北师大版_七年级上_第三章_整式及其加减_经典学案_知识总结+例题解析

1 第三章 整式及其加减 知识点知识点 一 字母表示数一 字母表示数 1 字母可以表示任何数 用字母表示数的运算律和公式法则 加法交换律 a b b a 加法结合律 a b c a b c 1 乘法交换律 ab ba 乘法结合律 ab c a bc 乘法分配律 a b c ab ac 2 用字母表示计算公式 长方形的周长 2 a b 面积 ab a b 分别为长 宽 1 正方形的周长 4a 面积 a2 a 表示边长 2 长方体的体积 abc 表面积 2ab 2bc 2ac a b c 分别为长 宽 高 3 正方体的体积 a3 表面积 6a2 a 表示棱长 4 圆的周长 2 r 面积 r2 r 为半径 5 三角形的面积 ah a 表示底边长 h 表示底边上的高 6 2 1 2 在同一问题中 同一字母只能表示同一数量 不同的数量要用不同的字母表示 3 用字母表示实际问题中某一数量时 字母的取值必须使这个问题有意义 并且符合实际 4 注意书写格式的规范 1 表示数与字母或字母与字母相乘时乘号 乘号可以写成 但通常省略不写 数字与数字相乘必须写乘号 2 数和字母相乘时 数字应写在字母前面 3 带分数与字母相乘时 应把带分数化成假分数 4 除法运算写成分数形式 分数线具 号和 括号 的双重作用 5 在代数式的运算结果中 如有单位时 结果是积或商直接写单位 结果是和差加括号后再写单位 典型例题典型例题 例题例题 1 有一大捆粗细均匀的钢筋 现要确定其长度 先称出这捆钢筋的总质量为 m 千克 再从中截取 5 米长的钢筋 称出它的质量为 n 千克 那么这捆钢筋的总长度为 米 A B C D 5 m n mn 5 5m 5 5m n 例题例题 2 用代数式表示 2a 与 3 的差 为 A 2a 3 B 3 2a C 2 a 3 D 2 3 a 例题例题 3 如图 1 3 1 轴上点 A 所表示的是实数 a 则到原点的距离是 A a B a C a D a 例题例题 4 已知 a x 20 b x 19 c x 21 那么代数式 a2 b2 c2 ab bc ac 的值为 1 20 1 20 1 20 2 A 4 B 3 C 2 D 1 练习练习 1 温度由 t 下降 3 后是 2 飞机每小时飞行 a 千米 火车每小时行驶 b 千米 飞机的速度是火车速度的 倍 3 无论 a 取什么数 下列算式中有意义的是 A B C D 1 1 aa 1 1 2 1 a 12 1 a 4 全班同学排成长方形长队 每排的同学数为 a 排数比每排同学数的 3 倍还多 2 那么全班同学数为 A B C D 23 aa 23 aa23 aa 2 3 aa 5 轮船在 A B 两地间航行 水流速度为千米 时 船在静水中的速度为千米 时 则轮船逆流航行的速度为mn 千米 时 6 甲 乙 丙三家超市为了促销一种定价均为元的商品 甲超市连续两次降价 20 乙超市一次性降价 40 丙x 超市第一次降价 30 第二次降价 10 此时顾客要想购买这种商品最划算 应到的超市是 A 甲 B 乙 C 丙 D 乙或丙 7 下列说法中 一定是负数 一定是正数 若 则三个有理数中负因数的个数是a a0 abccba 0 或 2 其中正确的序号是 8 设三个连续整数的中间一个数是 则它们三个数的和是 n 9 设三个连续奇数的中间一个数是 则它们三个数的和是 x 10 设为自然数 则奇数表示为 偶数表示为 能被 5 整除的数为 被 4 除余 3 的数为 n 二 代数式二 代数式 1 代数式 用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫代数式 如 n 2 0 8a 2n 500 abc 2ab 2bc 2ac 单独一个数或一个字母也是代数式 注意 注意 列代数式时 数字与字母 字母与字母相乘 乘号通常用 表示或省略不写 