数列放缩技巧

数列放缩技巧 1 数列放缩技巧数列放缩技巧 证明数列型不等式 因其思维跨度大 构造性强 需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性 能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力 因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好 素材 这类问题的求解策略往往是 通过多角度观察所给数列通项的结构 深入剖析其特征 抓住其规 律进行恰当地放缩 其放缩技巧主要有以下几种 一 裂项放缩一 裂项放缩 例例 1 1 求求的值的值 2 求证求证 n k k 1 2 14 2 3 51 1 2 n k k 解析解析 1 因为因为 所以所以 12 1 12 1 12 12 2 14 2 2 nnnnn12 2 12 1 1 14 2 1 2 n n nk n k 2 因为因为 所以所以 12 1 12 1 2 14 4 4 1 11 2 2 2 nnn n n 3 5 3 2 1 12 1 12 1 5 1 3 1 21 1 1 2 nnk n k 奇巧积累奇巧积累 1 2 12 1 12 1 2 14 4 4 41 222 nnnnn 1 1 1 1 1 1 21 21 1 nnnnnnnCC nn 3 2 1 1 1 1 1 11 1 1 r rrrrrnrnr n n CT rr r nr 4 2 5 1 1 23 1 12 1 11 1 1 nnn n 5 6 nnnn 2 1 12 1 12 2 1 nn n 2 2 1 7 8 1 2 1 1 2 nn n nn nnn nnnn2 32 1 2 12 1 2 1 32 1 12 2 1 9 knnkknnnkknknk1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10 11 1 1 1 1 nnn n 2 1 2 1 2 1212 22 1212 2 1 nn nn nn n 11 2 12 1 12 1 12 12 2 22 12 2 12 12 2 12 2 11 1 2 n nnnn n nn n nn n n n 12 11 1 1 1 1 1 1 1 111 23 nnnnnnnnn nnn 1 1 1 1 2 11 1 1 1 1 nnn nn nn 13 3 2 12 1 3 2 122 12 332 13 222 1 n n n nnnnnn 14 15 2 1 1 1 2 1 2 kkkkk k 2 1 1 1 nnn nn 15 1 11 11 11 2222 2222 ji ji jiji ji ji ji 例例 2 1 求证求证 2 12 2 1 6 7 12 1 5 1 3 1 1 222 n nn 数列放缩技巧 2 2 求证求证 nn4 1 2 1 4 1 36 1 16 1 4 1 2 3 求证求证 112 2642 12 531 642 531 42 31 2 1 n n n 4 求证 求证 112 2 1 3 1 2 1 1 11 2 n n n 解析解析 1 因为因为 所以所以 12 1 12 1 2 1 12 12 1 12 1 2 nnnnn 12 1 3 1 2 1 1 12 1 3 1 2 1 1 12 1 1 2 nni n i 2 1 11 4 1 1 2 1 1 4 1 4 1 36 1 16 1 4 1 222 nnn 3 先运用分式放缩法证明出先运用分式放缩法证明出 再结合再结合进行裂项进行裂项 最后就可以最后就可以 12 1 2642 12 531 nn n nn n 2 2 1 得到答案得到答案 4 首先首先 所以容易经过裂项得到所以容易经过裂项得到 nn nn n 1 2 1 2 1 n n 1 3 1 2 1 1 11 2 再证再证而由均值不等式知道这是显然成立的 所以而由均值不等式知道这是显然成立的 所以 2 1 2 1 2 1212 22 1212 2 1 nn nn nn n 112 2 1 3 1 2 1 1 n n 例例 3 求证求证 3 51 9 1 4 1 1 12 1 6 2 nnn n 解析解析 一方面一方面 因为因为 所以所以 12 1 12 1 2 14 4 4 1 11 2 2 2 nnn n n 3 5 3 2 1 12 1 12 1 5 1 3 1 21 1 1 2 nnk n k 另一方面另一方面 11 1 1 1 1 43 1 32 1 1 1 9 1 4 1 1 2 n n nnnn 当当时时 当当时时 3 n 12 1 6 1 nn n n n 1 n 2 1 9 1 4 1 1 12 1 6 nnn n 当当时时 所以综上有所以综上有2 n 2 1 9 1 4 1 1 12 1 6 nnn n 3 51 9 1 4 1 1 12 1 6 2 nnn n 例例 4 2008 年全国一卷年全国一卷 设函数设函数 数列数列满足满足 设设 整数 整数 lnf xxxx n a 1 01a 1 nn af a 1 1 ba 证明证明 1 1ln ab k ab 1k ab 解析解析 由数学归纳法可以证明由数学归纳法可以证明是递增数列是递增数列 故存在正整数故存在正整数 使使 则则 n a km bam 否则若否则若 则由则由知知 baa kk 1 kmbam 10 1 baa m 数列放缩技巧 3 因为因为 0lnlnln 