2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（山东卷解析版）

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 山东卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 山东卷 解析版 题 号考点 题 号考点 1 集合的运算 12 有关平面向量的信息题 2 复数的运算 13 程序框图 3 空间中的点 线 面关系 14 不等式恒成立问题 4 函数的性质 15 三角恒等变换与解三角形 5 正态分布 16 直线与圆 6 平均数与方差 17 三角恒等变换与图象 性质 7 定积分求面积 18 数列求和 8 排列组合应用题 19 立体几何 9 等比数列与逻辑用语 20 概率 分布列与期望 10 线性规划 21 圆锥曲线的方程 11 函数的图象 24 导数的运算 试卷评析试卷评析 本套试卷围绕课程标准中内容主线 核心能力 改革理念命题 考虑了 A B 两种不同版本的 教材的差别 试题注重基础知识 基本技能和基本方法的考查 注意对算法框图 正态分布 幂函 数等新增内容进行了考查 对传统内容的考查也适度创新 如改变了传统的向量的考试模式 通过 定义新运算 既新颖又体现数学应用的价值 多数试题都是注重通性通法 有利于考生发挥真实水 平 很好的体现了课程标准的理念 重视对常规思想方法的考查 如第 5 7 10 题 考查数形结合的数学思想 第 22 题是函数和 导数的综合问题 突出考查函数的思想和分类与整合的数学思想 对推动数学教学改革起到良好的 导向作用 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在试题卷和答题卡上 并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑 2 选择题的作答 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 咎在试题卷 草稿纸上无效 3 填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内 答在试题卷 草稿纸上无效 4 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 请将本试题卷和答题卡一并上交 第 卷 共 60 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 l0l0 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分在每小题给出的四个选项中 只分在每小题给出的四个选项中 只 有一项是满足题目要求的有一项是满足题目要求的 1 已知全集 U R 集合 M x x 1 2 则 UM A x 1 x 3 B x 1 x 3 C x x3 D x x 1 或 x 3 答案 C 解析 因为集合M x x 1 2 x 1x3 全集U R 所以 U C M x x3或 故 选 C 2 技巧点拨 首先由绝对值不等式求出集合 M 然后利用补集的运算求解即可 2 已知 2 ai bi a b i 2ai bi i a b R 其中 i 为虚数单位 则 a b A 1 B 1 C 2 D 3 3 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 答案 D 解析 两平行直线的投影不一定重合 故 A 错 由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行 的判定与性质定理可知 B C 显然是错误的 故选 D 技巧点拨技巧点拨 本题可以采用举反例的方法予以排除 4 设 f x 为定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x 2x 2x b b 为常数 则 f 1 A 3 B 1 C 1 D 3 5 已知随机变量 Z 服从正态分布 N 0 2 e 若 P Z 2 0 023 则 P 2 Z 2 A 0 477 B 0 625 C 0 954 D 0 977 答案 C 解析 因为随机变量 服从正态分布 2 N 0 所以正态曲线关于直线x 0对称 又 P 2 0 023 所以P 2 P 2 1 2 0 023 0 954 故选 C 误区警示误区警示 本题在解答时极易忽视了正态曲线的对称性而导致解题错误 采用数形结合的掌握 好正态分布的对称性是解答本题的关键 6 样本中共有五个个体 其值分别为 a 0 1 2 3 若该样本的平均值为 1 则样本方差为 3 A 6 5 B 6 5 C 2 D 2 答案 D 解析 由题意知 1 a 0 1 2 3 1 5 解得a 1 所以样本方差为 222222 1 S 1 1 0 1 1 1 2 1 3 1 5 2 故选 D 7 由曲线 y 2 x y 3 x围成的封闭图形面积为 A 1 12 B 1 4 C 1 3 D 7 12 答案 A 解析 由题意得 所求封闭图形的面积为 123 0 x x dx 111 1 1 3412 故选 A 规律总结规律总结 画出两曲线所围成的图形是解决问题的关键 8 某台小型晚会由 6 个节目组成 演出顺序有如下要求 节目甲必须排在第四位 节目乙不能 排在第一位 节目丙必须排在最后一位 