卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法毕业论文

卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法1第 1 章 绪 论1.1 研究的目的自从 1960 年卡尔曼滤波提出以来，它已成为控制，信号处理与通信等领域最基本最重要的计算方法和工具之一，并已成功的应用到航空，航天，工业过程及社会经济等不同领域，比如，在雷达中，人们感兴趣的是跟踪目标，但目标的位置、速度、加速度的测量值往往在任何时候都有噪声。卡尔曼滤波利用目标的动态信息,设法去掉噪声的影响，得到一个关于目标位置的好的估计。这个估计可以是对当前目标位置的估计（滤波） ，也可以是对于将来位置估计（预测） ，也可以是对过去位置的估计（差值或平滑） 。但随着微型计算机的普及应用,对卡尔曼滤波的数值稳定性、计算效率、实用性和有效性的要求越来越高，随着微型计算机时代的来临显著地提高了科学计算的能力，滤波大量复杂的计算在计算机种只需要几分钟就能算出，为此本文将对卡尔曼滤波进行研究。1.2 研究的意义卡尔曼滤波 ( Kalman , 1960) 是当前应用最广的一种动态数据处理方法 , 它具有最小无偏方差性. 把变形体视为一个动态系统 , 将一组观测值作为系统的输出 , 可以用卡尔曼滤波模型来描述系统的状态. 动态系统由状态方程和观测方程描述 , 以监测点的位置、速率和加速率参数为状态向量 ,可构造一个典型的运动模型 . 状态方程中要加进系统的动态噪声 . 其滤波方程是一组递推计算公式 ,计算过程是一个不断预测、修正的过程 , 在求解时 , 优点是不需保留用过的观测值序列 , 并且当得到新的观测数据时 , 可随时计算新的滤波值 , 便于实时处理观测成果 , 把参数估计和预报有机地结合起来. 卡尔曼滤波特别适合变形监测数据的动态处理.1.3 研究的方法1.4 课题的主要内容本文先从现代测量误差处理理论基础开始讲解，细致的写出现代测量误差都有那些函数，并详细分析讲解这些函数，在继续讲解最小二乘与卡尔曼滤波的关系，如量测值越多，只要处理得合适，最小二乘估计的均方误差就越小。采用批处理实现的最小二乘算法，需存储所有的量测值。若量测值数量十分庞大，则计算机必须具备巨大的存储容量，这显然是不经济的。递推最小二乘估计从每次获得的最小量测值中提取出被估计量信息，用于修正上一步所得的估计。获得量测的次数越多，修正的次数也越多，估计的精读也越高。这和卡尔曼滤波原理非常相似，本文在详细讲解了卡尔曼滤波，写出其原理性质，在根据 C+进行编程，使其应用于测量领域。第 2 章 现代测量误差处理理论基础卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法22.1 概 述在测量、通信和控制等学科中，为了求得某些未知参数，常常要进行一系列的观测由于测量上的局限性，往往只能观测未知量的某些函数，且观测值中必然含有误差(或称为噪声)这就产生了根据含有误差的观测值求定未知参数估值的问题下面举几个例子(1)为了确定平面或三维控制网中各点的坐标，对控制网的边长和方向(或坐标差)进行了观测，当然，观测值包含有误差设各点的坐标为未知参数向量 x，而包括边长和方向的观测值向量为 L，则 L 和 x 之间有函数关系 )(XFL式中 表示误差向量通过含有误差 的观测向量 L 来求定待定点坐标的最佳估值，就是一个估计问题在测量中，就是一个平差问题(2)通信理论中的一个重要问题是从接收到的信号中，提取被发送的信号设被发送的信息调制成信号 S(t)，而接收到的信号也就是信号的观测值 L(t)，由于大气噪声和电路噪声的干扰，因此有 )()(tnStL其中 n(t)是噪声，t 表示时间通信中的主要问题就是从 L(t)中将有用的信号 S(t)分离出来，也就是由 L(t)求定 S(t)的最佳估值信号 S(t)也是一种未知参数(3)生产过程的自动化可以达到高效率和高精度 在实现生产过程的控制中，需要通过对生产系统进行状态的不断测量，得到与系统运行状态有关的观测值；然后对观测值进行分析处理得到控制信号，实时地控制生产系统按要求运行但由于观测值中存在误差，所以，为了得到控制信号，就要求由观测值来估计系统的运行状态(4)卫星(或其他运动体)的轨道往往可以由如下微分方程确定 ()(),()XtftUt式中 f 表示时间；x(t)表示卫星的轨道参数，在此处称为状态向量；U(t)为控制向量；力(t)是随机的状态噪声为了精确估计或预测卫星的轨道，就需要对卫星进行观测，从而得到大量的观测数据 L(t)，然后实时地由含有误差的观测值 L(t)来估计卫星的轨道，即估计卫星的轨道参数以上例中所述的信号或状态都可以说是一种未知参数在测量平差中，通常称非随机的未知参数向量为参数，而称随机参数向量为信号，而称随时间 