11 baaaaa mmm k m mmkkkk aaaaaaa 1 11 lnln ln ln 1 1 bakaa k m mm 于是于是 bababakaak ln 11111 例例 5 已知已知 求证求证 mmmm m nSxNmn 321 1 1 1 1 11 m n m nSmn 解析解析 首先可以证明首先可以证明 nxx n 1 1 所以要证所以要证 n k mmmmmmmm kknnnnn 1 11111111 1 01 2 1 1 只要证只要证 1 1 1 11 m n m nSmn n k mmmmmmmmm n k m n k mm kknnnnnkmkk 1 1111111111 11 11 1 2 1 1 1 1 1 1 故只要证故只要证 即等价于即等价于 n k mm n k m n k mm kkkmkk 1 11 11 11 1 1 1 即等价于即等价于 mmmmm kkkmkk 111 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 mm kk m kk m 而正是成立的而正是成立的 所以原命题成立所以原命题成立 例例 6 已知 求证求证 nn n a24 n n n aaa T 21 2 2 3 321 n TTTT 解析解析 21 2 14 3 4 21 21 2 41 41 4 222 4444 21321nn nn nn n T 所以所以 123 2 2 2 2 3 2234 23 2 3 2 3 4 2 22 3 4 3 4 2 21 2 14 3 4 2 211 1 1 1 1 nn n nn n n n n n n n nn n n T 12 1 12 1 2 3 12 122 2 2 3 1nnnn n 从而从而 2 3 12 1 12 1 7 1 3 1 3 1 1 2 3 1 321 nn n TTTT 例例 7 已知已知 求证求证 1 1 x 2 1 12 Zkknn Zkknn xn 11 2 111 4 122 4 54 4 32 Nnn xxxxxx nn 证明证明 因为因为 nn nn nnxx nn 2 2 2 1 4 1 14 1 12 12 11 42424 4 122 所以所以 12 nnn 1 2 1 2 2 21 4 122 nn nnnxx nn 所以所以 11 2 111 4 122 4 54 4 32 Nnn xxxxxx nn 二 函数放缩二 函数放缩 例例 8 求证 求证 6 65 3 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln Nn n n n n 解析解析 先构造函数有先构造函数有 从而从而 xx x xx 1 1 ln 1ln 3 1 3 1 2 1 13 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln n n n n 因为因为 nnnn 3 1 12 1 2 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 6 5 3 3 32 3 27 9 18 9 9 3 6 3 6 5 1 1 1 n n n n n 数列放缩技巧 4 所以所以 6 65 3 6 5 13 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln nn nn n n 例例 9 求证求证 1 2 1 2 12ln 3 3ln 2 2ln 2 2 n n nn n n 解析解析 构造函数构造函数 得到得到 再进行裂项再进行裂项 求和后可以得到答案求和后可以得到答案 x x xf ln 2 2 lnln n n n n 1 1 1 1 1 ln 22 2 nnnn n 函数构造形式 1ln xx 2 1ln nn 例例 10 求证求证 n n n 1 2 1 1 1ln 1 1 3 1 2 1 解析解析 提示提示 2ln 1 ln 1 ln 1 2 1 1 ln 1ln n n n n n n n n n 函数构造形式 x xxx 1 1ln ln 当然本题的证明还可以运用积分放缩当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图如图 取函数取函数 x xf 1 首先首先 从而从而 n in ABCF x S 1 ln ln ln 11 innx x i n n in n in 取取有有 1 i 1ln ln 1 nn n 所以有所以有 相加后可以得到相加后可以得到 2ln 2 1 2ln3ln 3 1 1ln ln 1 nn n nn n ln 1ln 1 1 1ln 1 1 3 1 2 1 n n 另一方面另一方面 从而有从而有取取有有 n in ABDE x S 1 ln ln ln 11 innx x i in n in n in 1 i 1ln ln 1 1 nn n 所以有所以有 所以综上有所以综上有 n n 1 2 1 1 1ln n n n 1 2 1 1 1ln 1 1 3 1 2 1 例例 11 求证求证 和和 e n 1 1 3 1 1 2 1 1 e n 3 1 1 81 1 1 9 1 1 2 解析解析 构造函数后即可证明构造函数后即可证明 例例 12 求证求证 32 1 1 321 211 n enn 解析解析 叠加之后就可以得到答案叠加之后就可以得到答案 1 1 3 