2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.文)含详解

2009 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 数学 文史类 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 第 I 卷 1 至 2 页 第 II 卷 3 至 4 页 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 考生注意事项 1 答题前 务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的姓名 座位号 并认真核对答题 卡上所粘贴的条形码中姓名 座位号与本人姓名 座位号是否一致 务必在答题卡背面规 定的地方填写姓名和座位号后两位 2 答第 I 卷时 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需 改动 用橡皮檫干净后 在选涂其他答案标号 3 答第 II 卷时 必须用直径 0 5 毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写 要求字体工整 笔迹 清晰 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出 确认后在用 0 5 毫米的黑色墨色签字 笔清楚 必须在标号所指示的答题区域作答 超出答题卡区域书写的答案无效 在试题卷 草稿纸上答题无效 4 考试结束 务必将试题卷和答题卡一并上交 参考公式 S 表示底面积 h 表示底面的高 如果事件 A B 互斥 那么 棱柱体积 VSh P A B P A P B 棱锥体积 1 3 VSh 第 I 卷 选择题 共 50 分 一一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 学学 1 i 是虚数单位 5 2 i i A B C D 12i 1 2i 1 2i 12i 2 设变量 x y 满足约束条件 则目标函数的最小值为 3 1 23 xy xy xy 23zxy A 6 B 7 C 8 D 23 3 设则是的 xR 1 x 3 xx A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 设双曲线的虚轴长为 2 焦距为 则双曲线的渐近线方程为 22 22 0 xy ab ab 2 3 A B C D 2yx 2yx 2 2 yx 1 2 yx 5 设 则 0 3 11 32 11 log 2 log 32 abc A B abc acb C D bca bac 6 阅读右面的程序框图 则输出的S A 14 B 20 C 30 D 55 7 已知函数的最小正周期为 将 sin 0 4 f xxxR 的图像向左平移个单位长度 所得图像关于轴对称 则 yf x y 的一个值是 A B 2 3 8 C D 4 8 8 设函数 则不等式的解集是 2 46 0 6 0 xxx f x xx 1f xf A B 3 13 3 12 C D 1 13 31 3 9 设 若 则的最大值为 1 1x yR ab 3 2 3 xy abab 11 xy A 2 B C 1 D 3 2 1 2 10 设函数在上的导函数为 且 下面的不等式在上 f xR fx 2 2 f xxfxx R 恒成立的是 A B C D 0f x 0f x f xx f xx 第二卷第二卷 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 把答案填在答题卡的相应位置 分 把答案填在答题卡的相应位置 11 如图 与相交于点 且 若的外接圆的直径为 1 AA 1 BBO 11 ABAB 11 1 2 ABAB AOB 1 则的外接圆的直径为 11 AOB 12 如图是一个几何体的三视图 若它的体积是 则 3 3a 13 设全集 若 lg1UABxNx 21 0 1 2 3 4 u AC Bm mnn 则集合 B 14 若圆与圆的公共弦的长为 则 22 4xy 22 2600 xyaya 2 3 a 15 若等边的边长为 平面内一点满足 则ABC 2 3M 12 63 CMCBCA MA MB 16 若关于的不等式的解集中的整数恰有 3 个 则实数的取值范围是x 2 2 21xax a 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 小题 共小题 共 76 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 在中 ABC 5 3 sin2sinBCACCA 1 求的值AB 2 求的值sin 2 4 A 18 本小题满分 本小题满分 12 分 分 为了了解某市开展群众体育活动的情况 拟采用分层抽样的方法从三个区中抽取 7 A B C 个工厂进行调查 已知区中分别有 18 27 18 个工厂 A B C 1 求从区中应分别抽取的工厂个数 A B C 2 若从抽得的 7 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比 用列举法计算这 2 个工 厂中至少有一个来自区的概率A 19 本小题满分 本小题满分 12 分 分 如图 在四棱锥中 平面 平分 为PABCD PD ABCDADCD DBADC E 的中点 PC1 2 2ADCDDB 1 证明 平面 PABDE 2 证明 平面AC PBD 3 求直线与平面所成角的正切值BCPBD 20 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知等差数列的公差不为 