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A 36 种 B 42 种 C 48 种 D 54 种 9 设 an 是等比数列 则 a1 a2 a3 是数列 an 是递增数列的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 若已知 123 a a a 则设数列 n a的公比为q 因为 123 a a a 所以有 2 111 a a q1 且 1 a 0 所以数列 n a是递增数列 反之 若数列 n a是递增数列 则公比q 1且 1 a 0 所以 2 111 a a q a q 即 123 a a a 所以 123 a a a是数列 n a是递增数列的充分必要条件 思维拓展思维拓展 对充分必要条件的判断 就是看由条件是否推出结论 由结论是否推出条件 在解答对充分必要条件的判断 就是看由条件是否推出结论 由结论是否推出条件 在解答 此类问题时一定要注意 本题极易误选此类问题时一定要注意 本题极易误选 B B 10 设变量x y满足约束条件 2 5100 80 xyo xy xy 则目标函数z 3x 4y的最大值和最小值分别 为 A 3 11 B 3 11 C 11 3 D 11 3 4 11 函数y 2x 2 x的图像大致是 12 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的 am n bp q 令 abmqnp A 下面说法错误的是 A 若a与b共线 则a b 0 B a b b a C 对任意的 R R 有 a b a b D a b 2 a b 2 22 ab 答案 B 解析 若a 与b 共线 则有ab mq np 0 A 故 A 正确 因为bapn qm A 而 ab mq np A 所以有abba AA 故选项 B 错误 故选 B 技巧点拨技巧点拨 对于此类信息题 抓住题目中所反映的mqnp abA信息是解题的关键 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 执行右图所示的程序框图 若输入10 x 则输出y的值为 5 当 x 4 时 y 1 1 431 此时 x 1 当 x 1 时 y 1 2 13 11 22 此时 x 1 2 当 x 1 2 时 y 5 4 513 1 424 故此时输出 y 5 4 技巧点拨技巧点拨 对于这类循环结构的问题 我们可以将所有的 x y 的值一一代入 进行循环验证 14 若对任意0 x 2 31 x a xx 恒成立 则a的取值范围是 答案 1 5 解析 因为0 x 所以 2 11 1 315 3 x xx x x 所以 1 5 a 所以 a 的取值范围为 1 5 技巧点拨技巧点拨 本题是一个分式不等式恒成立问题 可利用基本不等式将其转化为本题是一个分式不等式恒成立问题 可利用基本不等式将其转化为 2 11 1 315 3 x xx x x 问题转化为只要 a 大于等于 2 31 x xx 的最大值 1 5 即可 15 在ABC 中 角 A B C所对的边分别为a b c 若2a 2b sincos2BB 则角A的大小为 6 16 已知圆C过点 1 0 且圆心在x轴的正半轴上 直线l 1yx 被圆C所截得的弦长为 2 2 则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 11 sin2 sincoscossin0 222 f xxx 其图象过点 6 1 2 求 的值 将函数 yf x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 纵坐标不变 得到函数 yf x 的图象 求函数 g x在 0 4 上的最大值和最小值 答案 解 因为 2 11 sin2 sincoscossin 222 f xxx 0 所以 11 cos21 sin2 sincoscos 222 x f xx 7 11 sin2 sincos2 cos 22 xx 1 sin2 sincos2 cos 2 xx 1 cos 2 2 x 又 函数图像过点 1 6 2 所以 11 cos 2 226 即 cos 1 3 又 0 解题指导 本题考查了三角函数的恒等变换 诱导公式 三角函数图象的平移变换以及三角函 数在闭区间上的最值问题 考查了同学们综合运用三角函数知识的解题能力 1 首先将三角函 数式进行化简 然后利用过定点求 值 2 利用图象的平移变换求出 g x的解析式 然后再求 闭区间上的最值问题 思维拓展 三角函数的定义和性质有着十分鲜明的特征和规律性 它和代数 几何有着密切的联 系 是研究其它部分知识的工具 在实际问题中也有着广泛的应用 因而是高考对基础知识和基本 技能考查的重要内容之一 有关三角函数的试题 其解题特点往往是先通过三角公式进行三角恒等 变形 再利用三角函数的图象和性质解题 是高考的热点 8 18 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a满足 3 7a 57 26aa n a的前n项和为 n S 求 n a及 n S 令bn 2 1 1 n a n N 求数列 n b的前n项和 n T 因此 n b 1 4 1 n n 1 4 11 1nn 故 n T 12 n bbb 1 4 11111 1 2231nn 11 1 41n 4 1 n n 所以数列 n b的前 n 项和 n T 4 1 