t 变化的动态系统中的未知参数向量为状态向量，或筒称为状态可以看到，在上面的例子中，都存在一个对未知参数进行估计的问题一般说来，若设 x 为 t 阶未知参数向量(简称为参数)，L 为 n 阶观测向量(或称观测值)，表示 n 维误差(或噪声)向量那么，所谓估计问题，就是根据含有误差 的观测值 L，构造一 个函数 ，使 成为未知参数向量 X 的最佳估计量，其具体数值称为最佳估值 (以后一般XL不区分其含义)通常将 简记为 ，并记()X ()XL称 ；为 的估计误差X()L卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法3可以看到，当；的数学期望等于零时， ；的方差就等于 ；而当 X 为非随机X()XTE量时，未知参数的估值工的方差 ；也就等于其误差方差 在估计理论中，通常是用估XD)D计量 的误差方差 来衡量其精度的但在经典的最小二乘平差中，由于 X 一般都是非随X()X机参数，所以习惯上都用估值(平差值)的方差衡量精度在根据观测值 L 求未知参数 x 的估值 时，总是希望所得到的估值是最优的由估计理()L论知道，最优估计量主要应具有以下几个性质：(1)一致性由观测值得到的估值 通常与其真值是不同的，我们希望当观测值个数 n 增()X加时，估计量变得更好些；当 n 无限增大时，估计量向被估计的参数趋近的概率等于 1即如果对于任意 ，有0(1-1-1)lim()1nPX则称估计量 具有一致性；若有X(1-1-2)li()()0Tn则称此估计量是均方一致的估计量的一致性是从它的极限性质来看的(2)无偏性若估计量 的数学期望等于被估计量 x 的数学期望，即(1-1-3)(XE如果丑是非随机量，上式即为(1-1-4)()则称丘为无偏估计量如果 ，则称 为渐近无偏()n(3)有效性若由观测向量 L 得到无偏估计量 的误差方差 ，小于由X)()(TXEL 得到的任何其他无偏估计量 的误差方差 ，即*X*)(TE)()(TE或写为 (1-1-5)*()XD则称 是有效估计量，也称 具有有效性或方差最小性X以不同的准则来求定未知参数的最佳估值，可得到不同的估计方法估计方法主要有极大似然估计，最小二乘估计，极大验后估计，最小方差估计和线性最小方差估计等；经典的测量平差法都是以最小二乘估计或极大似然估计为根据导出的；而滤波、配置和动态系统的卡尔曼滤波等，最初是以极大验后估计或最小方差估计为根据导出的因此，概率统计中的估计理论是广义测量卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法4平差的理论基础2.2 多维正态分布正态分布是测量平差理论中最常用的误差分布，是最小二乘平差误差理论的基础本节在已学过的一元正态分布的基础上，对多维正态分布做全面阐述广义测量平差理论中还涉及其他分布，则将分别在相应章节中一一介绍2.2.1 多维正态分布的定义和性质已知随机变量 X 的正态分布概率密度为(1-2-1)221()exp()2Xfx式中两个参数 和 分别为随机变量 X 的数学期望和方差当 =0， =1 时，X 为标X2 2准正态分布变量记为 ，其概率密度为(0,1)N(1-2-2)21exp2f设有 m 个互相独立的标准正态随机变量构成的随机向量 它们12TmZZ的有限个线性函数 11220nnmnXAZ为 n 维正态随机向量此时，X 的数学期望和方差阵为 ()TXEDAX 的分布函数和概率密度都简称为 n 维(或 n 元)正态分布，简记为 ，或写为(,)TnXNA(,)nXND由互相独立的标准正态随机变量组成的随机向量 Z，可写为 阶单位阵(0,).nE为多维正态分布具有以下性质：(1)正态随机向量的线性函数还是正态的.例如,设 则(,)TnXNAYBXb(,)TYNBb(2)设 ，记(,)TnXNA卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法5111222,TXXDA则 112(,)(,).rnrrN2.2.2 多维正态分布设有 n 维正态随机向量 XN。(p。 ，Dx)，其中方差阵 D，为可逆阵，即 det(Dx)0，则它的概率密度为 112()exp()()2TXXXfx x 式中 表示 的行列式 XDX对于二维正态随机向量 ，若它有可逆方差阵和数学期望为TY2XXY和则由(1-2-3)式可得其概率密度为 221(,)XYfxyA222()()()epYXYXYXxxyy 因相关系数 ，所以上式可写为XY2 222()()()11(,)exp()2XXYYXYXYXxxyfxy (1-2-4)这就是二维正态随机向量概率密度当 时，即当 X 和 Y 是互不相关的两个正态随机变量时，则有0=XYXY或22()()1(,)exp2XYXYyfxy2 2()()1expXYXYyA()xyf卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法6这就是说，当 时，x 和 y 是互相独立的所以，对于正态分布来说，随机变量的“互0XY不相关”与“互相独立”是等价的根据(1-2-4)式绘制二维正态曲面(密度曲面)如图 l-1 所示曲面在点 处取得(,)XY最大值如果用平行于 XOY 面的平面 (常数)截此曲面，即得到一族椭圆，椭圆上所0Z有点的概率密度值均相等，因此，称这些椭圆为等密度椭圆2.2.3 正态随机向量的条件概率密度设有 维正态随机向量 X，且设nt111222,XXD和 分别是由 X 的前 n 个分量和后 t 个分量构成的正态随机变量，即 ，1X2 11(,)nXND的概率密度是(,)tND图 1-1（1-2-6）111222()expTnXXxfxDD 按分块矩阵求逆公式，有（1-2-7）11122X 或为（1-2-8）111 21222XDD 其中（1-2-9）1122可将（1-2-7）和（1-2-8）两式分别写为卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法7（1-2-10）1 1111220X ttDDEE （1-2-11）11121 12 20nXn因 还可分解为XD（1-2-12）11 12212 200XDEDE所以， 的行列式之值为X（1-2-13）121X利用(1-2-10)、(1-2-9)式和(1-2-13)式，可将概率密度(1-2-6)式改写为12(),)fx111exp()()2n TDDx AA（1-2-14）1 12222()()()T 或 12(),)fx1 12222exp()()TDDx AA（1-2-15）1121()()()mT 其中 （1-2-16）112221()Dx根据边际概率密度和多维正态分布的性质可知（1-2-17 ）1121 1()exp()()n Tfx x A（1-2-18 ）1 122 222()()()TfDD 卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法8又由条件概率密度公式知（1-2-19）1221(,)()fxf（1-2-20）1212(,)()ffx而将(1-2-14)和(1-2-17)两式代人(1-2-19)式，得（1-2-21）1 1221 222()(ep()()TfxDD 而将(1-2-15)和(1-2-18)两式代人(1-2-20)式，即得（1-2-22）1 1212 1()(ex()()2mTfx x 显然，上两式仍然是正态概率密度，根据条件期望和条件方差的定义和正态概率密度的性质可得（1-2-23）1121221()()EXDxx（1-2-24）12112()D因此， （1-2-21）和（1-2-22 ）式又可写为11 12221 222112121()()exp()()()TmfxXEXxDxEXxD （1-2-25）正态分布的条件期望具有以下性质：(1)由(1-2-23)式可知， 是 的线性组合，所以 ,它是正态随机向量；当然12()EXx也是正态随机向量21()EXx(2)设 X 和 Y，为正态随机向量，且设（1-2-26）()EXyZAY则 是与 Z 互相独立的随机向量这是因为1()XYYDX由协方差传播律可得卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法910(,)XYXYTDDXZEA1TTA(3)设 ， 而(,)XN112212(,)(,)covN， ， 且 =0，1 200XYYD(,)=D则 有(1-2-27)1212()(,)()()XEyXyEy证 因为 112()(,)()XYYD12 1120XYy所以 1 2112 12(,)()()XYXYXEyDyDy2()E(4)设 (,),XYN且 121122,YXTY YDD令 221(y),YE则 有 212)(,)XEy(1-2-28)(X证 因为 122()YDY11 122ED所以卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法10(1-2-29)12122111 1222 222122()0,()(,)(,)YXYXEYDDY DXE 利用分块求逆公式和(1-2-29)式得 112(,)()XYYEyD121212XD121 11122120XYX YDEE A A12 111122 2()(XYXY XYD112221,)()()XYD1(XEy2.2.4 矩阵反演公式由于正定矩阵的逆阵唯一，故由（1-2-7） 、 （1-2-8）两式直接可得：(1-2-30)111112 