0 设 n a 1 12 n nn Saa qa q 1 1 12 1 n n nn Taa qa q 1 若 求数列的通项公式 13 1 1 15qaS n a 2 若 且成等比数列 求的值 1 ad 123 S SSq 3 若 证明1q 2 22 2 21 11 1 n nn dqq q Sq T q 21 本小题满分 本小题满分 14 分 分 设函数 其中 322 1 1 3 f xxxmx xR 0m 1 当时 求曲线在点处的切线的斜率1m yf x 1 1f 2 求函数的单调区间与极值 f x 3 已知函数有三个互不相同的零点 且 若对任意的 f x 12 0 x x 12 xx 恒成立 求的取值范围 12 1xx xf xf m 22 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知椭圆的两个焦点分别为和 过点 22 22 10 xy ab ab 1 0Fc 2 0Fc 的直线与椭圆相交于两点 且 2 0 a E c A B 1212 2F AF B F AF B 1 求椭圆的离心率 2 求直线的斜率AB 3 设点与点关于坐标原点对称 直线上有一点在的外CA 2 F B 0H m nm 1 AFC 接圆上 求的值 n m 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 数学 文史类 参考公式 如果事件 A B 互相排斥 那么 P AUB P A P B 棱柱的体积公式 V sh 其中 S 表示棱柱的底面积 h 表示棱柱的高 1 i是虚数单位 i i 2 5 A i 21 B i 21 C i 21 D i 21 答案 D 解析 由已知 12 2 2 2 5 2 5 i ii ii i i 考点定位 本试题考查了复数的基本的除法运算 2 设变量 x y 满足约束条件 32 1 3 yx yx yx 则目标函数 yxz 2 的最小值为 A 6 B 7 C 8 D 23 答案 B 解析 由已知 先作出线性规划区域为一个三角形区域 得到三个交点 2 1 1 2 4 5 那么作一系列平行于直线 032 yx 的平行直线 当过其中点 2 1 时 目 标函数最小 考点定位 本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力 3 设 是 则 xxxRx 3 1 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为 1 1 0 3 xxx解得 显然条件的集合小 结论表示的集合大 由集合的 包含关系 我们不难得到结论 考点定位 本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题 考查逻辑推理能 力 4 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2 焦距为 32 则双曲线的渐近线方程 为 A xy2 B xy2 C xy 2 2 D xy 2 1 答案 C 解析 由已知得到 2 3 1 22 bcacb 因为双曲线的焦点在 x 轴上 故渐 近线方程为 xx a b y 2 2 考点定位 本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用 考察了同学们的运算能力和推理 能力 5 设 3 0 2 1 3 1 2 1 3log 2log cba 则 A a b c B a c b C b c a D b ax 2 x 下面的不等式在 R 内恒成立的是 A 0 xf B 0 xf C xxf D xxf 答案 A 解析 由已知 首先令 0 x 排除 B D 然后结合已知条件排除 C 得到 A 考点定位 本试题考察了导数来解决函数单调性的运用 通过分析解析式的特点 考查了 分析问题和解决问题的能力 二 填空题 本大题共 6 个小题 每小题 4 分 共 24 分 把答案填写在题中的横线上 11 如图 11 BBAA与 相交与点 O 11 BAAB 且 11 2 1 BAAB 若 AOB 得外接圆直径为 1 则 11OB A 的外接圆直径为 答案 2 解析 由正弦定理可以知道 ABBAR O BA r O AB 2 2 sin 12 sin 11 11 所以 11OB A 的外接圆半径是 AOB 外接圆半径的二倍 考点定位 本试题考查了正弦定理的运用 以及三角形中外接圆半径与边角的关系式运用 考察了同学们对于新问题的转化化归思想 12 如图是一个几何体的三视图 若它的体积是 33 则 a 答案 3 解析 由已知正视图可以知道这个几何体是睡着的直三棱柱 两个底面是等腰的三角 形 且底边为 2 等腰三角形的高位 a 侧棱长为 3 结合面积公式可以得到 3332 2 1 ashV 解得 a 3 考点定位 本试题考查了简单几何体的三视图的运用 培养同学们的空间想象能力和基本 的运算能力 13 设全集 1lg xNxBAU 若 4 3 2 1 0 12 nnmmBCA U 则集合 B 答案 2 4 6 8 解析 9 8 7 6 5 4 3 2 1 BAU 9 7 5 3 1 BCA U 8 6 4 2 B w w w k s 5 u c o m 考点定位 本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力 14 若圆 4 22 yx 与圆 0 062 22 aayyx 的公共弦长为 32 则 a 答案 1 解析 由已知 两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 a y 1 利用圆心 0 0 到直线的距离 d 1 1 a 为 