n n 解题指导 本题考查了等差数列的性质以及等差数列的前 n 项和公式 考查了同学们灵活运用 9 所学知识解决问题的能力 1 首先利用等差数列的性质求出 6 a 则等数数列的首项与公差可求 问题可解 2 裂项法求和 思维拓展 求解有关数列的综合题 首先要善于从宏观上整体把握问题 能透过给定信息的 表象 揭示问题的本质 然后在微观上要明确解题方向 化难为易 化繁为简 注意解题的严谨性 数列问题对能力要求较高 特别是运算能力 归纳 猜想能力 转化能力 逻辑推理能力更为突出 而解答题更是考查能力的集中体现 尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查 应引起我们足够 的重视 因此 在平时要加强对能力的培养 19 本小题满分 12 分 如图 在五棱锥P ABCDE中 PA 平面 ABCDE AB CD AC ED AE BC ABC 45 AB 22 BC 2AE 4 三角形PAB是等腰三角形 求证 平面PCD 平面PAC 求直线PB与平面PCD所成角的大小 求四棱锥P ACDE的体积 解法一 因为 PAB 是等腰三角形 所以 PA AB 22 因此 4 22 ABPAPB 10 所以 6 解法二 由 知 AB AC AP 两两相互垂直 分别以 AB AC AP 为 x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系 由于 PAB 是等腰三角形 所以 PA AB 22 又 AC 22 因此 A 0 0 0 B 22 0 0 C 0 22 0 P 0 0 22 因为 AC ED CD AC 所以 四边形 ACDE 是直角梯形 因为 AE 2 ABC 45 AE BC 所以 BAE 135 因此 CAE 45 故 CD AE sin45 2 2 2 2 所以 D 2 22 0 因此 0 0 2 22 22 0 CDCP 设 m x y z 是平面 PCD 的一个法向量 11 故 CD AE sin45 2 2 2 2 所以 32 2 222 ACDE 四边形 S 又 PA 平面 ABCDE 所以 22223 2 1 V ACDE P 解题指导 本题考查了空间几何体的线面与面面垂直 线面角的求解以及几何体的体积计算等 问题 考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力 1 在ABC 中 由余弦定理得到 AC 的 长 由勾股定理得到线线垂直 线面垂直 最后证面面垂直 2 首先做出线面角然后求解 3 利用四棱锥的体积公式直接求解 方法总结 空间几何问题通常包括点 线 面的位置关系的判断与证明以及点 线 面之间的 角度或长度求解等问题 一般可以通过辅助线的构造 结合点 线 面的相应概念 性质 定理判 断与求解 20 本小题满分 12 分 某学校举行知识竞赛 第一轮选拔共设有 A B C D四个问题 规则如下 每位参加者计分器的初始分均为 10 分 答对问题 A B C D分别加 1 分 2 分 3 分 6 分 12 答错任一题减 2 分 每回答一题 计分器显示累计分数 当累计分数小于 8 分时 答题结束 淘汰出局 当累计分 数大于或等于 14 分时 答题结束 进入下一轮 当答完四题 累计分数仍不足 14 分时 答题 结束 淘汰出局 当累计分数大于或等于 14 分时 答题结束 进入下一轮 当答完四题 累 计分数仍不足 14 分时 答题结束 淘汰出局 每位参加者按问题 A B C D顺序作答 直至答题结束 假设甲同学对问题 A B C D回答正确的概率依次为 3 1 1 1 4 2 3 4 且各题回答正确与否相互之间没 有影响 求甲同学能进入下一轮的概率 用 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数 求 的分布列和数学的E 则 1231234123412341234 QM M MN M M MM N M MM M M MN M N M 由于每题答题结果相互独立 因此 1231234123412341234 P QP M M MN M M MM N M MM M M MN M N M 123123412341234 P M M MP N M M MM N M MM N M M P P 1234 N M N M P 12312341234 P M P MP MP N P MP MP MM P NP MP M P 12341234 M P NP NP MN P MP NP M P P 13 31111113111 42342344234 3121 4234 1121 4234 1 4 由题意 随机变量 的可能取值为 2 3 4 由于每题答题结果相互独立 所以 1212 1 2 8 PP N NP N P N 123123 3 PP M M MP M N N 123123 P M P MP MP M P NP N 311312 423423 3 8 4 1 2 3 PPP 131 1 882 因此 随机变量 的分布列为 234 P1 8 3 8 1 2 所以 13127 234 8828 E 命题意图 本题考查了相互独立事件同时发生的概率 考查了离散型随机变量的分布列以及 数学期望的知识 考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力 1 利用相互独立事件的概率 公式与对立事件的公式求解 2 列出随机变量所有可能的取值 