2 1 1 ln nn nn 函数构造形式 加强命题加强命题 0 1 3 1ln 1 0 1 3 2 1ln x xx x x x x 例例 13 证明证明 1 4 1 1 ln 5 4ln 4 3ln 3 2ln nNn nn n n 解析解析 构造函数构造函数 求导求导 可以得到可以得到 1 1 1 1ln xxxxf 令令有有 令令有有 1 2 1 1 1 x x x xf 0 xf21 x0 xf2 x 所以所以 所以所以 令令有有 0 2 fxf2 1ln xx1 2 nx1ln 22 nn 所以所以 所以所以 2 1 1 ln n n n 1 4 1 1 ln 5 4ln 4 3ln 3 2ln nNn nn n n F E D C BA n in y x O 数列放缩技巧 5 例例 14 已知已知证明证明 11 2 11 1 1 2 nn n aaa nn 2 n ae 解析解析 然后两边取自然对数然后两边取自然对数 可以得到可以得到 n nn nn a nn a nn a 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 n n n a nn aln 2 1 1 1 1ln ln 1 然后运用然后运用和裂项可以得到答案和裂项可以得到答案 放缩思路 放缩思路 xx 1ln n n n a nn a 2 11 1 2 1 n n n a nn aln 2 11 1ln ln 2 1 于是 于是 n n nn a 2 11 ln 2 n nn nn aa 2 11 lnln 2 1 2 2 11 2 2 1 1 2 1 1 1 1lnln 2 11 ln ln 1 1 2 1 1 1 1 1 n n n i n i ii n i nn aa ii aa 即即 2lnln 2 1 eaaa nn 注 题目所给条件注 题目所给条件 为一有用结论 可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用 为一有用结论 可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用 ln 1 xx 0 x 当然 本题还可用结论当然 本题还可用结论来放缩 来放缩 2 1 2 nnn n 1 1 1 1 1 1 nn a nn a nn 1 1 1 1 1 1nn a nn a 1 1 1 1 1ln 1ln 1ln 1 nnnn aa nn 1 1 1 1ln 1ln 1 1 1ln 1ln 2 1 2 1 1 2 n aa ii aa n n i ii n i 即即 133ln1 1ln 2 eeaa nn 例例 15 2008 年厦门市质检年厦门市质检 已知函数已知函数是在是在上处处可导的函数上处处可导的函数 若若在在 xf 0 xfxfx 上恒成立上恒成立 I 求证 函数求证 函数上是增函数 上是增函数 0 x 0 在 x xf xg II 当当 0 0 212121 xxfxfxfxx 证明时 III 已知不等式已知不等式时恒成立 时恒成立 01 1ln xxxx且在 求证 求证 2 1 2 1ln 1 1 4ln 4 1 3ln 3 1 2ln 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Nn nn n n n 解析解析 I 所以函数所以函数上是增函数上是增函数 0 2 x xfxxf xg 0 在 x xf xg II 因为因为上是增函数上是增函数 所以所以 0 在 x xf xg 21 21 1 1 21 21 1 1 xxf xx x xf xx xxf x xf 21 21 2 2 21 21 2 2 xxf xx x xf xx xxf x xf 两式相加后可以得到两式相加后可以得到 2121 xxfxfxf 3 21 21 1 1 21 21 1 1 n nn n xxxf xxx x xf xxx xxxf x xf 21 21 2 2 21 21 2 2 n nn n xxxf xxx x xf xxx xxxf x xf 21 2121 21 n n n n n n n n xxxf xxx x xf xxx xxxf x xf 相加后可以得到相加后可以得到 2121nn xxxfxfxfxf 所以所以令令 有有 ln lnlnlnln 2121332211nnnn xxxxxxxxxxxxxx 2 1 1 n xn 2 2 2 2 2 2 2 2 1ln 1 1 4ln 4 1 3ln 3 1 2ln 2 1 n n 2222222 1 1 3 1 2 1 ln 1 1 4 1 3 1 2 1 nn nnn 1 1 23 1 12 1 ln 1 1 3 1 2 1 222 数列放缩技巧 6 2 1 22 1 2 1 1 1 nn n nn 所以所以 2 1 2 1ln 1 1 4ln 4 1 3ln 3 1 2ln 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Nn nn n n n 方法二方法二 2 1 1 1 4ln 2 1 4ln 2 1 1ln 1 1ln 2 2 2 nnnnnn n n n 所以所以 2 2 4ln 2 1 2 1 4ln 1ln 1 1 4ln 4 1 3ln 3 1 2ln 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n 