132 2 2 解得 a 1 考点定位 本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用 考察了同 学们的运算能力和推理能力 15 若等边 ABC 的边长为 32 平面内一点 M 满足 CACBCM 3 2 6 1 则 MBMA 答案 2 解析 合理建立直角坐标系 因为三角形是正三角形 故设 3 3 0 32 0 0 BAC 这样利用向量关系式 求得 M 2 1 2 33 然后求得 2 5 2 3 2 1 2 3 MBMA 运 用数量积公式解得为 2 考点定位 本试题考察了向量在解三角形中的几何运用 也体现了向量的代数化手段的重 要性 考查了基本知识的综合运用能力 16 若关于 x 的不等式 22 12 axx 的解集中整数恰好有 3 个 则实数 a 的取值范围是 答案 16 49 9 25 解析 因为不等式等价于 014 4 2 xxa 其中 014 4 2 xxa 中的 04 a 且有 04 a 故 40 a 不等式的解集为 a x a 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 a 则一定有 1 2 3 为所求的整数解集 所以 4 2 1 3 a 解得 a 的范 围为 16 49 9 25 考点定位 本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用 考查了分类讨论思 想以及逆向思维的能力 三 解答题 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 ACACBCsin2sin 3 5 w w w k s 5 u c o m 求 AB 的值 求 4 2sin A 的值 答案 10 2 解析 1 解 在 ABC 中 根据正弦定理 A BC C AB sinsin 于是 522 sin sin BC A BC CAB 2 解 在 ABC 中 根据余弦定理 得 ACAB BCACAB A 2 cos 222 于是 AA 2 cos1sin 5 5 从而 5 3 sincos2cos 5 4 cossin22sin 22 AAAAAA 10 2 4 sin2cos 4 cos2sin 4 2sin AAA 考点定位 本题主要考查正弦定理 余弦定理同角的三角函数的关系式 二倍角的正弦和 余弦 两角差的正弦等基础知识 考查基本运算能力 18 本小题满分 12 分 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况 拟采用分层抽样的方法从 A B C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查 已知 A B C 区中分别有 18 27 18 个工厂 求从 A B C 区中分别抽取的工厂个数 若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比 用列举法计算这 2 个工厂 中至少有 1 个来自 A 区的概率 答案 1 2 3 2 2 21 11 解析 1 解 工厂总数为 18 27 18 63 样本容量与总体中的个体数比为 9 1 63 7 所以从 A B C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2 3 2 2 设 21 A A 为在 A 区中抽得的 2 个工厂 321 BBB 为在 B 区中抽得的 3 个工厂 21 C C 为在 C 区中抽得的 2 个工厂 这 7 个工厂中随机的抽取 2 个 全部的可能结果有 2 7 C 种 随机的抽取的 2 个工厂至少有一个来自 A 区的结果有 21 AA 21 BA 11 BA 31 BA 21 CA 11 CA 同理 2 A 还能组合 5 种 一共有 11 种 所以所求的概率为 21 1111 2 7 C 考点定位 本小题主要考查分层抽样 用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发 生的概率等基础知识 考查运用统计 概率知识解决实际问题的能力 19 如图 在四棱锥 ABCDP 中 ABCDPD平面 CDAD 且 DB 平分 ADC E 为 PC 的中点 1 CDAD 22 DB 证明 BDEPA平面 w w w k s 5 u c o m 证明 PBDAC平面 求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值 答案 1 略 2 略 3 3 1 解析 证明 设 HBDAC 连结 EH 在 ADC 中 因为 AD CD 且 DB 平分 ADC 所以 H 为 AC 的中点 又有题设 E 为 PC 的中点 故 PAEH 又 BDEPABDEHE平面平面 所以 BDEPA平面 2 证明 因为 ABCDPD平面 ABCDAC平面 所以 ACPD 由 1 知 ACBD DBDPD 故 PBDAC平面 3 解 由 PBDAC平面 可知 BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影 所以 CBH 为直线与平 面 PBD 所成的角 由 CDAD 2 23 2 2 22 1 BHCHDHDBCDAD可得 在 BHCRt 中 3 1 tan BH CH CBH 所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为3 1 考点定位 本小题主要考察直线与平面平行 直线和平面垂直 直线和平面所成的角等基 础知识 考察空间想象能力 运算能力和推理能力 20 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a 