然后求其概率 列出分布列 求 其期望 方法总结 求离散型随机变量分布列和期望时要注意两个问题 一是求出随机变量所有可能的值 二是求出取每一个值时的概率 求随机数列的分布列 关键是概率类型的确定与转化 21 本小题满分 12 分 14 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 2 2 以该椭圆上的点和椭圆的左 右焦点 12 F F为顶点的三角 形的周长为4 21 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦 点 设P为该双曲线上异于顶点的任一点 直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为BA 和CD 求椭圆和双曲线的标准方程 设直线 1 PF 2 PF的斜率分别为 1 k 2 k 证明 12 1k k 是否存在常数 使得 ABCDAB CD 恒成立 若存在 求 的值 若不存在 请说明理由 由题意设等轴双曲线的标准方程为 22 22 1 xy mm 0m 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点 所以 m 2 15 由韦达定理得 22 11 1212 22 11 888 2121 kk xxx x kk 所以 22 11212 1 4ABkxxx x 22 2 11 1 222 11 888 14 21 21 kk k kk 2 1 2 1 1 4 2 21 k k 同理可得 2 2 2 2 1 4 2 21 k CD k 则 22 12 22 12 2121111 114 2 kk ABCDkk 又 12 1k k 所以 22 11 2 1 2 1 2 1 21111 1 14 2 kk ABCDk k 22 11 22 11 21223 2 8118 kk kk 16 故 3 2 8 ABCDAB CD 因此 存在 3 2 8 使 ABCDAB CD 恒成立 命题意图 本题考查了椭圆的定义 离心率 椭圆与双曲线的标准方程 直线与圆锥曲 线的位置关系 是一道综合性的试题 考查了学生综合运用知识解决问题的能力 其中问题 3 是一个开放性问题 考查了同学们观察 推理以及创造性地分析问题 解决问题的能力 1 利 用椭圆定义与离心率公式求出 a b 的值 椭圆与双曲线方程即可求出 2 设出 P 点的坐标 写出直线的斜率 1 k 2 k的乘积 与双曲线方程联立可证 3 设出直线 AB 的方程 与椭圆方程 联立 借助于韦达定理求出有关线段的长度 即可求出 的值 方法提炼 解决此类问题时既要利用圆锥曲线的概念 性质 又要结合图形 利用平面几何的性 质 对于直线与圆锥曲线的相交问题 一般考虑把直线方程与圆锥曲线方程联立组成方程组 通过 消去一个未知数 得到一元二次方程 利用韦达定理 纵坐标的关系式 并结合中点坐标公式 斜 率公式 弦长公式以及已知条件等解决问题 22 本小题满分 14 分 已知函数 1 ln1 a f xxax x aR 当 1 2 a 时 讨论 f x的单调性 设 2 24 g xxbx 当 1 4 a 时 若对任意 1 0 2 x 存在 2 1 2x 使 12 f xg x 求实数b取值范围 所以 当 0 1 x 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递减 当 1 x 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递增 2 当0a 时 由 0fx 17 即 2 10axxa 解得 12 1 1 1xx a 当 1 2 a 时 12 0 xx h x 恒成立 此时 0fx 函数 f x在 0 上单调递 减 当 11 01 1 0 2 a a 时 0 1 x 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递减 1 1 1 x a 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递增 1 1 x a 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递减 当0a 时 由于 1 1 0 a 0 1 x 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递减 1 x 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递增 因为 a 11 0 42 由 知 1 x 1 2 x 3 0 2 当 0 1 x 时 0fx 函数 f x单调递减 min 117 2 840 2 28 g xgbbb 当 1 2 x 时 0fx 函数 f x单调递增 所以 f x在 0 2 上的最小值为 1 1 2 f 由于 对任意 1 0 2 x 存在 2 1 2x 使 12 f xg x 等价于 g x在 1 2上的最小值不大于 f x在 0 2 上的最小值 1 2 18 又 g x 22 4xbb 1 1 2x 所以 当1b 时 因为 min 1 520g xgb 此时与 矛盾 当 1 2b 时 因为 2 min 40g xb 同样与 矛盾 当 2 b 时 因为 min 2 84g xgb 解不等式 8 4b 1 2 可得 17 8 b 综上 b 的取值范围是 17 8 命题意图 