又又 所以所以 1 1 14ln n 2 1 2 1ln 1 1 4ln 4 1 3ln 3 1 2ln 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Nn nn n n n 例例 16 2008 年福州市质检年福州市质检 已知函数已知函数若若 ln xxxf 2ln 0 0bfbafbaafba 证明 解析解析 设函数设函数 0 g xf xf kxk 2 0 2 1 0 ln1 ln 1ln 0 ln ln ln kx k xk kx xk x xg xk x xkxxg kx xkxkxxxg xxxf 则有令 函数函数 上单调递增 在 上单调递增 在上单调递减上单调递减 k k xg 2 在 2 0 k 的最小值为的最小值为 即总有 即总有 xg 2 kg 2 k gxg 而而 2ln 2ln ln 2 ln 2 2 2 kkfkk k k k kf k f k g 2ln kkfxg 即即 2 ln kkfxkfxf 令令则则 bxkax bak 2 ln babafbfaf 2ln bfbafbaaf 例例 17 设函数设函数 求 求的最小值 的最小值 10 1 log 1 log 22 xxxxxxf xf 设正数设正数满足满足 证明 证明 n pppp 2 321 1 2 321 n pppp npppppppp nn 2 2 2 323222121 loglogloglog 解析解析 对函数对函数求导数 求导数 xf 1 log 1 log 22 xxxxxf 于是于是 2ln 1 2ln 1 1 loglog 22 xx 1 loglog 22 xx 0 2 1 f 当当在区间在区间是减函数 是减函数 22 1 loglog 1 0 2 xfxxxf x 时 2 1 0 当当在区间在区间是增函数是增函数 22 1 loglog 1 0 2 xfxxxf x 时 1 2 1 所以所以时取得最小值 时取得最小值 2 1 xxf在 1 2 1 f 证法一 用数学归纳法证明 证法一 用数学归纳法证明 i 当 当 n 1 时 由 时 由 知命题成立 知命题成立 ii 假定当 假定当时命题成立 即若正数时命题成立 即若正数 kn 1 2 21 2 21 kk pppppp 满足 数列放缩技巧 7 则则 logloglog 2 2 2 222121 kpppppp kk 当当时 若正数时 若正数令令 1 kn 1 11 2 21 2 21 kk pppppp 满足 2 2 2 2 1 1 2 21 x p q x p q x p qpppx k kk 则则为正数 且为正数 且由归纳假定知由归纳假定知 k qqq 2 21 1 2 21 k qqq logloglog 2 2 2 222121 kqqpppq kk kkkk qqqqqqxpppppp 2 2 2 222121 2 2 2 222121 logloglog logloglog log log 22 xxkxx 同理 由同理 由可得可得 xppp kkk 1 1 22212 11 2 2 212 2 12 loglog kkkk pppp 1 log 1 1 2 xxkx 综合综合 两式两式 11 2 2 2 222121 logloglog kk pppppp 即当即当时命题也成立时命题也成立 1 1 log 1 log 1 22 kxxxxkxx1 kn 根据 根据 i ii 可知对一切正整数 可知对一切正整数 n 命题成立命题成立 证法二 证法二 令函数令函数 那么常数 0 0 log log 22 cxcxcxcxxxg log 1 log 1 log 222 c c x c x c x c x cxg 利用 利用 知 当 知 当 1 22 xc xg x c 即时函数取得最小值 对任意对任意 都有 0 0 21 xx 2 log 2 2loglog 21 2 21 222121 xxxx xxxx 1 log 21221 xxxx 下面用数学归纳法证明结论下面用数学归纳法证明结论 i 当 当 n 1 时 由 时 由 I 知命题成立 知命题成立 ii 设当 设当 n k 时命题成立 即若正数时命题成立 即若正数 有满足 1 2 21 2 21 kk pppppp 11 1111 1212222 22 1212 22 12122222 212122 logloglog 1 1 loglogloglog kk kk kkkk ppppppk nkp ppppp Hpppppppp 当时满足 令 由由 得到得到 1111 11 122122 212212 12 212 log 1 log 1 1 kkkk kk Hpppppppp pppp 因为 由归纳法假设由归纳法假设 1111 122122 212212 log log kkkk ppppppppk 得到 11 12 212 1 kk Hkppppk 即当即当时命题也成立时命题也成立 1 kn 所以对一切正整数所以对一切正整数 n 命题成立命题成立 例例 18 设关于设关于 x 的方程的方程有两个实根有两个实根 且 且 定义函数 定义函数若若为正实数 为正实数 01 2 mxx 1 2 2 x mx xf 数列放缩技巧 8 证明不等式 证明不等式 ff 解析解析 当当 1 2 2 x mx xf 22 2 22 2 1 1 2 1 2 2 1 2 x mxx x xmxx xf 0 1 2 xxmxxx时0 xf 上为增函数上为增函数 