的公差 d 不为 0 设 1 21 n nn qaqaaS 11 21 0 1 NnqqaqaaT n n n n 若 15 1 1 31 Saq 求数列 n a 的通项公式 若 3211 SSSda且 成等比数列 求 q 的值 若 2 2 22 1 1 2 1 1 1Nn q qdq TqSqq n nn 证明 答案 1 34 nan 2 2 q 3 略 解析 1 解 由题设 15 1 1 2 31 2 1113 SaqqdaqdaaS将 代入解得 4 d 所以 34 nan Nn 2 解 当 321 2 3211 32 2 SSSdqdqdSdqdSdSda 成等比数列 所以 31 2 2 SSS 即 322 22 dqdqdddqd 注意到 0 d 整理得 2 q 3 证明 由题设 可得 1 n n qb 则 12 2 2 3212 n nn qaqaqaaS w w w k s 5 u c o m 12 2 2 3212 n nn qaqaqaaT 得 2 12 2 3 4222 n nnn qaqaqaTS 得 2 22 12 2 3122 n nnn qaqaqaTS 式两边同乘以 q 得 2 22 12 2 3122 n nnn qaqaqaTSq 所以 2 2 123 22 1 1 2 2 1 1 q qdq qqqdTqSq n n nn 3 证明 nlklklk baabaabaacc nn 2121 2 12 11 1 1122111 n nn qdblkqdblkdblk 因为 0 0 1 bd 所以 1 2211 1 21 n nn qlkqlklk db cc 若 nn lk 取 i n 若 nn lk 取 i 满足 ii lk 且 jj lk nji 1 由 1 2 及题设知 ni 1 且 1 2211 1 21 n nn qlkqlklk db cc 当 ii lk 时 1 ii lk 由 nq 1 2 1 1 iiqlk ii 即 1 11 qlk 1 22 qqqlk 22 11 1 ii ii qqqlk 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 21 i i ii q q q qqqqqqq db cc 因此 0 21 cc w w w k s 5 u c o m 当 ii lk 时 同理可得 1 1 21 db cc 因此 0 21 cc 综上 21 cc 考点定位 本小题主要考查了等差数列的通项公式 等比数列通项公式与前 n 项和等基本 知识 考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力 21 本小题满分 12 分 w w w k s 5 u c o m 设函数 0 1 3 1 223 mRxxmxxxf其中 当 时 1 m 曲线 在点 11 fxfy 处的切线斜率 求函数的单调区间与极值 已知函数 xf 有三个互不相同的零点 0 21 x x 且 21 xx 若对任意的 21 xxx 1 fxf 恒成立 求 m 的取值范围 答案 1 1 2 xf 在 1 m 和 1 m 内减函数 在 1 1 mm 内增函数 函数 xf 在 mx 1 处取得极大值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函数 xf 在 mx 1 处取得极小值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 解析 解 当 1 1 2 3 1 1 2 23 fxxxfxxxfm故时 所以曲线 在点 11 fxfy 处的切线斜率为 1 2 解 12 22 mxxxf 令 0 xf 得到 mxmx 1 1 因为 mmm 11 0 所以 当 x 变化时 xfxf 的变化情况如下表 x 1 m m 1 1 1 mm m 1 1 m xf 0 0 xf 极小 值 极大 值 xf 在 1 m 和 1 m 内减函数 在 1 1 mm 内增函数 函数 xf 在 mx 1 处取得极大值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函数 xf 在 mx 1 处取得极小值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 3 解 由题设 3 1 1 3 1 21 22 xxxxxmxxxxf 所以方程 1 3 1 22 mxx 0 由两个相异的实根 21 x x 故 3 21 xx 且 0 1 3 4 1 2 m 解得 2 1 2 1 mm 舍 因为 1 2 3 32 221221 xxxxxx故所以 若 0 1 1 3 1 1 1 2121 xxfxx则 而 0 1 xf 不合题意 若 1 21 xx 则对任意的 21 xxx 有 0 0 21 xxxx 则 0 3 1 21 xxxxxxf 又 0 1 xf 所以函数 xf 在 21 xxx 的最小值 为 0 于是对任意的 21 xxx 1 fxf 恒成立的充要条件是 0 3 1 1 2 mf 解得 3 3 3 3 m w w w k s 5 u c o m 综上 m 的取值范围是 3 3 2 1 考点定位 本小题主要考查导数的几何意义 导数的运算 以及函数与方程的根的关系解 不等式等基础知识 考查综合分析问题和解决问题的能力 22 本小题满分 14 分 已知椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的两个焦点分别为 0 0 0 21 ccFcF 过点 0 2 c a E 的直线与椭圆相交于点 A B 两点 且 2 2121 BFAFBFAF w w w k s 5 u c o m 求椭圆的离心率