本题将导数 二次函数 不等式知识有机的结合在一起 考查了利用导数研究函数 的单调性 利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题 考查了同学们分类讨论的数学思想以 及解不等式的能力 考查了学生综合运用所学知识分析问题 解决问题的能力 1 直接利用函数 与导数的关系讨论函数的单调性 2 利用导数求出 f x的最小值 利用二次函数知识或分离常 数法求出 g x在闭区间 1 2 上的最大值 然后解不等式求参数 方法提炼 利用导数的工具研究函数的性质 不仅体现教材改革的一种理念 也是初等数学和高 等数学一个很好的衔接点 该题解法中应用到函数与方程的思想 分类讨论思想 转化与化归的思 想都是考试说明要求较高的思想方法 达到了知识内容考查和思想方法考查相结合的目的 以函数 为背景 以导数为工具 在函数 不等式及解析几何等知识网络交汇点命题 已成为高考的热点问 题 19 1 cos 2 2 x 又 函数图像过点 1 6 2 所以 11 cos 2 226 即 cos 1 3 又 0 所以 3 由 知 1 cos 2 23 x 将函数 yf x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 纵坐 标不变 得到函数 yg x 的图象 可知 1 2 cos 4 23 g xfxx 因为 0 4 x 所以 40 x 20 因为 n a 2n 1 所以 2 n a 1 4n n 1 因此 n b 1 4 1 n n 1 4 11 1nn 故 n T 12 n bbb 1 4 11111 1 2231nn 11 1 41n 4 1 n n 所以数列 n b的前 n 项和 n T 4 1 n n 19 本小题主要考察空间中的基本关系 考察线面垂直 面面垂直的判定以及线面角和集合体体 积的计算 考查识图能力 空间想象力和逻辑推理能力 满分 12 分 证明 在 ABC 中 因为 ABC 45 BC 4 AB 22 21 所以 AC2 AB BC2 2AB BC cos45 8 因此 AC 22 故 BC2 AC2 AB2 所以 BAC 90 又 PA 平面 ABCDE AB CD 所以 CD PA CD AC 又 PA AC 平面 PAC 且 PA AC A 所以 CD PAC 又 CD 平面 PCD 所以 平面 PCD 平面 PAC 解法一 因为 PAB 是等腰三角形 所以 PA AB 22 因此 4 22 ABPAPB 又 AB CD 所以点 B 到平面 PCD 的距离等于点 A 到平面 PCD 的距离 由于 CD 平面 PAC 在 Rt PAC 中 PA 22 AC 22 所以 PC 4 故 PC 边上的高为 2 此即为点 A 到平面 PCD 的距离 所以 B 到平面 PCD 的距离为 h 2 设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 则 2 1 4 2 sin PB h 又 2 0 所以 6 解法二 由 知 AB AC AP 两两相互垂直 分别以 AB AC AP 为 x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系 由于 PAB 是等腰三角形 所以 PA AB 22 又 AC 22 因此 A 0 0 0 B 22 0 0 22 设 表示向量 BP 与平面 PCD 的法向量 m 所成的角 则 2 1 m m cos BP BP 所以 3 因此直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 6 因为 AC ED CD AC 所以 四边形 ACDE 是直角梯形 因为 AE 2 ABC 45 AE BC 所以 BAE 135 因此 CAE 45 故 CD AE sin45 2 2 2 2 所以 32 2 222 ACDE 四边形 S 23 1231234123412341234 QM M MN M M MM N M MM M M MN M N M 由于每题答题结果相互独立 因此 1231234123412341234 P QP M M MN M M MM N M MM M M MN M N M 123123412341234 P M M MP N M M MM N M MM N M M P P 1234 N M N M P 12312341234 P M P MP MP N P MP MP MM P NP MP M P 12341234 M P NP NP MN P MP NP M P P 31111113111 42342344234 3121 4234 1121 4234 1 4 由题意 随机变量 的可能取值为 2 3 4 由于每题答题结果相互独立 所以 24 1212 1 2 8 PP N NP N P N 123123 3 PP M M MP M N N 123123 P M P MP MP M P NP N 311312 423423 3 8 4 1 2 3 PPP 131 1 882 因此 随机变量 的分布列为 234 P1 8 3 8 1 2 所以 13127 234 8828 E 21 本小题主要考查椭圆 双曲线的基本概念和基本性质 考查直线和椭圆的位置关系 考查坐 标化 定值和存在性问题 考查数行结合思想和探求问题的能力 解 设椭圆的半焦距为 c 由题意知 2 22 2222 00 1100 12 00 22 00