在xf 且 R 0 0 a 由可知由可知同理可得同理可得 ffaf ffaf ffffff 又由 又由 知 知 ffff 1 1 1 ff 所以所以 11 a ff ff 三 分式放缩三 分式放缩 姐妹不等式姐妹不等式 和和 记忆口诀记忆口诀 小者小小者小 大者大大者大 0 0 mab ma mb a b 0 0 mba ma mb a b 解释解释 看看 b 若若 b 小小 则不等号是小于号则不等号是小于号 反之反之 例例 19 姐妹不等式姐妹不等式 和和也可以表示成为也可以表示成为 12 12 1 1 5 1 1 3 1 1 11 n n 12 1 2 1 1 6 1 1 4 1 1 2 1 1 n n 和和 12 12 531 2642 n n n 12 1 2642 12 531 nn n 解析解析 利用假分数的一个性质利用假分数的一个性质可得可得 0 0 mab ma mb a b 12 2 5 6 3 4 1 2 n n n n 2 12 6 7 4 5 2 3 12 2 12 6 5 4 3 2 1 n n n 即即 12 12 2 5 6 3 4 1 2 2 n n n 12 12 1 1 5 1 1 3 1 1 11 n n 例例 20 证明证明 13 23 1 1 7 1 1 4 1 1 11 3 n n 解析解析 运用两次次分式放缩运用两次次分式放缩 加加 1 13 3 8 9 5 6 2 3 23 13 7 8 4 5 1 2 n n n n 加加 2 n n n n 3 13 9 10 6 7 3 4 23 13 7 8 4 5 1 2 相乘相乘 可以得到可以得到 13 13 23 8 7 5 4 2 1 13 13 8 10 5 7 2 4 23 13 7 8 4 5 1 2 2 n n n n n n n 所以有所以有 13 23 1 1 7 1 1 4 1 1 11 3 n n 四 分类放缩四 分类放缩 例例 21 求证求证 212 1 3 1 2 1 1 n n 解析解析 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 2 1 1 12 1 3 1 2 1 1 3333n 数列放缩技巧 9 2 2 1 1 22 1 2 1 2 1 2 1 nn nnnnn 例例 22 2004 年全国高中数学联赛加试改编年全国高中数学联赛加试改编 在平面直角坐标系在平面直角坐标系中中 轴正半轴上的点列轴正半轴上的点列与曲与曲xoyy n A 线线 0 上的点列 上的点列满足满足 直线 直线在在 x 轴上的截距为轴上的截距为 点点的横坐标为的横坐标为 xy2 x n B n OBOA nn 1 nnB A n a n B n b Nn 1 证明证明 4 2 证明有证明有 使得对 使得对都有都有 n a 1 n a Nn Nn0 0 nn n n n n b b b b b b b b 1 12 3 1 2 2008 n 解析解析 1 依题设有 依题设有 由 由得 得 1 0 2 0 nnnnn ABbbb n 1 n OB n 又直线又直线在在轴上的截距为轴上的截距为满足满足 2 22 11 2 1 1 nnn bbbnN nn nn A B x n a 11 0200 nnn abb nn 12 n n n b a nb 222 2 1 210 2 nnn n n bn bb n b 22 12 12 224 1 212 nn n nnn nn nn bnb b abb n bn bnbn b 22 11 1 1221 n a nn 显然 对于显然 对于 有 有11 0 1nn 1 4 nn aanN 2 证明 设证明 设 则 则 1 1 n n n b cnN b 22 2 2 22 222 2 222 22 11 1 11 1 1 1 11 1111 1 111 1 1 1 1 21211121 211 1121 2121 n n n n cn n n nn n nnn n nnn nn 2 1 212210 2 n nnnncnN n 设设 则当 则当时 时 12 nn Sccc nN 221 k nkN 231 1111111111 3421234212212 n kkkk S 21 23 1111 222 2222 k k k 所以 取所以 取 对 对都有 都有 4009 0 22n 0 nn 2008 2 14017 111 0 1 2 3 1 2 nn n n SS b b b b b b 故有故有 成立 成立 n n n n b b b b b b b b 1 12 3 1 2 2008 n 例例 23 2007 年泉州市高三质检年泉州市高三质检 已知函数已知函数 若 若的定义域为的定义域为 1 0 1 2 Rcbcbxxxf xf 值域也为值域也为 1 0 若数列若数列满足满足 记数列 记数列的前的前项和为项和为 问是否存在正常数 问是否存在正常数 n b 3 Nn n nf bn n b n n T 数列放缩技巧 10 A 使得对于任意正整数 使得对于任意正整数都有都有 并证明你的结论 并证明你的结论 n ATn 解析解析 首先求出首先求出 xxxf2 2 nn nn n nf bn 12 3 2 3 n bbbbT nn 1 3 1 2 1 1 321 2 1 4 1 2 4 1 3 1 2 1 8 1 4 8 1 7 1 6 1 5 1 故当故当时时 2 1 2 1 2 2 1 22 1 12 1 1 11 