用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程

用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程 郝晨阳 晋中学院信息技术与工程学院 由于在解决静电场问题时常常会用到拉普拉斯方程 同时有很多物理问题也用到它 因此对它的求解非常重要 直角坐标系中 直角坐标系中拉普拉斯方程 222 2 222 0 xyz 变量分离 设 g x y zf xyh z 拉普拉斯方程变为 g 0 g fxxhx f xxh x 上式成立的唯一条件是三项中每一项都为常数 故可分解为下列三个方程 2 2 2 x d f x k f x dx 2 2 2 y d g y k g y dy 2 2 2 z d h z k h z dz 其中且 和 为常数 但不能全为实数或全为虚数 222 0 xyz kkk x k y k z k 以常微分方程 为例 其解的形式为 2 2 2 x d f x k f x dx 若为零 则 x k 12 f xC xC 若为实数 则 x k 12 sin cos xx f xCk xCk x 若为虚数 则或 x k xx ki 12 xxx f xC e xC e 12 xx f xC shxC chx 同理可解出和 g y h z 因此拉普拉斯方程在直角坐标系中的解为 2222 y z cossin cossin llllnnlnl nlnl nln l n x y zaa x bbcc Ak xAk x Bk yBk y C ch kk zC sh kk z 球坐标系中 球坐标系中拉普拉斯方程 2 2 22222 111 sin 0 sinsin r rrrrr 令方程具有分离变量的解 rR rY 则得到两个微分方程 1 2 2 2 2 1 0 d RdR rrl lR drdr 2 2 22 11 sin 1 0 sinsin YY l lY 1 求解方程 1 进行变量代换 令 则 t re lntr 2 2 1 1 dRdR dtdR drdt drr dt d RddR dtddR dt dtdt dr drdt r dtdr 2 22 2 222 11 11 dr dRd R dt rdt dtr dtdr dRd R rdtrdt 带入方程得到一个简单的二阶常微分方程 2 2 1 0 d RdR l lR dtdt 解这个常微分方程得到其通解为 1 ltlt R tCeDe 进而得到方程 1 的通解为 1 1 l l R rCrD r 1 求解方程 2 继续进行变量分离 将形式解带入方程 2 Y Y 整理 分离并令其中常数为得到 及 0 2 sinsin 1 sin 0 dd l l dd 对该式中关于的方程 由的几何意义 其有自然边界条件 2 所以求解的方程 0 2 求解该方程得到 2 cossin 0 1 2 3 AmBmm m 此时 将代入式中的第二个式子 得到关于的微分方程 作变量代换 得到 阶连带勒让德方程 其cosx l 2 2 22 12 1 0 1 ddm xxl l dxdxx 的特例叫勒让德方程 0m 下面对 阶勒让德方程考虑 l 求解关于的二阶常微分方程 y x 2 1 2 1 0 xyxyl ly 在的邻域上求解上述方程 采用常点邻域上级数法求解 0 0 x 令该方程在的邻域上的级数解为 0 0 x 将其代入到方程式中 得到的递推关系 从 i a 22 2 2 1 0 kk kkallkk a 而得到 阶勒让德方程的解 其中为 l 0011 y xa yxa y x 01 yxy x与 24 0 2 1 1 2 1 3 22 24 2 4 1 3 21 2 k xx yxl lll llklkl x l lllk k 35 1 21 1 l 2 3 1 2 4 3 5 21 23 1 2 4 2 21 k xx y xxlll ll x klkll lllk k 上述中在 是某个奇数时止到 从而l 0 21 00lnna 是或正整数 1 y x 21n x 退化为多项式 在 是某个偶数时止到 从 y xl2 ln n 为正整数 1 0a 0 yx 2n x 而退化为多项式 y x 对以上两种退化多项式的可能性 取适当使每种情况下的最高次幂的系数为 01 a a l x 2 2 2 l l l a l 从而得到 阶勒让德方程的特解 阶勒让德多项式 ll 2 2 0 22 1 2 2 l klk l l k lk P xx k lklk 下面对 阶连带勒让德方程考虑 l 为方便求解先作函数变换 2 2 1 m xy x 阶连带勒让德方程化为的微分方程 l y x 2 1 2 1 1 1 0 xymxyl lm my 把勒让德方程求次导整理得到 2 1 P 2 1 0 xxPl lP m 2 1 2 1 1 1 0 mmm xPmxPl lm mP 从而看出 勒让德方程的的次导数是上述方程的解 从而可得出连带勒让德方 P xm 程的解 22 1 mm l xPx 故拉普拉斯方程的一般解为 rR r 根据 和的不同而不同 但它们都是拉普拉斯方程的解 则它们的线性叠加也是 lm 所以拉普拉斯方程在球坐标系中的通解为 1 2 11 n mn mnn n mm nn mm n nn m n BD rArYCrY rr 式中 1 cos cos m m nn YP 2 sin cos m m nn YP 其中 2 1 1 2 n n nn d P xx n dx 柱坐标系中 柱坐标系中拉普拉斯方程为 22 222 11 0r rrrrz 由于柱坐标系中较为难解 故只讨论为常数的情况 即 z r 分离变量 令 则得到下列常微分方程 rf r g 2 2 2 0 d g g d 2 2 1 0 ddf r rf r r drdrr 解上述方程得 12 sincosgaa 有两个线性无关的解 f r rr 由于单值性要求 只能