辽宁省名校2011年领航高考数学预测试卷（2）

用心 爱心 专心 1 辽宁省名校辽宁省名校 20112011 年领航高考数学预测试卷 年领航高考数学预测试卷 2 2 一 选择题本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一 项是符合题目要求的 1 设全集 R 若集合 1 12 3 2 x xBxxA 则 BACR 为 A 51 xx B 51 xxx或 C 51 xxx或 D 51 xx 2 已知i是虚数单位 m和n都是实数 且 niim 11 1 则 2009 nim nim 等于 A iB i C 1D 1 3 如图 已知正方形的面积为 10 向正方形 内随机地撒 200 颗黄豆 数得落在阴影外 的黄豆数为 114 颗 以此实验数据为依据 可以估计出阴影部分的面积约为 A 5 3B 4 3 C 4 7D 5 7 4 已知0 1 loglog aa xyamxy 则有 A 0 m B 10 m C 21 m D 2 m 5 下列命题中 所有正确命题的个数为 命题 若 0 1 2 2 yx 则 2 x 且 1 y 的逆命题是真命题 p 个位数字为零的整数能被 5 整除 则 p 个位数字不是零的整数不能被 5 整除 若随机变量 3 2 NX 且 84 0 5 xP 则 16 0 1 xP A 0B 1C 2D 3 6 点 baM 在函数 x y 1 的图象上 点N与点M关于 y 轴对称且在直线 03 yx 上 则函数 1 2 xbaabxxf 在区间 2 2 上 用心 爱心 专心 2 A 既没有最大值也没有最小值 B 最小值为 3 无最大值 C 最小值为 3 最大值为 9D 最小值为 4 13 无最大值 7 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积等于 A 3 6 1 a B 3 2 1 a C 3 3 2 a D 3 6 5 a 8 我省高中学校自实施素质教育以来 学生社团得到迅猛发展 某校高一新生中的五名同 学打算参加 春晖文学社 舞者轮滑俱乐部 篮球之家 围棋苑 四个社团 若 每个社团至少有一名同学参加 每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团 且同 学甲不参加 围棋苑 则不同的参加方法的种数为 A 72B 108C 180D 216 9 已知函数 xxxfsincos 给出下列四个说法 若 21 xfxf 则 21 xx xf 的最小正周期是 2 xf 在区间 4 4 上是增函数 xf 的图象关于直线 4 3 x 对称 其中正确说法的个数为 A 1B 2C 3D 4 10 在 ABC中 BC 2 AB ABC 120 则以 A B 为焦点且过点C的双曲线 的离心率为 A 3 27 B 2 26 C 27 D 23 11 过抛物线 0 2 2 ppxy 的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为 A 与抛 物线的准线的交点为B 点A在抛物线的准线上的射影为C 若 48 BCBAFBAF 则抛物线的方程为 A xy8 2 B xy4 2 C xy16 2 D xy24 2 12 定义在 R 上的函数 xf 满足 2 xfxf 当 3 1 x 时 xf 2 2 x 则 用心 爱心 专心 3 A 3 2 cos 3 2 sin ff B 1 cos 1 sinff C 6 tan 3 tanff D 2 cos 2 sinff 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 若直线 032 ayax 与直线 ayax 7 1 3 平行 则实数a的值为 14 某地为了了解地区 10000 户家庭的用电情况 采用分层抽样的方法抽取了 500 户家庭的月均 用电量 并根据这 500 户家庭的月均用电量画 出频率分布直方图 如图 则该地区 10000 户 家庭中月均用电度数在 70 80 的家庭大约有 户 15 数列 n a 的前 10 项由如图所示的流程图依次 输出的a的值构成 则数列 n a 的一个通项公 式 n a 16 曲线 y 2sin x cos x 和直线 y 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到 4 4 1 2 大依次记为 P1 P2 P3 则 P2P4 等于 三 解答题 17 本小题满分 12 分 甲 乙两位小学生各有 2008 年奥运吉祥物 福娃 5 个 其中 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 和 妮妮各一个 现以投掷一个骰子的方式进行游戏 规则如下 当出现向 上的点数是奇数时 甲赢得乙一个福娃 否则乙赢得甲一个福娃 规定掷骰子的次数达 9 次时 或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止 记游戏终止时投掷骰子的次数为 1 求掷骰子的次数为 7 的概率 2 求 的分布列及数学期望 E 18 本小题满分 12 分 n a 是首项 4 1 a 的等比数列 其前n项和为 Sn 且 423 SSS 成等比数列 