k k kkk k n2 1 2 k Tn 因此 对任何常数因此 对任何常数 A 设 设是不小于是不小于 A 的最小正整数 则当的最小正整数 则当时时 必有必有 m 22 2 m n Am m Tn 1 2 22 故不存在常数故不存在常数 A 使使对所有对所有的正整数恒成立的正整数恒成立 ATn 2 n 例例 24 2008 年中学教学参考年中学教学参考 设不等式组设不等式组表示的平面区域为表示的平面区域为 设设内整数坐标点的个数为内整数坐标点的个数为 nnxy y x 3 0 0 n D n Dn a 设设 当当时时 求证求证 nnn n aaa S 221 111 2 n 36 1171111 2 321 n aaaa n 解析解析 容易得到容易得到 所以所以 要证要证只要证只要证 因为因为 nan3 36 1171111 2 321 n aaaa n 12 117 2 1 3 1 2 1 1 2 n S n n nnn n S 2 1 22 1 12 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 112 所以原命题得证所以原命题得证 12 117 1 12 7 2 3 2 1 1 121 222 n nTTT n 五 迭代放缩五 迭代放缩 例例 25 已知已知 求证求证 当当时时 1 1 4 11 x x x x n n n 2 n n n i i x 1 1 22 2 解析解析 通过迭代的方法得到通过迭代的方法得到 然后相加就可以得到结论然后相加就可以得到结论 1 2 1 2 n n x 例例 26 设设 求证求证 对任意的正整数对任意的正整数 k 若若 k n 恒有恒有 Sn k Sn 0 b 0 求证 求证 1 2 nnn ba 解析解析 因为因为 a b 1 a 0 b 0 可认为可认为成等差数列 设成等差数列 设 ba 2 1 dbda 2 1 2 1 从而从而 n nn nn ddba 1 2 2 1 2 1 例例 47 设设 求证 求证 Nnn 1 2 1 8 3 2 nn n 解析解析 观察观察的结构 注意到的结构 注意到 展开得 展开得 n 3 2 nn 2 1 1 2 3 8 6 2 1 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 3 3 2 21 nnnnn CCC nnn n 即即 得证 得证 8 2 1 2 1 1 nn n 例例 48 求证求证 nnn 2ln 2 1 1ln 2ln3ln 解析解析 参见上面的方法参见上面的方法 希望读者自己尝试希望读者自己尝试 例例 42 2008 年北京海淀年北京海淀 5 月练习月练习 已知函数已知函数 满足 满足 yf x xy NN 对任意对任意 都有 都有 a bab N abfbafbbfaaf 对任意对任意都有都有 n N 3f f nn I 试证明 试证明 为为上的单调增函数 上的单调增函数 II 求 求 xf N 28 6 1 fff III 令 令 试证明 试证明 3 n n afn N 12 1111 424 n n naaa 解析解析 本题的亮点很多本题的亮点很多 是一道考查能力的好题是一道考查能力的好题 1 运用抽象函数的性质判断单调性运用抽象函数的性质判断单调性 因为因为 所以可以得到所以可以得到 abfbafbbfaaf 0 bfbaafba 也就是也就是 不妨设不妨设 所以所以 可以得到可以得到 也就是说也就是说为为上的上的 0 bfafbaba bfaf xf N 单调增函数单调增函数 2 此问的难度较大此问的难度较大 要完全解决出来需要一定的能力要完全解决出来需要一定的能力 首先发现条件不是很足首先发现条件不是很足 尝试探索看看按尝试探索看看按 1 中的不等式可以不可以得到什么结论中的不等式可以不可以得到什么结论 一发现就有思路了一发现就有思路了 数列放缩技巧 17 由由 1 可知可知 令令 则可以得到则可以得到 又又 0 bfafba 1 1fab 0 1 1 1 fffxf 所以由不等式可以得到所以由不等式可以得到 又又 所以可以得到所以可以得到 3 1 ff3 1 1 f 1 Nf 2 1 f 接下来要运用迭代的思想接下来要运用迭代的思想 因为因为 所以所以 2 1 f3 1 2 fff6 2 3 fff9 3 6 fff 18 6 9 fff27 9 18 fff54 18 27 fff81 27 54 fff 在此比较有技巧的方法就是在此比较有技巧的方法就是 所以可以判断所以可以判断 2754275481 55 28 f 当然当然 在这里可能不容易一下子发现这个结论在这里可能不容易一下子发现这个结论 所以还可以列项的方法所以还可以列项的方法 把所有项数尽可能地列出把所有项数尽可能地列出 来来 然后就可以得到结论然后就可以得到结论 所以所以 综合综合 有有 28 6 1 fff 662955 3 在解决在解决的通项公式时也会遇到困难的通项公式时也会遇到困难 n a 所以数列所以数列的方程为的方程为 nn nnnnn aafffffff3 3 3 3 3 3 3 1 11 3 n n afn N n n a32 从而从而 3 1 1 4 1111 21 n n aaa 一方面一方面 另一方面另一方面 4 1 3 1 1 4 1 n 1222 21 3 1100 nCC nn nn 所以所以 所以所以 综上有综上有 2412 2 4 1 12 1 1 4 1 3 1 1 4 1 n n