 MLEB 的面积 222 bac 即 222 cba 证法证法 9 9 利用相似三角形性质证明 利用相似三角形性质证明 如图 在 Rt ABC 中 设直角边 AC BC 的长度分别为 a b 斜边 AB 的长为 c 过 点 C 作 CD AB 垂足是 D 在 ADC 和 ACB 中 ABD C a c b c b a c b a AB C D E F G H M L K 精品文档 5欢迎下载 ADC ACB 90 CAD BAC ADC ACB AD AC AC AB 即 ABADAC 2 同理可证 CDB ACB 从而有 ABBDBC 2 222 ABABDBADBCAC 即 222 cba 证法证法 10 10 杨作玫证明 杨作玫证明 做两个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为 a b b a 斜边长为 c 再做一个边长为 c 的正方形 把它们拼成如图所示的多边形 过 A 作 AF AC AF 交 GT 于 F AF 交 DT 于 R 过 B 作 BP AF 垂足为 P 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直 垂足为 E DE 交 AF 于 H BAD 90 PAC 90 DAH BAC 又 DHA 90 BCA 90 AD AB c Rt DHA Rt BCA DH BC a AH AC b 由作法可知 PBCA 是一个矩形 所以 Rt APB Rt BCA 即 PB CA b AP a 从而 PH b a Rt DGT Rt BCA Rt DHA Rt BCA Rt DGT Rt DHA DH DG a GDT HDA 又 DGT 90 DHF 90 GDH GDT TDH HDA TDH 90 DGFH 是一个边长为 a 的正方形 GF FH a TF AF TF GT GF b a TFPB 是一个直角梯形 上底 TF b a 下底 BP b 高 FP a b a 用数字表示面积的编号 如图 则以 c 为边长的正方形的面积为 54321 2 SSSSSc abaabbSSS 2 1 438 abb 2 1 2 985 SSS 8 2 43 2 1 SabbSS 81 2 SSb 把 代入 得 9881 2 21 2 SSSSbSSc 92 2 SSb 22 ab 9 8 7 6543 21 P Q R T H G F E D CB A a b c a b cc c 精品文档 6欢迎下载 222 cba 证法证法 11 11 李锐证明 李锐证明 设直角三角形两直角边的长分别为 a b b a 斜边的长为 c 做三个边长分别为 a b c 的正方形 把它们拼成如图所示形状 使 A E G 三点在一条直线上 用数字 表示面积的编号 如图 TBE ABH 90 TBH ABE 又 BTH BEA 90 BT BE b Rt HBT Rt ABE HT AE a GH GT HT b a 又 GHF BHT 90 DBC BHT TBH BHT 90 GHF DBC DB EB ED b a HGF BDC 90 Rt HGF Rt BDC 即 27 SS 过 Q 作 QM AG 垂足是 M 由 BAQ BEA 90 可知 ABE QAM 而 AB AQ c 所以 Rt ABE Rt QAM 又 Rt HBT Rt ABE 所以 Rt HBT Rt QAM 即 58 SS 由 Rt ABE Rt QAM 又得 QM AE a AQM BAE AQM FQM 90 BAE CAR 90 AQM BAE FQM CAR 又 QMF ARC 90 QM AR a Rt QMF Rt ARC 即 64 SS 54321 2 SSSSSc 61 2 SSa 873 2 SSSb 又 27 SS 58 SS 64 SS 87361 22 SSSSSba 52341 SSSSS 2 c 即 222 cba 证法证法 12 12 利用切割线定理证明 利用切割线定理证明 在 Rt ABC 中 设直角边 BC a AC b 斜边 AB c 如图 以 B 为圆心 a 为 半径作圆 交 AB 及 AB 的延长线分别于 D E 则 BD BE BC a 因为 BCA 90 点 C 在 B 上 所以 AC 是 B 的切线 由切割线定理 得 ADAEAC 2 M H Q R T G FE D C B A c b a 8 7 6 5 4 3 2 1 精品文档 7欢迎下载 BDABBEAB acac 22 ac 即 222 acb 222 cba 证法证法 13 13 利用多列米定理证明 利用多列米定理证明 在 Rt ABC 中 设直角边 BC a AC b 斜边 AB c 如图 过点 A 作 AD CB 过点 B 作 BD CA 则 ACBD 为矩形 矩形 ACBD 内接于一个圆 根据多列米定理 圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和 有 BDACBCADDCAB AB DC c AD BC a AC BD b 222 ACBCAB 即 222 bac 222 cba 证法证法 14 14 作直角三角形的内切圆证明 作直角三角形的内切圆证明 在 Rt ABC 中 设直角边 BC a AC b 斜边 AB c 作 Rt ABC 的内切圆 O 切点分别为 D E F 如图 设 O 的半径为 r AE AF BF BD CD CE BFAFCDBDCEAEABBCAC CDCE r r 2r 即 rcba2 crba 2 22 2crba 即 2222 42crcrabba abS ABC 2 1 ABC Sab 42 又 AOCBOCAOBABC SSSS brarcr 2 1 2 1 2 1 rcba 2 1 rccr 2 2 1 rcr 2 ABC Srcr 44 2 abrcr24 2 222 22cababba 222 cba 证法证法 15 15 利用反证法证明 利用反证法证明 如图 在 Rt ABC 中 设直角边 AC BC 的长度分别为 a b 斜边 AB 的长为 c 过 点 C 作 CD AB 垂足是 D 假设 222 cba 即假设 222 ABBCAC 则由 a b a a BA C ED c b a c a b c A C BD c b a r r r O F E D C B A 精品文档 8欢迎下载 ABABAB 2 BDADAB BDABADAB 可知 ADABAC 2 或者 BDABBC 2 即 AD AC AC AB 或者 BD BC BC AB 在 ADC 和 ACB 中 A A 若 AD AC AC AB 则 ADC ACB 在 CDB 和 ACB 中 B B 若 BD BC BC AB 则 CDB ACB 又 ACB 90 ADC 90 CDB 90 这与作法 CD AB 矛盾 所以 222 ABBCAC 的假设不能成立 222 cba 证法证法 16 16 陈杰证明 陈杰证明 设直角三角形两直角边的长分别为 a b b a 斜边的长为 c 做两个边长分别为 a b 的正方形 b a 把它们拼成如图所示形状 使 E H M 三点在一条直线上 用数