第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-《基本不等式》说课稿

基本不等式 第一课时 基本不等式 第一课时 教材 人教版高中数学必修 5 第三章 一 教学目标一 教学目标 1 通过两个探究实例 引导学生从几何图形中获得两个基本不等式 了解基本不等式 的几何背景 体会数形结合的思想 2 进一步提炼 完善基本不等式 并从代数角度给出不等式的证明 组织学生分析证 明方法 加深对基本不等式的认识 提高逻辑推理论证能力 3 结合课本的探究图形 引导学生进一步探究基本不等式的几何解释 强化数形结合 的思想 4 借助例 1 尝试用基本不等式解决简单的最值问题 通过例 2 及其变式引导学生领会 运用基本不等式 2 ba ab 的三个限制条件 一正二定三相等 在解决最值中的作用 提 升解决问题的能力 体会方法与策略 以上教学目标结合了教学实际 将知识与能力 过程与方法 情感态度价值观的三维 目标融入各个教学环节 二 教学重点和难点二 教学重点和难点 重点 重点 应用数形结合的思想理解基本不等式 并从不同角度探索不等式 2 ba ab 的证明过程 难点 难点 在几何背景下抽象出基本不等式 并理解基本不等式 三 教学过程 三 教学过程 1 1 动手操作 动手操作 几何引入几何引入 如图是 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标 会 标是根据我国古代数学家赵爽的 弦图 设计的 该图给出了迄今为 止对勾股定理最早 最简洁的证明 体现了以形证数 形数统一 代 数和几何是紧密结合 互不可分的 探究一探究一 在这张 弦图 中能找出一些相等关系和不等关系吗 在正方形ABCD中有 4 个全等的直角三角 形 设直角三角形两条直角边长为ba 那么正方形的边长为 22 ba 于是 4 个直角三角形的面积之和abS2 1 正方形的面积 22 2 baS 由图可知 12 SS 即abba2 22 探究二 探究二 先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直 角三角形 再用这两个三角形拼接构造出一个矩形 两边分别等于 两个直角三角形的直角边 多余部分折叠 假设两个正方形的面 积分别为a和b ba 考察两个直角三角形的面积与矩形的面 积 你能发现一个不等式吗 通过学生动手操作 探索发现 2 ba ab 2 2 代数证明 得出结 代数证明 得出结论论 根据上述两个几何背景 初步形成不等式结论 若 Rba 则abba2 22 若 Rba 则 2 ba ab 学生探讨等号取到情况 教师演示几何画板 通过展示图形动画 使学生直观感受不 等关系中的相等条件 从而进一步完善不等式结论 1 若 Rba 则abba2 22 2 若 Rba 则 2 ba ab 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明 证法一 作差法 0 2 222 baabba abba2 22 当ba 时取等号 在该过程中 可发现ba 的取值可以是全体实数 证法二 分析法 由于 Rba 于是 a b 要证明 ab ba 2 只要证明 abba2 即证 02 abba 即 0 2 ba 该式显然成立 所以ab ba 2 当ba 时取等号 得出结论 展示课题内容得出结论 展示课题内容 基本不等式 若 Rba 则 2 ba ab 当且仅当ba 时 等号成立 若Rba 则abba2 22 当且仅当ba 时 等号成立 深化认识 深化认识 称ab 为ba 的几何平均数 称 2 ba 为ba 的算术平均数 基本不等式 2 ba ab 又可叙述为 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3 3 几何证明 相见益彰 几何证明 相见益彰 探究三 探究三 如图 AB 是圆O的直径 点C是 AB 上一点 aAC bBC 过点C作 垂直于 AB 的弦 DE 连接BDAD 根据射影定理可得 abBCACCD 由于 RtCOD 中直角边 CD斜边OD 于是有 2 ba ab 当且仅当点C与圆心O重合时 即ba 时等号成立 故而再次证明 当0 0 ba时 2 ba ab 当且仅当ba 时 等号成立 进一步加强数形结合的意识 提升思维的灵活性 4 4 应用举例 巩固提高应用举例 巩固提高 例例 1 1 1 用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多 少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 D C AB E O 2 一段长为 36 米的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形的长 宽为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 通过例 1 的讲解 总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征 实现积与和的转化 对于 Ryx 1 若pxy 定值 则当且仅当ba 时 yx 有最小值p2 2 若syx 定值 则当且仅当ba 时 xy有最大值 4 2 s 鼓励学生自己探索推导 不但可使他们加深基本不等式的理解 还锻炼了他们的思 维 培养了勇于探索的精神 例例 2 2 求 0 1 x x xy的值域 变式变式 1 1 若2 x 求 2 1 x x的最小值 在运用基本不等式解题的基础上 利用几何画板展示 0 1 x x xy的函数图象 使 学生再次感受数形结合的数学思想 并通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式 2 ba ab 的三个限制条件 一正 二定三相等 在解决最值问题中的作用 提升解决问题的能力 体会方法与策略 练一练 自主练习 练一练 自主练习 1 已知0 0 yx 且1 82 yx 求xy的最小值 2 设Ryx 且2 yx 求 yx 33 的最小值 5 5 归纳小结 反思提高归纳小结 反思提高 基本不等式 若Rba 则abba2 22 当且仅当ba 时 等号成立 若 Rba 则 2 ba ab 当且仅当ba 时 等号成立 1 基本不等式的几何解释 数形结合思想 2 运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法 媒体展示 渗透思想 媒体展示 渗透思想 若将算术平均数记为 2 1 yx z 几何平均数记为xyz 2 利用电脑 3D 技术 在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景 平面 2 1 yx z 在曲面xyz 2 的上方 6 6 布置作业 课后延拓 布置作业 课后延拓 1 基本作业 课本 P100 习题A组 1 2 题 2 拓展