n n n n 12 1111 424 n n naaa 例例 49 已知函数已知函数 f x 的定义域为的定义域为 0 1 且满足下列条件 且满足下列条件 对于任意对于任意 0 1 总有 总有 且 且 x 3f x 14f 若若则有则有 1212 0 0 1 xxxx 1212 3 f xxf xf x 求 求 f 0 的值 的值 求证 求证 f x 4 当 当时 试证明 时 试证明 1 11 1 2 3 33 nn xn 33f xx 解析解析 解 令 解 令 由 由 对于任意对于任意 0 1 总有 总有 12 0 xx x 3f x 0 3f 又由又由 得得即即 0 2 0 3 ff 0 3 f 0 3 f 解 任取 解 任取且设且设 则则 12 0 1 x x 12 xx 2121121 3 f xf xxxf xf xx 因为因为 所以 所以 即 即 当当 0 1 时 时 21 0 xx 21 3f xx 21 30 f xx 12 f xf x x 1 4f xf 证明 先用数学归纳法证明 证明 先用数学归纳法证明 11 11 3 33 nn fnN 1 当当 n 1 时 时 不等式成立 不等式成立 00 11 1 4133 33 ff 2 假设当假设当 n k 时 时 11 11 3 33 kk fkN 由由 得得 1 1111111 3 3333333 kkkkkkk ffff 111 6 333 kkk fff 11 111 3 69 333 kkk ff 数列放缩技巧 18 即当即当 n k 1 时 不等式成立时 不等式成立由 由 1 2 可知 不等式 可知 不等式对一切正整数都成立对一切正整数都成立 11 11 3 33 nn f 于是 当于是 当时 时 而 而 0 1 单调递增单调递增 1 11 1 2 3 33 nn xn 11 111 33333 333 nnn xf x f x 所以 所以 1 11 33 nn ff 1 1 33 3n f xfx 例例 50 已知 已知 12 1 0 ni aaaa 2 1 ni 求证 求证 2222 112 122311 1 2 nn nnn aaaa aaaaaaaa 解析解析 构造对偶式 令构造对偶式 令 1 2 1 2 1 32 2 2 21 2 1 aa a aa a aa a aa a A n n nn n 1 2 1 1 2 32 2 3 21 2 2 aa a aa a aa a aa a B nnn n 则则 1 2 1 2 1 22 1 32 2 3 2 2 21 2 2 2 1 aa aa aa aa aa aa aa aa BA n n nn nn BAaaaaaaaa nnn 0 113221 又又 2 1 22 ji ji ji aa aa aa 2 1 nji 1 2 1 2 1 22 1 32 2 3 2 2 21 2 2 2 1 2 1 2 1 aa aa aa aa aa aa aa aa BAA n n nn nn 2 1 4 1 113221 aaaaaaaa nnn 十一 积分放缩十一 积分放缩 利用定积分的保号性比大小利用定积分的保号性比大小 保号性是指 定义在保号性是指 定义在上的可积函数上的可积函数 则 则 a b 0 f x 0 b a f x dx 例例 51 求证 求证 e e 解析解析 lnln e e e e lnlnlnln e e exx d exx 2 1 ln e x dx x 时 xe 2 1 ln 0 x x 2 1 ln 0 e x dx x lnlne e e e 利用定积分估计和式的上下界利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积 现在用它来估计小矩形的面积和定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积 现在用它来估计小矩形的面积和 例例 52 求证 求证 111 121 1 23 n n 1 nnN 解析解析 考虑函数考虑函数在区间在区间上的定积分上的定积分 1 f x x 1i i 1 2 3 in 如图 显然如图 显然 1 111 1 i i dx iix 对对 求和 求和 i 1 11 11 nn i i ii dx ix 1 1 1 n dx x 1 1 2 n x 21 1n 例例 53 已知已知 求证 求证 4nN n 11117 123210nnnn 解析解析 考虑函数考虑函数在区间在区间上的定积分上的定积分 1 1 f x x 1 ii nn 1 2 3 in 数列放缩技巧 19 1 ni 11 1 i n n 1 1 1 i n i n dx x 1 1 n i ni 1 11 1 n i i n n 1 1 1 1 i n n i i n dx x 1 1 0 0 1 ln 1 1 dxx x 7 ln2 10 例例 54 2003 年全国高考江苏卷年全国高考江苏卷 设 设 如图 已知直线 如图 已知直线及曲线及曲线 上的点上的点 0a axyl C 2 xy C 的横坐标为的横坐标为 从从上的点上的点作直线平行于作直线平行于轴 交直线轴 交直线 于点于点 再从点 再从点作直作直 1 Q 1 a aa 1 0 C 1 n Qn xl 1 n P 1 n P 线平行于线平行于轴 交曲线轴 交曲线于点于点 的横坐标构成数列的横坐标构成数列 yC 1n Q 1 2 n Qnn n a 试求 试求与与的关系 并求的关系 并求的通项公式 