并且把数字写在字母的前面 除 法运算通常写成分数的形式 例 下列不是代数式的是 0 A s B t 1 Cx 2 0 1 Dxy 2 单项式 表示数与字母的积的代数式叫单项式 单独一个数或一个字母也是单项式 其中的数字因数 连同符号 叫单项式的系数 所有的字母的指数的和叫单项式的次数 注意 注意 书写时 系数是 1 的时候可省略 是数字 不是字母 例 的系数是 如的系数是 如的系数是 2 ab 2 x 2 1 2 x 3 多项式 几个单项式的和叫多项式 次数最高项的次数叫做这个多项式的次数 每个单项式称为项 例 代数式有 项 第二项的系数是 第三项的系数是 第四项的系数是 2 51xyxx 4 单项式多项式统称为整式 练习 练习 1 某商品售价为元 打八折后又降价 20 元 则现价为 元a 3 2 橘子每千克元 买 10以上可享受九折优惠 则买 20 千克应付 元钱 akg 3 如图 图 1 需 4 根火柴 图 2 需 根火柴 图 3 需 根火柴 图需 根火柴 n 图 1 图 2 图 n 4 温度由 t 下降 3 后是 5 飞机每小时飞行 a 千米 火车每小时行驶 b 千米 飞机的速度是火车速度的 倍 6 无论 a 取什么数 下列算式中有意义的是 A B C D 1 1 aa 1 1 2 1 a 12 1 a 7 全班同学排成长方形长队 每排的同学数为 a 排数比每排同学数的 3 倍还多 2 那么全班同学数为 A B C D 23 aa 23 aa23 aa 2 3 aa 8 填空的系数为 次数为 的次数为 的系数是 的 2 3 x y 2 32ab 2 ab 2 x 系数是 的系数是 代数式有 项 第二项的系数是 第三 2 1 2 x 2 51xyxx 项的系数是 第四项的系数是 9 下列不是代数式的是 0 A s B t 1 Cx 2 0 1 Dxy 三 合并同类项三 合并同类项 1 同类项 所含字母相同 并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 注意 两个相同 字母相同 相同字母的指 数相同 两个无关 与系数无关 与字母顺序无关 如 100a 和 200a 240b 和 60b 2ab 和 10ba 2 合并同类项法则 1 写出代数式的每一项连同符号 在其中找出同类项的项 2 合并同类项 同类项的系数相加 所得的结果作为系数 字母和字母的指数不变 3 不同种的同类项间 用 号连接 4 没有同类项的项 连同前面的符号一起照抄 如 合并同类项 3x2y 和 5x2y 字母 x y 及 x y 的指数都不变 只要将它们的系数 3 和 5 相加 即 3x2y 5x2y 3 5 x2y 8x2y 3 合并同类项的步骤 1 准确的找出同类项 2 运用加法交换律 把同类项交换位置后结合在一起 3 利用法 则 把同类项的系数相加 字母和字母的指数不变 4 写出合并后的结果 4 注意注意 1 不是同类项不能合并 2 求代数式的值时 如果代数式中含有同类项 通常先合并同类项再代入数值进 行计算 4 例 1 判断下列各组中的两个项是不是同类项 1 a2b 和 a2 b 2 2m2 np 和 pm2n 3 0 和 1 2 3 5 7 例 2 下列各组中 与 xyyx 5 1 5 2 与 22 5 1 5yxyx与 22 5 1 5yxax 与 33 8x与 2 x 2 1 2 x 与 与 同类项有 填序号 2 3xx 2 3x2 例 3 如果xky 与 x2y 是同类项 则 k xky x2y 1 3 1 3 1 3 1 3 例 4 直接写出下列各式的结果 1 xy xy 2 7a2b 2a2b 3 x 3x 2x 1 2 1 2 4 x2y x2y x2y 5 3xy2 7xy2 1 2 1 3 例 5 合并下列多项式中的同类项 1 4x2y 8xy2 7 4x2y 10 xy2 4 2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 