山东省2012届高三数学 第一章《解斜角三角形》单元测试12 理 新人教B版必修5

用心 爱心 专心 1 山东省新人教山东省新人教 B B 版版 20122012 届高三单元测试届高三单元测试 1212 必修必修 5 5 第一章第一章 解斜三角解斜三角 形形 本卷共 150 分 考试时间 120 分钟 一 选择题 本大题共 12 小题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 1 在 ABC中 a 1 A 30 B 60 则b等于 A B 3 2 1 2 C D 2 3 解析 选 C 由 得 b a sinA b sinB asinB sinA 1 sin60 sin30 3 2 在 ABC中 a 80 b 100 A 45 则此三角形解的情况是 A 一解 B 两解 C 一解或两解 D 无解 解析 选 B 由 得 a sin A b sin B sinB 1 100 sin45 80 5 2 8 又 a b B有两解 故三角形有两解 3 在 ABC中 若a 7 b 8 cosC 则最大角的余弦值是 13 14 A B 1 5 1 6 C D 1 7 1 8 解析 选 C c2 72 82 2 7 8 9 13 14 c 3 B最大 cosB 72 32 82 2 7 3 1 7 4 在三角形ABC中 AB 5 AC 3 BC 7 则 BAC的大小为 A B 2 3 5 6 C D 3 4 3 解析 选 A 由余弦定理 cos BAC AB2 AC2 BC2 2 AB AC 52 32 72 2 5 3 1 2 所以 BAC 2 3 5 在 ABC中 B 60 最大边与最小边之比为 1 2 则最大角为 3 A 45 B 60 C 75 D 90 解析 选 C 设最大角为 A 最小角为 C 由 B 60 得 A C 120 根据正弦定 理 得 所以 2sin 120 C 1 sinC 即 a c sinA sinC sin 120 C sinC 3 1 23 用心 爱心 专心 2 cosC sinC sinC sinC 所以 tanC 1 33 又 0 C 180 所以 C 45 所以 A 75 6 在 ABC中 a2 b2 ab c2 2S ABC 则 ABC一定是 3 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解析 选 B 由a2 b2 ab c2得 cos C C 60 a2 b2 c2 2ab 1 2 又 2S ABC a2 b2 ab 3 2 ab sin 60 a2 b2 ab 3 1 2 得 2a2 2b2 5ab 0 即a 2b或b 2a 当a 2b时 代入a2 b2 ab c2得a2 b2 c2 当b 2a时 代入a2 b2 ab c2得b2 a2 c2 故 ABC为直角三角形 7 如图所示为起重机装置示意图 支杆BC 10 m 吊杆AC 15 m 吊索AB 5 m 19 起吊的货物与岸的距离AD为 A 30 m B m 15 2 3 C 15 m D 45 m 3 解析 选 B 在 ABC中 由余弦定理 得 cos ACB AC2 BC2 AB2 2AC BC 152 102 5 19 2 2 15 10 1 2 ACB 120 ACD 180 120 60 AD AC sin60 m 15 3 2 8 在 ABC中 b2 bc 2c2 0 a cosA 则 ABC的面积S为 6 7 8 A B 15 215 C 2 D 3 解析 选 A b2 bc 2c2 0 b 2c b c 0 b c 0 b 2c 0 b 2c 6 c2 4c2 2c 2c c 2 b 4 7 8 S bcsinA 2 4 1 2 1 2 1 49 64 15 2 9 锐角三角形ABC中 b 1 c 2 则a的取值范围是 A 1 a 3 B 1 a 5 C a D 不确定 35 解析 选 C 因为 ABC为锐角三角形 用心 爱心 专心 3 所以 cosA 0 cosB 0 cosC 0 所以b2 c2 a2 0 a2 c2 b2 0 a2 b2 c2 0 所以 1 4 a2 0 a2 4 1 0 a2 1 4 0 即 3 a2 5 所以 a 35 又c b a b c 即 1 a 3 由Error 得 a 35 10 ABC中 a b c分别是A B C的对边 且满足 2b a c B 30 ABC的 面积为 0 5 那么b为 A 1 B 3 33 C D 2 3 3 33 解析 选 C 2b a c ac ac 2 1 2 1 2 1 2 a2 c2 4b2 4 b2 a2 c2 2ac b2 b 3 2 4 2 3 3 3 3 3 11 在 ABC中 下列结论 a2 b2 c2 则 ABC为钝角三角形 a2 b2 c2 bc 则A为 60 a2 b2 c2 则 ABC为锐角三角形 若A B C 1 2 3 则a b c 1 2 3 其中正确的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 选 A a2 b2 c2 b2 c2 a2 0 0 cosA 0 A为钝角 ABC b2 c2 a2 2bc 为钝角三角形 a2 b2 c2 bc b2 c2 a2 bc cosA A 120 b2 c2 a2 2bc 1 2 1 2 与 同理知 cosC 0 C是锐角 但 ABC不一定是锐角三角形 A B C 1 2 3 A 30 B 60 C 90 a b c 1 2 3 12 锐角三角形ABC中 a b c分别是三内角A B C的对边 设B 2A 则 的取值 b a 范围是 A 2 2 B 0 2 C 2 D 223 解析 选 