1222()()DDD(1-2-31)2111()由此可知，对于任意矩阵 A、B 和任意可逆阵 C、D，只要在下式中它们可以相乘，就有上两式关系，一般形式为(1-2-32)111()()ABD(1-2-33)通常称(1-2-32)、(1-2-33)两式为矩阵反演公式，是两个非常重要的关系式，在测量平差推导公式时常要用到矩阵反演公式也可直接证明令 ，则有1()HDABC， (1-2-34)(),E或 +H=1卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法11将上式左乘 B，得，11()BDCABH或 此即(1-2-33)式，代入(1-2-34)式，即得(1-2-32)式2.3 极大似然估计设有参数向量 ，它可以是未知的非随机量，也可以是随机向量，为了估计 X，进行了 n 次1tX观测得到了观测向量 的观测值 ，又假定对 X 的所有可能取值为 ，在 X= 的条件下得到nL1nl x的观测向量 L 的条件概率密度为 容易理解， 是 x 和 的函数，但对具体的观测值()fx()fll来说， 可以认为只是 x 的函数因此，如果 是 中的一个，而 是 中的l()flx ()fx()fl最大值，那么， 是 的准确值的可能性最大此时把 叫做 X 的极大似然估值，并记作或 这就是说，极大似然估计是以()MLXL(1-3-1)()maxfl为准则求最佳估值 x 的方法显然，它满足于(1-3-2)()(0MLxXfl由于对数是单调增加函数，因此 与 在相同的 值达到最大，亦即(1-3-2)式等价ln()fflx于(1-3-3)()l(0MLxXf此方程称为似然方程， 称为似然函数，而 称为对数似然函数()flxlnf如果参数 X 是非随机量，则 ()(,)flxfl而(1-3-1)式变为(1-3-4)()mafl此时， 是 的概率密度，其中的 只是表示函数与参数 X 有关(,)flx1nLx卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法12由似然方程或(1-3-2)式可见，极大似然估值 是观测值 L 的函数在采用极大似然估计MLX求 时，需要首先知道似然函数 或对数似然函数 MLX ()flxln()fx2.4 最小二乘估计设被估计量是 维未知的参数向量 X，观测向量为 其观测误差（或称为噪声）向t 1()nLt量为 ，观测方程1n(1-4-1)B式中 的秩 ，设 X 的估值为 ，则有ntB(),()0,()rktED(1-4-2)VL所谓最小二乘估计，就是要求估计值 使下列二次型达到最小值，即x(1-4-3)()minTTXPBXP其中 是一个适当选取的对称正定常数阵， 称为 X 的最小二乘估值，记为 或 (L)nP LSX当参数 X 的各个分量 之间没有确定的函数关系，即它们是函数独立的参数时，可将i对 求自由极值，令其一阶导数为零，得(1-4-4)20TTXVPB转置后，得 TTBL或 (1-4-5)PX解得 (1-4-6)1TTB又因为 20TPX所以 使 达到极小值X最小二乘估计量 x 的估计误差为(1-4-7)1 1TTTTBPXBP 由此式按协方差传播律可得 X 的误差方差阵为卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法13(1-4-8)11TTTDxBPDBP将对称正定阵 表示为 (R 为可逆阵)，并令TR1TaRbPB则得： 11TTaE且由“矩阵形”许瓦茨不等式可得： 11TT TDxbaba即 111 ()TTTTBPBPDB只有当 或 ( 为常数 )时，上式才取等号，而使 的误差方差1P2020 X阵达到最小，此时有(1-4-9)1120()TTarDxV有时将 P 取为 或 时的估计称为马尔柯夫估计，此时应将(1-4-3)式写为120(1-4-10)minTP可以看到，最小二乘估计具有如下性质：(1)最小二乘估计是一种线性估计，即 X 的估计量 是观测值的线性函数LS(2)当观测误差的数学期望为 时，因()0EB所以11TTTTLSXBPLPX即 具有无偏性LSX(3)当观测误差的方差阵为 ，而取 时， 的误差方差阵达到最小D1120D或 LS值(4)最小二乘估计不需要 X 的任何先验统计信息当 X 是非随机量，或 X 虽然是随机量，但完全不考虑其先验统计信息时，由观测方程(1-4-1)和(1-4-6)式按协方差传播律可知(1-4-11)L卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法14(1-4-12)LSxLSD上面是不考虑概率分布，直接将(1-4-3)式作为一种估计准则当观测误差和参数 X 是正态随机向量时，这种最小二乘估计准则还可以从极大似然估计导出设 ，由于 X 和 一般是互相独立的，故设 则由观(0,)(,)xXND 0D测方程(1-4-1)式可得：(1-4-13)LxTXEBD而在 条件下的条件概率密度为Xx1122expTnfl lELxDxlELxL 式中1LXxExLD将(1-4-13)式代人上式得：xxLBB1()TTXXxD由于似然方程等价于1minTlELxlELx所以也等价于（l-4-14)1iTBXD考虑到1120P或VBXL则（l-4-14)式也就是最小二乘估计的准则(1-4-10).