高三数学 数列求和的基本方法和技巧总复习教案

用心 爱心 专心 高三数学总复习数列求和的基本方法和技巧高三数学总复习数列求和的基本方法和技巧 数列是高中代数的重要内容 又是学习高等数学的基础 在高考和各种数学竞赛中都 占有重要的地位 数列求和是数列的重要内容之一 除了等差数列和等比数列有求和公式 外 大部分数列的求和都需要一定的技巧 下面 就几个历届高考数学和数学竞赛试题来 谈谈数列求和的基本方法和技巧 一 利用常用求和公式求和一 利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 1 等差数列求和公式 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 2 等比数列求和公式 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 3 1 2 1 1 nnkS n k n 4 12 1 6 1 1 2 nnnkS n k n 5 2 1 3 1 2 1 nnkS n k n 例例 1 1 已知 3log 1 log 2 3 x 求 n xxxx 32 的前 n 项和 解 由 2 1 2loglog 3log 1 log 33 2 3 xxx 由等比数列求和公式得 n n xxxxS 32 利用常用公式 x xx n 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 n 1 n 2 1 例例 2 2 设 Sn 1 2 3 n n N 求 1 32 n n Sn S nf的最大值 解 由等差数列求和公式得 1 2 1 nnSn 2 1 2 1 nnSn 利用常用公 式 1 32 n n Sn S nf 6434 2 nn n 用心 爱心 专心 n n 64 34 1 50 8 1 2 n n 50 1 当 8 8 n 即 n 8 时 50 1 max nf 二 错位相减法求和二 错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数列 an bn 的前 n 项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 例例 3 3 求和 132 12 7531 n n xnxxxS 解 由题可知 1 12 n xn 的通项是等差数列 2n 1 的通项与等比数列 1 n x 的 通项之积 设 n n xnxxxxxS 12 7531 432 设制错位 得 nn n xnxxxxxSx 12 222221 1 1432 错位相减 再利用等比数列的求和公式得 n n n xn x x xSx 12 1 1 21 1 1 2 1 1 1 12 12 x xxnxn S nn n 例例 4 4 求数列 2 2 2 6 2 4 2 2 32n n 前 n 项的和 解 由题可知 n n 2 2 的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 n 2 1 的通项之积 设 n n n S 2 2 2 6 2 4 2 2 32 1432 2 2 2 6 2 4 2 2 2 1 n n n S 设制错位 得 1432 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 nn n n S 错位相减 11 2 2 2 1 2 nn n 1 2 2 4 n n n S 用心 爱心 专心 三 反序相加法求和三 反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法 就是将一个数列倒过来排列 反序 再把它与原数列相加 就可以得到 n 个 1n aa 例例 5 5 求证 nn nnnn nCnCCC2 1 12 53 210 证明 设 n nnnnn CnCCCS 12 53 210 把 式右边倒转过来得 011 3 12 12 nn n n n nn CCCnCnS 反序 又由 mn n m n CC 可得 n n n nnnn CCCnCnS 110 3 12 12 得 nn n n nnnn nCCCCnS2 1 2 22 2 110 反序 相加 n n nS2 1 例例 6 6 求 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 的值 解 设 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S 将 式右边反序得 1sin2sin3sin88sin89sin 22222 S 反序 又因为 1cossin 90cos sin 22 xxxx 得 反序相加 89cos89 sin 2cos2 sin 1cos1 sin2 222222 S 89 S 44 5 四 分组法求和四 分组法求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几 个等差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 用心 爱心 专心 例例 7 7 求数列的前 n 项和 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa n 解 设 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa S n n 将其每一项拆开再重新组合得 23741 111 1 12 n aaa S n n 分组 当 a 1 时 2 13 nn nSn 2 13 nn 分组求和 当1 a时 2 13 1 1 1 1 nn a a S n n 2 13 1 1 nn a aa n 例例 8 8 求数列 n