的通项公式 1n a n a n a 当 当时 证明时 证明 2 1 1 1 aa n k kkk aaa 1 21 32 1 当 当时 证明时 证明 1a 12 1 1 3 n kkk k aaa 解析解析 过程略 过程略 1 2 1 n n a aa a 证明 证明 II 由由知知 当当时 时 1a 2 1nn aa 1 1 2 a 23 11 416 aa 1k 23 1 16 k aa 12111 11 111 161632 nn kkkkkn kk aaaaaaa 证明 证明 由由知知 恰表示阴影部分面积 恰表示阴影部分面积 1a 2 1kk aa 2 1211 kkkkkk aaaaaa 显然显然 1 22 11 k k a kkk a aaax dx 2 1211 11 nn kkkkkk kk aaaaaa 1 2 1 k k n a a k x dx 1 2 0 a x dx 3 1 11 33 a 奇巧积累奇巧积累 将定积分构建的不等式略加改造即得 初等 证明 如 1 11 i i dx ix 21ii 1 ni 1 1 1 i n i n dx x 1 ln 1ln 1 ii nn 1 2 1 sinsin 1 sin ii i 1 sin 1 2 sin 1 1 i i ii dx x 1 2233 111 1 3 k k a kkkkk a aaax dxaa 十二 部分放缩十二 部分放缩 尾式放缩尾式放缩 例例 55 求证求证 7 4 123 1 123 1 13 1 1 n 解析解析 1211 23 1 23 1 28 11 123 1 7 1 4 1 123 1 123 1 13 1 nnn 7 4 84 48 84 47 2 1 1 4 1 3 1 28 11 例例 56 设设求证 求证 a n a 2 1 1 2 1 3 1 a na a 2 n a 解析解析 a n a 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 3 1 222 nna a 数列放缩技巧 20 又又 只将其中一个 只将其中一个变成变成 进行部分放缩 进行部分放缩 2 1 2 kkkkkk k1 k kkkkk 1 1 1 1 11 2 于是于是 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 2 1 1 222 nnn an 2 1 2 n 例例 57 设数列设数列满足满足 当 当时证明对所有时证明对所有 有有 n a Nnnaaa nnn 1 2 1 3 1 a 1 n2 nai n 2 1 1 1 1 1 1 1 21 n aaa ii 解析解析 用数学归纳法 当用数学归纳法 当时显然成立 假设当时显然成立 假设当时成立即时成立即 则当 则当时时 i 1 nkn 2 kak1 kn 成立 成立 312 2 1 2 1 1 kkkkakaaa kkkk 利用上述部分放缩的结论利用上述部分放缩的结论来放缩通项 可得来放缩通项 可得 ii12 1 kk aa 1 21 1kk aa 2 1 1 1 242 1 21 1 11 1 1 k k kkk k a aa 2 1 2 1 1 2 1 1 4 1 2 1 1 1 1 11 n i n i i n i a 注 注 上述证明上述证明用到部分放缩 当然根据不等式的性质也可以整体放缩 用到部分放缩 当然根据不等式的性质也可以整体放缩 i 证明 证明就直接使用了部分放缩的结论就直接使用了部分放缩的结论 31 2 2 1 kkkkak ii12 1 kk aa 十三 三角不等式的放缩十三 三角不等式的放缩 例例 58 求证求证 sin Rxxx 解析解析 i 当当时时 0 x sin xx ii 当当时时 构造单位圆构造单位圆 如图所示如图所示 2 0 x 因为三角形因为三角形 AOB 的面积小于扇形的面积小于扇形 OAB 的面积的面积 所以可以得到所以可以得到 sin sinxxxx 当当时时 2 x sin xx 所以当所以当时时有有0 xxx sin sin xx iii 当当时时 由由 ii 可知可知 所以综上有所以综上有0 x0 x sin xx sin Rxxx 十四 使用加强命题法证明不等式十四 使用加强命题法证明不等式 i 同侧加强同侧加强 对所证不等式的同一方向对所证不等式的同一方向 可以是左侧可以是左侧 也可以是右侧也可以是右侧 进行加强进行加强 如要证明如要证明 只要证明只要证明 Axf 其中其中通过寻找分析通过寻找分析 归纳完成归纳完成 0 BBAxfB 例例 59 求证求证 对一切对一切 都有都有 Nnn 3 1 1 n k kk 解析解析 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 23 kkkkkkkkk kkk kk 2 11 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 kk kkkkkkkkk 1 1 1 1 2 2 1 1 1 11 kk k kkk T P B A O y x 数列放缩技巧 21 从而从而 3 1 11 2 2 1 1 1 1 1 5 1 3 1 4 1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 kkkkkk n k 当然本题还可以使用其他方法当然本题还可以使用其他方法 如如 kk kk kkk k kk