1 求数列 n a 的通项公式 用心 爱心 专心 4 2 若 1 log2Nnnab nn 设 n T 为数列 1 1 2 n bn 的前n项和 求证 4 5 n T 19 本小题满分 12 分 已知斜三棱柱 ABC A1B1C1 侧面 11A ACC 与底面ABC垂直 o 90 ABC 32 2 ACBC 且 1 AA CA1 AA1 A1C 1 试判断 A1A 与平面 A1BC 是否垂直 并说明理由 2 求侧面 BB1C1C 与底面 ABC 所成锐二面角的余弦值 20 本小题满分 12 分 已知函数 bxaxgaxxxf ln3 2 2 1 22 1 设两曲线 xfy 与 xgy 有公共点 且在公共点处的切线相同 若 0 a 试建立b关于a的函数关系式 并求b的最大值 2 若 xaxgxfxhb 62 0 在 0 4 上为单调函数 求a的取值 范围 21 本小题满分 12 分 已知A B C 是椭圆 M 22 22 1 0 xy ab ab 上的三点 其中点 A 的坐标为 0 32 BC 过椭圆 M 的中心 且 2 0ACBCBCAC 1 求椭圆 M 的方程 2 过点 0 t 的直线l 斜率存在时 与椭圆 M 交于两点 P Q 设 D 为椭圆 M 与 用心 爱心 专心 5 y 轴负半轴的交点 且 DQDP 求实数t的取值范围 22 4 1 几何证明选讲 本小题 10 分 如图圆 O 和圆 O 相交于 A B 两点 AC 是圆 O 的切线 AD 是圆 O 的切线 若 BC 2 AB 4 求 BD 23 4 4 极坐标与参数方程 本小题 10 分 已知直线l的参数方程为 ty tx 2 3 2 2 1 3 t 为参数 曲线 C 的参数方程为 sin4 cos4 y x 为参数 将曲线 C 的参数方程化为普通方程 若直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 求线段 AB 的长 24 4 5 不等式选讲 本小题 10 分 设函数 412 xxxf 求不等式 2 xf 的解集 求函数 xf 的最小值 C O B D O A 用心 爱心 专心 6 参考答案 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 CABD CDDC BABD 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 314 120015 2 1 nn 16 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 17 解 1 当 7 时 甲赢意味着 第七次甲赢 前 6 次赢 5 次 但根据规则 前 5 次中必输 1 次 由规则 每次甲赢或乙赢的概率均为2 1 因此 7 P 64 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 41 5 C 4 分 2 设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m 向上的点数是偶数出现的 次数为 n 则由 91 5 nm nm 可得 当 655 00 5 mnmnm 当时 或 1 n 或 1 m 6 n 时 7 当 7 m 2 n 或 9 7 2 时nm 因此 的 可能取值是 5 7 96 分 每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同 其概率都是 2 1 6 3 64 55 64 5 16 1 1 9 64 5 7 16 1 2 1 2 5 5 PPP 10 分 所以 的分布列是 579 P 16 1 64 5 64 55 32 275 64 55 9 64 5 7 16 1 5 E 12 分 用心 爱心 专心 7 18 解 设数列 n a 的公比为q 1 若 1 q 则 16 8 12 423 SSS 显然 423 SSS 不成等差数列 与题设条件矛盾 所以q 11 分 由 423 SSS 成等差数列 得 q qa q qa q qa 1 1 1 1 1 1 2 4 1 3 1 2 1 化简得 舍去 或12 02 2 qqqq 4 分 11 2 2 4 nn n a 5 分 2 解法 1 1 2 log log 1 22 nab n nn 6 分 当n 2 时 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 11 1 1 232 nnnnnnnnnnbn n 10 分 333 1 2 1 1 1 n Tn nnnn 1 1 1 2 1 43 1 32 1 32 1 21 1 2 1 1 1 1 1 1 nnnn 1 4 5 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 nn 12 分 解法 2 1 2 log log 1 22 nab n nn 6 分 当n 2 时 设 1 3 nnn 这里 0 为待定常数 则 1 1 23 n n nn n 当 n 2 时 易知数列 1 2 n n 为单调递增数列 所以 4 1 1 2 2 min 2 n n n n n 可见 n 2 时 1 4 44 3 nnn则 取 于是 