n 1 2n 1 的前 n 项和 解 设kkkkkkak 23 32 12 1 n k n kkkS 1 12 1 32 23 1 kkk n k 将其每一项拆开再重新组合得 Sn kkk n k n k n k 1 2 1 3 1 32 分组 21 21 3 21 2 222333 nnn 2 1 2 12 1 2 1 22 nnnnnnn 分组求和 2 2 1 2 nnn 五 裂项法求和五 裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的每项 通 项 分解 然后重新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的 通项分解 裂项 如 1 1 nfnfan 2 nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 3 1 11 1 1 nnnn an 4 用心 爱心 专心 12 1 12 1 2 1 1 12 12 2 2 nnnn n an 5 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn an 6 n n nnnn n n S nnnn nn nn n a 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 则 例例 9 9 求数列 1 1 32 1 21 1 nn 的前 n 项和 解 设nn nn an 1 1 1 裂项 则 1 1 32 1 21 1 nn Sn 裂项求和 1 23 12 nn 11 n 例例 10 10 在数列 an 中 11 2 1 1 n n nn an 又 1 2 nn n aa b 求数列 bn 的 前 n 项的和 解 211 2 1 1n n n nn an 1 11 8 2 1 2 2 nn nn bn 裂项 数列 bn 的前 n 项和 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 8 nn Sn 裂项求和 1 1 1 8 n 1 8 n n 例例 11 11 求证 1sin 1cos 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 2 解 设 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S 用心 爱心 专心 nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 裂项 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S 裂项求和 88tan89 tan 2tan3 tan 1tan2 tan 0tan1 tan 1sin 1 0tan89 tan 1sin 1 1cot 1sin 1 1sin 1cos 2 原等式成立 六 合并法求和六 合并法求和 针对一些特殊的数列 将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质 因此 在求数列 的和时 可将这些项放在一起先求和 然后再求 Sn 例例 12 12 求 cos1 cos2 cos3 cos178 cos179 的值 解 设 Sn cos1 cos2 cos3 cos178 cos179 180cos cos nn 找特殊性质项 Sn cos1 cos179 cos2 cos178 cos3 cos177 cos89 cos91 cos90 合并求和 0 例例 13 13 数列 an nnn aaaaaa 12321 2 3 1 求 S2002 解 设 S2002 2002321 aaaa 由 nnn aaaaaa 12321 2 3 1可得 2 3 1 654 aaa 2 3 1 2 3 1 121110987 aaaaaa 2 3 1 2 3 1 665646362616 kkkkkk aaaaaa 0 665646362616 kkkkkk aaaaaa 找特殊性质项 S2002 2002321 aaaa 合并求和 用心 爱心 专心 66261612876321 kkk aaaaaaaaaa 2002200120001999199819941993 aaaaaaa 2002200120001999 aaaa 46362616 kkkk aaaa 5 例例 14 14 在各项均为正数的等比数列中 若 103231365 logloglog 9aaaaa 求的值 解 设 1032313 logloglogaaaSn 由等比数列的性质 qpnm aaaaqpnm 找特殊性质项 和对数的运算性质 NMNM aaa logloglog 得 log log log log log log 6353932310313 aaaaaaSn 合并求和 log log log 6539231013 aaaaaa 9log9log9log 333 10 七 利用数列的通项求和七 利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析 找出数列的通项及其特征 然后再利用数列的通 项揭示的规律来求数列的前 n 项和 是一个重要的方法 例例 15 15 求 1 1111111111 个n 之和 解 由于 110 9 1 9999 9 1 1111 11 k kk 个个 找通项及特征 1 1111111111 个n 110 9 1 110 9 1 110 9 1 110 9 1 321 n 分组求和 用心 爱心 专心 1111 9 1 10101010 9 1 1 321 个n n 9110 110 10 9 1n n 91010 81 1 1 n n 例例 16 16 已知数列 an