这就由极大似然估计导出了最小二乘估计从上述讨论看到，在由极大似然估计导出最小二乘估计的过程中，虽然将参数 X 作为随机向量，但是在求最小二乘估值 时，并不需要知道 X 的先验期望和先验方差因此，从这个意义LSX上可以说，最小二乘估计实际上并没有考虑参数的随机性质正因为如此，当不知道参数的先验期望和先验方差，或者参数是非随机量时，可以应用上述最小二乘估计求其估值本节是以间接平差的函数模型为例，说明了最小二乘估计的准则至于其他的各种经典平差法(如条件平差、附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差)，尽管它们各具自己的函数模卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法15型，但它们所依据的估计准则不变，其差别仅在于：在不同的函数模型下，它们的具体求解方法有所不同因此可以说，各种经典平差方法，都是依据最小二乘估计准则 ，去求未minTVP知参数 X 的最小二乘估值 和观测值 L 的平差值 LSX2.5 极大验后估计如 1-3 节中所述，极大似然估计是以“ ”为准则的估计方法，而极大验后估maxfl计则是以(1-5-1)fl为准则的估计方法这里 是随机参数向量 在观测向量 的条件下的条件概率密fxl1tX1nLl度 仍然表示 的观测值这个准则的含义在直观上是较明显的它的含义是：给定了 的一组lL L子样观测值 ，由这组 可以按一定的概率取得参数 X 的不同估值 ，其中最佳估值的条件概率ll 密度 应为极大值一般用 表示由极大验后估计得到的最佳估值，称之为fx()MAXL或极大验后估值，显然， 应满足A(1-5-2)ln0MAxXfl此方程称为验后方程因为 2,flxfl2lnl,lnfxff将上式对 求导，则有xll,ffxlx由此可知，极大验后估计的准则(1-5-1)式等价于,mafl2.6 最小方差估计最小方差估计是一种以估计误差的方差为最小作为准则的估计方法，即根据观测向量 L 求得参数 X 的估值，如果它的误差方差比任何其他估值的方差小，就认为这个估值是最优估值记 X的最小方差估值为 或 MV()XL卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法16设任一估值为 ，其估计误差为 ，而误差方差阵为XX TXDE,xfxld(1-6-1)2Tfl当 取最小值时的 就是最小方差估值 .因(1-6-1)式表示的方差阵是一个非负定对称XDXMVX阵，所以，为了求得使 取得最小值的 ，只需要求下式的最小值，即得：D(1-6-2)=Txfxld由上式可写为 EXlTxxfldx= l TEXlxlxfldx()TlfldEXl ()Tlxfxd因为 1fld()xEXlfxlxflEXlfxd 0EXl所以=()()Txlxlfxld(1-6-3)EX由于 总是一个非负定阵，所以()TEXlxlx(1-6-4)=Tlxlfxld卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法17欲使 取得最小值，就应使上式取等号，此时应使0EXlx即得参数的最小方差估值为(1-6-5)MVl而最小方差估值 的误差方差阵为MVXV TDElXEl2xxfxldfl即 (1-6-6) 2MVXDlfl它是估计误差的最小方差阵又因为2VEXlfdl2xfl,flx考虑到1,()fxldf即得(1-6-7)1()MVEXfxEX可见， 是 X 的无偏估计量MV可以看到，当 X 和 L 都是正态随机向量时，X 的最小方差估值 ，和它的极大验后估值MV是相等的然而，当 X 和 L 不都是正态随机向量时， 就不一定等于 了MA XAX2.7 线性最小方差估计前面所述的极大似然估计、极大验后估计和最小方差估计，均要求知道观测向量 L 和未知参数向量 X 的条件概率密度或联合概率密度。它们所得到的估计量 可以是 L 的任意函数而最小二乘估计可以不需要知道任何统计性质，所得到的估计量 x。