3 4 22 3561xxx 22222 6245xyxx yyxx 例 6 若 则 0 0 xy 22 1 0 2 xyaxy a 练习练习 1 单项式与是同类项 则 2 2ba xy ba3 x y 2 下列各组中 与 xyyx 5 1 5 2 与 22 5 1 5yxyx与 22 5 1 5yxax 与 33 8x与 2 x 2 1 2 x 与 与 同类项有 填序号 2 3xx 2 3x2 3 合并同类项 22 3561xxx 22222 6245xyxx yyxx 4 若 则 0 0 xy 22 1 0 2 xyaxy a 四 去括号法则四 去括号法则 1 去括号法则 1 括号前是 号 把括号和前面的 号去掉 括号里的各项的符号都不改变 2 括号前是 号 把括号和前面的 号去掉 括号里的各项的符号都要改变 2 去括号法则中乘法分配律的应用 若括号前有因式 应先利用乘法分配律展开 同时注意去括号时符号的变化规 律 3 多重括号的化简原则 1 由里向外逐层去掉括号 2 由外向里逐层去掉括号 例 1 一个两位数 十位数字是 个位数字比十位数字 2 倍少 3 这个两位数是 x 5 例 2 去括号 合并同类项 1 3 2s 5 6s 2 3x 5x x 4 1 2 3 6a2 4ab 4 2a2 ab 4 1 2 6 4 2 3 22 xyxxyx 5 6 xyxy 2 3 2mnmxx 7 8 35 132 22 xxxx 2 1 4 3 2 1 2 22 aaaa 9 10 2 2 35 babaa mnmnnmnm 2222 6 1 2 1 3 1 练习 练习 1 化简 xyxy 2 3 2mnmxx 2 一个两位数 十位数字是 个位数字比十位数字 2 倍少 3 这个两位数是 x 3 化简 1 2 35 132 22 xxxx 2 1 4 3 2 1 2 22 aaaa 3 4 2 2 35 babaa mnmnnmnm 2222 6 1 2 1 3 1 五 代数式求值五 代数式求值 先化简 再求值先化简 再求值 代数式求值 1 用具体的数值代替代数式中的字母 按照代数式的运算关系计算 所得的结果是代数式的值 2 求代数式的值时应注意以下问题 1 严格按求值的步骤和格式去做 2 一个代数式中的同一个字母 只能用 同一个数值代替 若有多个字母 代入时要注意对应关系 千万不能混淆 3 在代入值时 原来省略的乘号要恢 复 而数字和其他运算符号不变 4 字母取负数代入时要添括号 5 有乘方运算时 如果代入的数是分数或负数 要加括号 例 1 当 x y 3 时 求下列代数式的值 1 3x2 2y2 1 2 1 3 2 1 xy xy 例 2 当时 求代数式的值2x 5 41 xx 例 3 已知互为倒数 互为相反数 求代数式的值ba nm 2 223 mnab 6 例 4 化简 求值 其中 1 3 2 369 22 babbab 2 1 a1 b 其中 3 1 2 3 3 1 2 2 1 22 yxyxx 3 2 2 yx 经典例题经典例题 例题例题 1 若 abx与 ayb2是同类项 下列结论正确的是 A X 2 y 1 B X 0 y 0 C X 2 y 0 D X 1 y 1 例题例题 2 2x x 等于 A x B x C 3x D 3x 例题例题 3 x 2x y 的运算结果是 A x y B x y C x y D 3x y 练习练习 1 当时 求代数式的值2x 5 41 xx 2 已知互为倒数 互为相反数 求代数式的值ba nm 2 223 mnab 3 已知 求的值 3 2 nm733mn 4 化简 求值 其中 1 3 2 369 22 babbab 2 1 a1 b 其中 3 1 2 3 3 1 2 2 1 22 yxyxx 3 2 2 yx 5 已知 求 22 21Ax yxy 22 1 21 2 2 Bx yxyxy 2AB 