n 2 时 有 1 1 1 4 1 1 4 11 3 nnnnn 10 分 用心 爱心 专心 8 333 1 2 1 1 1 n Tn 1 1 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 1 1 4 1 1 nnnn 1 4 5 1 4 1 1 1 1 4 1 n 12 分 19 解法一 如图建立空间直角坐标系 1 有条件知 0 0 22 0 2 0 0 0 0 ACB 1 分 由面 11A ACC 面 ABC AA1 A1C AA1 A1C 知 3 1 2 1 A 2 分 0 2 0 3 1 2 1 BCAA 02 1 BCAA 3 分 1 AA 与BC不垂直 即 AA1 与 BC 不垂直 AA1 与平面 A1BC 不垂直 5 分 2 由 ACC1A1 为平行四边形 知 1 CC 1 AA 3 1 2 7 分 设平面 BB1C1C 的法向量 111 zyxn 由 032 02 0 0 111 1 11 1 11 1 zyx y CCn BCn CCn BCn 即得 令 3 1 x 则 20 3 2 0 111 nzy 得 9 分 另外 平面 ABC 的法向量 2 n 0 0 1 10 分 5 10 5 2 cos 21 21 21 nn nn nn 所以侧面 BB1C1C 与底面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 5 10 12 分 解法二 1 取 AC 中点 D 连结 A1D 则 A1D AC 又 侧面 ACC1A1 与底面 ABC 垂直 交线为 AC A1D 面 ABC 2 分 A1D BC 假设 AA1 与平面 A1BC 垂直 则 A1D BC 又 A1D BC 由线面垂直的判定定理 用心 爱心 专心 9 BC 面 A1AC 所以 BC AC 这样在 ABC 中 有两个直角 与三角形内角和定理矛盾 假设不 成立 所以 AA1 不与平面 A1BC 垂直 5 分 2 侧面 BB1C1C 与底面 ABC 所成的锐二面角即为侧面 BB1C1C 与 A1B1C1 底面所成的 锐二面角 过点 C 作 A1C1 的垂线 CE 于 E 则 CE 面 A1B1C1 B1C1 CE 过点 E 作 B1C1 的垂线 EF 于 F 连结 CF 因为 B1C1 EF B1C1 CE 所以 B1C1 面 EFC B1C1 CF 所以 CFE 即为所求侧面 BB1C1C 与地面 A1B1C1 所成的锐二面角的平面角9 分 由 2 3 EFCE 得 5 CF 在 Rt ABC 中 cos 5 10 5 2 CFE 所以 侧面 BB1C1C 与底面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 5 10 12 分 20 1 设 xfy 与 0 xxgy 在公共点 00 yx 处的切线相同 x a xgaxxf 2 3 2 由题意知 0000 xgxfxgxf 即 0 2 0 0 2 0 2 0 3 2 ln32 2 1 x a ax bxaaxx 2 分 解得 ax 0 或 ax3 0 舍去 b 0 ln3 2 5 22 aaaa 4 分 ln31 23ln65 aaaaaaab 3 1 3 1 0 0ln31 0 0 0 0ln31 0 0 ea a a abea a a ab 可 见 2 3 3 1 max 2 3 eebab 7 分 2 6 3 6ln3 2 1 2 22 x a xxhxxaxxh 要使 xh 在 0 4 上单调 用心 爱心 专心 10 须 06 3 06 3 22 x a xxh x a xxh或 在 0 4 上恒成立8 分 06 3 2 x a xxh 在 0 4 上恒成立 xxa63 22 在 0 4 上恒成 立 而 06 2 xx 且 xx6 2 可为足够小的正数 必有 0 a 9 分 06 3 2 x a xxh 在 0 4 上恒成立 39 6 3 max 22 axxa 或 3 a 11 分 综上 所求a的取值范围为 3 a 或 3 a 或 0 a 12 分 21 1 点 A 的坐标为 032 32 a 椭圆方程为 1 12 2 22 b yx 1 分 又 2 ACBC 且 BC 过椭圆 M 的中心 O 0 0 ACOC 2 分 又 0 BCAC AOC 是以 C 为直角的等腰三角形 易得 C 点坐标为 3 3 3 分 将 3 3 代入 式得 4 2 b 椭圆 M 的方程为 1 412 22 yx 4 分 2 当直线l的斜率 0 k 直线l的方程为 ty 则满足题意的 t 的取值范围为 22 t 5 分 当直线l的斜率k 0 时 设直线l的方程为 tkxy 用心 爱心 专心 11 由 1 412 22 yx tkxy 得 01236 13 222 tktxxk 6 分 直线l与椭圆 M 交于两点 P Q 0 123 13 4 6 222 tkkt 即 22 124kt 8 分 设 P x1 y1 Q x2 y2 PQ 中点 00 yxH 则 H的横坐标13 3 2 2 21 0 k ktxx x 纵坐标 13 2 00 k t tkxy D 点的坐标为 0 2 由 DQDP 得DH PQ 1 PQDH kk 即 1 13 3 2 13 2 2 k