是的线性函数，所以说最小二乘估计是一种线性估计本节的线性最小方差估计则是放宽对概率密度的要求，只要求已知 L 和X 的数学期望和方差、协方差，以及限定所求的估计量是观测向量 L 的线性函数，再以估计量的均方误差达到极小为求最优估计量的准则这样得到的估计量称为线性最小方差估计量，并记为卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法18以 或 。()LXL设已知观测向量 L 的数学期望和方差为 和 ，参数向量 X 的先验期望和方差为 和1LnD1xt和 X 的协方差为 ，又设估计量 是 L 的线性函数xtDXnt(1-7-1)X式中 和 是非随机常数向量和系数矩阵此时， 的误差向量是1tatn(1-7-2)XL则 的数学期望和方差分别为X(1-7-3)xLXE(1-7-4) TTLXXDD而 的均方误差阵为XTTXXXXEEETX即得TTXXXEED TLX将上式配方，则有111 TTT XLXLXLXXX D(1-7-5)上式右边第一、二项都是非负定阵，而第三、四项均与 无关显然，为使(1-7-5)式中的,达到极小，唯一的解就是选取 ，使(1-7-5)式右边的第一、二项等于零，亦即使TXE,(1-7-6)0XE(1-7-7)1LD将(1-7-6)和(1-7-7)两式代入(1-7-3)式可得：(1-7-8)1XL卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法19再将(1-7-7)和(1-7-8)两式代入(1-7-1)式，即得线性最小方差估计量(1-7-9)1LXLLD因为 ，所以， 的方差 可由(1-7-5) 式得出0XEX(1-7-10)1TXLXXED如果把线性最小方差估计的 达到最小的准则，改为其迹 达到最小， ()TXtrE即(1-7-11) minTTTXXtrELL则可按求极值的方法求定 ,将(1-7-11)式分别对 求导数，并令其为零，可得：(1-7-12)0EXL(1-7-13)T由（1-7-12）式可得： xL代人(1-7-13)式得： TxLLEXT TxL LE即有 0XLD所以也可得(1-7-14)1XL(1-7-15)x此即(1-7-7)、(1-7-8)式，由此可知,这种以方差阵之迹达到最小的准则，与前面以方差阵达到最小的准则所得到的结果完全相同。有时也称这种以方差阵之迹达到最小为准则的估计方法称之为最小方差迹估计不难看到，线性最小方差估计量童。具有以下性质：(1)由(1-7-9)式可得： 1LxXLLxEDE卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法20所以， 是 X 的无偏估计，即 具有无偏性LLX(2)盖具有有效性，即 的误差方差取得最小值这是显然的因为有 ，其误0XE差方差等于其方差阵(3)因为估计误差可表为 1xXLLXD所以 与观测向量 L 的协方差阵为X 1cov, 0XLL可见，估计误差向量 与观测向量 L 是不相关的；从几何的角度看，可以将此性质叫做 与X XL 正交X 与 L 本来不是正交的，但从 Y 中减去一个由 L 的线性函数构成的随机向量 后，即L与 L 正交因此可以说， 是 X 在 L 上的投影(4)当 X，L 的联合概率密度是正态时，因为 1xXLLED所以，此时 X 的线性最小方差估计量 x。就等于最小方差估计量 也等于其极大验后估计量MVMA2.8 贝叶斯估计在 1-5 节和 l-6 节中介绍的极大验后估计和最小方差估计，可以说是贝叶斯(Bayes)估计的两种形式，因此有必要介绍一些关于贝叶斯估计的概念仍设 X 是被估计的未知参数向量，L 是观测向量， 是根据 L 给出的 X 的一个估计量，()X其估计误差为 ()L设有估计误差 的一个标量值函数：X(1-8-1)XCL如果它具有性质：21211 0XXX当 时 ， ；=0=0当 时 ，3-XC卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法21其中 则称 为估计量 对 X 的损失函数(或代价函数)，并称其数学期12=()TXXXCL望为 的贝叶斯风险，记为L(1-8-2) =XXECL上述 的第一个性质说明它是原点到 的距离的非减函数；第二个性质的含义是，当XC估计精确时，估计的损失为零；第三个特性说明 对称于原点：X所谓贝叶斯估计，就是根据使贝叶斯风险达到最小的准则来求定未知参数的估计量 ，()XL也就是使 满足()XL(1-8-3) ,minXXECCfxld可以看到，选择不同形式的损失函数，就可得到不同的贝叶斯估计方法和结果下面来说明极大验后估计和最小方差估计是贝叶斯估计的两种形式2.8.1 极大验后估计设选择的损失函数是(1-8-4) 0,21XXCL上式的损失函数称为均匀损失函数，此时， 的贝叶斯风险为(1-8-5)21,XXEfxld上式可写为 221Xfxldfl 22Xflfld若设 X 的贝叶斯估计量为 ，因BminBX等价于卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法22 2maxBXXfxld当 足够小 时，这又等价于(0)(1-8-6)axBXfxl所以，此时 又是石的极大验后估计量 。