D 2cosA b a sinB sinA sin2A sinA 又 ABC是锐角三角形 Error 30 A 45 则 2cosA b a23 二 填空题 本大题共 4 小题 把答案填在题中横线上 13 在 ABC中 若A 120 AB 5 BC 7 则AC 解析 在 ABC中 由余弦定理 得 cosA cos120 即 AB2 AC2 BC2 2 AB AC 25 AC2 49 2 5 AC 1 2 解得AC 8 舍去 或AC 3 用心 爱心 专心 4 答案 3 14 ABC中 2a sinA b sinB c sinC 解析 因为 所以 0 a sinA b sinB c sinC a sinA b sinB 0 即 0 a sinA c sinC 2a sinA b sinB c sinC 答案 0 15 三角形的一边长为 14 这条边所对的角为 60 另两边之比为 8 5 则这个三角 形的面积为 解析 设另两边长分别为 8t 5t t 0 由余弦定理 得 cos60 64t2 25t2 196 80t2 解得t 2 则另两边长分别为 16 和 10 则这个三角形的面积为 16 10sin60 40 1 2 3 答案 40 3 16 已知平面上有四点O A B C 满足 0 1 则 ABC的周长是 OA OB OC OA OB OB OC OC OA 解析 由已知得O是三角形 ABC的外心 OA OB OC 又 1 OA OB OB OC OC OA 故 AOB BOC COA 2 3 OA OB OC 2 在 AOB中 由余弦定理 得AB2 OA2 OB2 2OA OB cos 6 AB 2 36 故 ABC的周长是 3 6 答案 3 6 三 解答题 本大题共 6 小题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 在 ABC中 已知a 2 b 6 A 30 求B及S ABC 3 解 在 ABC中 由正弦定理 得 a sinA b sinB sinB sinA b a 6 2 3 1 2 3 2 又A 30 且a b B A B 60 或 120 当B 60 时 C 90 ABC为直角三角形 S ABC ab 6 1 23 当B 120 时 C 30 ABC为等腰三角形 S ABC absinC 3 1 23 18 已知 ABC的三个内角 A B C的对边分别为a b c 满足a c 2b且 2cos2B 8cosB 5 0 求 B的大小并判断 ABC的形状 解 2cos2B 8cosB 5 0 2 2cos2B 1 8cosB 5 0 用心 爱心 专心 5 4cos2B 8cosB 3 0 即 2cosB 1 2cosB 3 0 解得 cosB 或 cosB 舍去 1 2 3 2 cosB B 1 2 3 又 a c 2b cosB a2 c2 b2 2ac a2 c2 a c 2 2 2ac 1 2 化简得a2 c2 2ac 0 解得a c 又a c 2b a b c ABC是等边三角形 19 在锐角 ABC中 a b c分别为 A B C所对的边 且a 2csinA 3 1 确定 C的大小 2 若c 求 ABC周长的取值范围 3 解 1 由a 2csinA及正弦定理得 3 a c 2sinA 3 sinA sinC sinA 0 sinC 3 2 ABC是锐角三角形 C 3 2 2 a sinA b sinB c sinC a b c 2 sinA sinB 3 2sin A 3 63 ABC是锐角三角形 A 6 2 故 sin A 1 3 2 6 所以 ABC周长的取值范围是 3 3 33 20 ABC的周长为 20 BC边的长为 7 A 60 求它的内切圆半径 解 设BC a AC b AB c 内切圆的半径为r 由题意a b c 20 a 7 所以b c 13 又a2 b2 c2 2bccosA 即a2 b2 c2 bc b c 2 3bc 所以 72 132 3bc 于是bc 40 所以S ABC bcsinA 40 sin60 10 1 2 1 23 由S ABC a b c r 得r 1 2 2S ABC a b c 20 3 203 即 ABC的内切圆的半径为 3 21 如图 甲船以每小时 30海里的速度向正北方航行 乙船按固定方向匀速直线航 2 行 当甲船位于A1处时 乙船位于甲船的北偏西 105 方向的B1处 此时两船相距 20 海里 当甲船航行 20 分钟到达A2处时 乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的B2处 此时两船相 距 10海里 问乙船每小时航行多少海里 2 用心 爱心 专心 6 解 如图 连结A1B2 则A2B2 10 A1A2 30 10 2 20 6022 又 B2A2A1 180 120 60 所以 A1A2B2是等边三角形 则 B1A1B2 105 60 45 在 A1B2B1中 由余弦定理 得 B1B A1B A1B 2A1B1 A1B2cos45 202 10 2 2 20 10 200 22122222 2 2 所以B1B2 10 60 30 2 10 2 202 则乙船每小时航行 30海里 2 22 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 且满足b2 ac cosB 3 4 1 求 的值 1 tanA 1 tanC 2 设 求三边a b c的长度 BA BC 3 2 解 1 由 cosB 可得 3 4 sinB 1 cos2B 7 4 b2 ac 根据正弦定理可得 sin2B sinAsinC 又 在 ABC中 A B C 1 tanA 1