六 探索规律列代数式六 探索规律列代数式 例题例题 1 观察下列数表 7 根据数表所反映的规律 猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数应为 第 n 行与第 n 列交叉点上的数应为 用含有 n 的代数式表示 n 为正整数 例题例题 2 观察下列各等式 1 以上各等式都有一个共同的特征 某两个实数的一等于这两个实数的 如果等号左边的第一个 实数用 x 表示 第二个实数用 y 表示 那么这些等式的共同特征可用含 x y 的等式表示为 2 将以上等式变形 用含 y 的代数式表示 x 为 3 请你再找出一组满足以上特征的两个实数 并写出等式形式 例题例题 3 一串有黑有白 其排列有一定规律的珠子 被盒子遮住一部分如图 1 3 3 所示 则这串珠子被盒子遮住的部 分有 颗 综合练习题综合练习题 1 代数式的系数是 xy 2 1 2 的系数为 ab2 3 化简 yyyy5362 22 4 下列各题中 去括号正确的是 A B cbaacbaa 232 23 2 22 1253 125 3 cbacba C D 123 123 yxayxa22 2 2 cbacba 5 的相反数是 cba32 A B C D cba32 cba32 cba32 cba32 6 计算 104 3 72 5yxyx 7 计算 543 2 1132 8 计算 22 1 1622 4 9 长方形的一边长为 另一边比它大 求这个长方形的周长 ba23 ba 10 1 当时 分别求代数式 的值 11ab 22 2baba 2 ba 8 2 当时 分别求代数式 的值 11 23 ab 22 2baba 2 ba 3 观察 1 2 中代数式的值 与有何关系 22 2baba 2 ba 4 利用你发现的规律 求的值 22 7 35 7 35 7 1352 7 135 补充练习 一 补充练习 一 1 甲乙两地相距 x 千米 某人原计划 t 小时到达 后因故提前 1 小时到达 则他每小时应比原计划多走 千米 2 代数式的次数是 的系数是 22 32xyx 2 2 5 ab 3 当 x y 2 时 代数式 x y 2 2 x y 5 的值是 4 已知 4 y 2 2y 5 9 时 则代数式 2 y 2 y 1 等于 5 已知 a 1 2a b 2 0 那么 3ab 15b 2 6ab 15a 2b 2等于 6 当 x 3 y 时 求下列代数式的值 1 2x2 4xy2 4y 2 1 2 2 2 4 2 xxy xyy 7 小明读一本共 m 页的书 第一天读了该书的 第二天读了剩下的 1 3 1 5 1 用代数式表示小明两天共读了多少页 2 求当 m 120 时 小明两天读的页数 8 当 x 1 y 2 时 求 2x2 5xy 2y2 x2 xy 2y2 3x2的值 9 去括号 32 22 abba 3 1 43 21 2 aba 10 的相反数是 cba32 A B C D cba32 cba32 cba32 cba32 11 化简 2a 5 a 1 的结果是 A 3a 5 B 3a 5 C 3a 5 D 3a 1 12 求下列多项式的值 1 a2 8a 6a a2 其中 a 2 3 1 2 2 3 1 4 1 2 2 3x2y2 2xy 7x2y2 xy 2 4x2y2 其中 x 2 y 3 2 1 4 9 13 先化简 再求值 1 5a2 3b2 a2 b2 5a2 2b2 其中 a 1 b 1 2 9a3 6a2 2 a3 a2 其中 a 2 2 3 14 1 已知一个多项式与 a2 2a 1 的和是 a2 a 1 求这个多项式 2 已知 A 2x2 y2 2z B x2 y2 z 求 2A B 补充练习补充练习 二 二 1 将如图两个框中的同类项用线段连起来 2 当 m 时 x3b2m与x3b 是同类项 1 4 3 如果 5akb 与 4a2b 是同类项 那么 5