也就是说，当损失函数是(1-8-4)式且 足够小BXMA 时，贝叶斯估计就是极大验后估计2.8.2 最小方差估计设选择的损失函数是（1-8-7） TXXXsCLS式中 S 为任意对称非负定阵，(1-8-7)式的损失函数称为二次型损失函数此时 的贝叶斯风险为（1-8-8） ,TXECxXSfxld不难看到，上式也可写为矩阵迹的形式，即有（1-8-9）,minTtrSxfxl 式中的积分就是童的误差方差阵 ，当取 S=E 时，选择二次型损失函数的贝叶斯估计，E()TX是以估计量的误差方差阵之迹达到最小为准则来求 的方法因此，可以说，它就是最小方差估计如果将(1-8-8)式写为 2minTxXSfxldfl则它也等价于(1-8-10)iTxfxl又因为 2SxXfldxX所以有卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法2320BXSxfldx由于 S 是非负定阵，因此下式成立：BXfxlxfl亦即(1-8-11)BxfldEXl又由于 2TSX因此，当宣 时，确使 具有最小值也就是说，根据(1-8-9)式求得的 也是 X()BXEl B的最小方差估计量 。MV2.9 广义测量平差原理测量平差的主要任务，是根据含有随机误差的观测值来确定被观测量及其函数的平差值，也就是求定未知参数的最佳估值前面所讨论的各种估计方法也就是广义测量平差的理论基础为了进一步说明广义测量平差原理，下面先讨论在正态分布的情况下，上述估计方法的关系从前面的叙述可以看到，对于正态分布来说，极大验后估计所得到的结果，与最小方差估计、线性最小方差估计相同；而在一定的情况下，可以由极大似然估计导出最小二乘估计因此，本节主要说明极大似然估计、最小二乘估计与极大验后估计之间的关系由 1-3 节知，对于正态分布，极大似然估计的准则， 等价于()maxfl(1-9-1)1 inTLExDLxE若未知参数为 ，观测误差 ， ，并有观测方程(,)XN(0,)N(,)0X(1-9-2)B再记(1-9-3)VL则由 l-4 节知，似然方程等价于最小二乘估计准则(1-9-4)120minTTPBXDBX其中 ，若取 =1，则 (1-9-3)式也就是观测值 L 对应的误差方程120PD201又由 l-5 节知，极大验后估值 。应满足验后方程MA卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法24ln0MAxXfl根据贝叶斯公式可得 12flfl因此(1-9-5)1lnlnlnfxfxfx考虑正态分布的概率密度， 和 可知，极大验后估计准则“ ”也等价fl1f minfl于(1-9-6)1 1()()()()iT TxXxLExDLED 而当有观测方程(1-9-2)，且 时，上式便等价于,0X(1-9-7)1 1()()()()minTxXxBx下面根据(1-9-5)和(1-9-7)式来进行讨论在式(1-9-6)中其左边第一项就是极大似然估计准则的等价公式(1-9-1)的左边项.因此，当 X 是随机参数时，极大验后估计改善了极大似然估计或最小二乘估计.而当 X 的先验概率密度为常数时，则有1fx(1-9-8)10fx(1-9-9)lnln所谓先验概率密度 为常数，也就是说在一定的范围内，参数 X 在验前取任何值的概率都相1fx等，亦即工是不具有先验统计特性的非随机量 上两式表明，极大验后估计在此时便退化为极大似然估计或最小二乘估计如果将(1-9-7)式中的未知参数看成非随机量，亦记为 ，将此时的观测向量记为 ；而* *L将 X 的先验期望 看成是与 相互独立，且方差为 的虚拟观测值，记为 ，相应的x*LXD()x虚拟观测误差记为 ，则有观测方程为X(1-9-10)xXLB若仍以 表示 的估值，并记*卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法25(1-9-11)xxVXLB此式也就是误差方程于是，(1-9-7)式可写为(1-9-12)minTTxP式中 121200,xXD当取 时，即有 ， 它们表示权矩阵2011PxX也就是说，在上述情况下，可以对 和 。列出误差方程(1-9-ll)，按(1-9-12)式来求非*L随机参数 的估计值 容易看到，(1-9-l2)式是 l-4 节中的最小二乘估计准则的扩充，因此。*X称(1-9-12)式为广义最小二乘原理而将按广义最小二乘原理进行平差的过程，称为广义测量平差不难理解，在上述情况下，按极大验后估计(或最小方差估计)求得的 (或 )同按广MAXV义最小二乘原理求得的估值 ，在数值上是完全相等的同时，由于按广义最小二乘原理求X时， 是非随机量，因此所得到的估值 的方差 也就等于其误差方差 ，当然X* ()XD()XD它也等于 的误差方差 ，但一般并不等于 的方差在以后按广义最小二乘原理MA()MAXDMA进行平差时，一般不区分 和 以上的讨论说明，在正态分布的情况下，极大验后估计可以转化为广义最小二乘估计实际上，随机参数的先验期望和先验方差的精确值一般是不可能得到的，往往只能得到它们的估计值显然，先验期望的估计值也就是 X 的观测值因此，在这种情况下，按极大验后估计求也只能说是近似的；而将此先验期望的估计值作为方差为 ，的虚拟观测值，采用最小二MAX XD乘估计将更为合理只有在 和 ，能够精确得到时，采用极大验后估计才是合理的但此时，XDx也可按广义最小二乘原理求解，得到的结果与极大验后估计一致如果在未知参数中除包含随机参数 X 外，还包含非随机参数 Y，则有,fxylfxl故此时只要将未知参数中的随机部分，即 X 的先验期望当作方差为 的虚拟观测值，仍可按(1-XD9-12)式表示的广义最小二乘原理求估值 和Y如果全部未知参数都是非随机量，则(1-9-12)式中的 就不存在了，也就变成 1-4 节TxVP卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法26中的最小二乘原理了上面的广义最小二乘原理(1-9-12)式，是就正态分布和线性观测方程(1-9-2)且 的0XD情况导出的对于非线性观测方程，可按泰勒级数化为线性形式；对于非正态分布，也可将它们近似地看成正态分布；而 的情况亦不多见因此，(1-9-12)式的广义最小二乘原理具有一0XD定的普遍意义下面讨论 的情况仍假定 为正态分布，且有 (1-9-2)式的线性观测方程X、根据数字期望的运算规则和协方差传播律，由(1-9-2)式可得：(1-9-13)LxTTLXXLBDD由于已知 ， ，并可由(1-9-13)三式得到 ,因 都是服从正态分布的，故xX LX、 、 、可按极大验后估计(或最小方差估计和线性最小方差估计)求得 X 的估值 为1MAxXLLElD(1-9-14)1TTTXXxBBDBL 现仍从(1-9-6)式来考虑，因为1LXxx1()xXx1xBD 1 1TT TLXLXXXXXDx BDDB (1-9-16)令(1-9-6)式的左端为 ，将上两式代人(1-9-6)式，仍用 表示满足(1-9-6)式的 的估值，并顾及误差方程(1-9-11)，则可得：1111T TXxXxXxVDVDV1 1TXx 根据分块求逆公式，由(1-9-6)式可得：卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法27(1-9-17)minXxTxDVV若记(1-9-18)20,XxP则(1-9-17)式即为(1-9-19)minTV显然，(1-9-17)和(1-9-19)式与(1-9-6)式等价也就是说，按照(1-9-17)或(1-9-19)式求得的估值 ，与按(1-9-14)式求得的极大验后估值 相同且(1-9-19)式与普通的最小二乘原理XMAX“ ”在形式上相同，因此，它是更普遍的广义最小二乘原理当 时，它也minTVP 0XD就变成为(1-9-14)式的广义最小二乘原理综合本章所述，可以认为，广义测量平差主要包含以下内容：(1)广义平差问题包含三类：第一类是经典的平差问题，其特点是将未知参数都当作非随机参数；第二类是将所有的未知参数都看作是正态随机参数，我们将这类问题的平差方法称为“滤波” ；第三类是一、二类问题的综合，即包含有随机参数，又包含有非随机参数，通常将这类问题的平差方法称为“配置” ，或者叫做“拟合推估” (2)作为广义平差的理论基础的估计方法可分为两类，一类是对非随机参数进行估计的最小二乘估计和极大似然估计(或者说不考虑参数的先验统计性质)；另一类是对随机参数进行估计的极大验后估计或最小方差估计，线性最小方差估计由这两类估计方法可以得到各种不同的平差方法(3)当未知参数 x 是正态随机向量时，可以将它的先验期望当作虚拟观测值，按广义最小二乘原理求参数的估值 ，其结果与极大验后估值 相同因此，广义最小二乘原理是广义测XMAX量平差求平差值的基本准则 第 3 章 广义最小二乘与卡尔曼滤波关系3.1 递推最小二乘估计从上述诸例可看出，量测值越多，只要处理得合适，最小二乘估计的均方误差就越小。采用批处理实现的最小二乘算法，需存储所有的量测值。若量测值数量十分庞大，则计算机必须具备巨大的存储容量，这显然是不经济的。递推最小二乘估计从每次获得的最小量测值中提取出被估计量信息，用于修正上一步所得的估计。获得量测的次数越多，修正的次数也越多，估计的精读也越高。下