函数值域求法十一种

函数值域求法十一种 在函数的三要素中 定义域和值域起决定作用 而值域是由定义域和对应 法则共同确定 研究函数的值域 不但要重视对应法则的作用 而且还要特别 重视定义域对值域的制约作用 确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一 环 对于如何求函数的值域 是学生感到头痛的问题 它所涉及到的知识面广 方法灵活多样 在高考中经常出现 占有一定的地位 若方法运用适当 就能 起到简化运算过程 避繁就简 事半功倍的作用 本文就函数值域求法归纳如 下 供参考 1 直接观察法 对于一些比较简单的函数 其值域可通过观察得到 例 1 求函数的值域 解 显然函数的值域是 例 2 求函数的值域 解 故函数的值域是 2 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一 例 3 求函数的值域 解 将函数配方得 由二次函数的性质可知 当 x 1 时 当时 故函数的值域是 4 8 3 判别式法 例 4 求函数的值域 解 原函数化为关于 x 的一元二次方程 1 当时 解得 2 当 y 1 时 而 故函数的值域为 例 5 求函数的值域 解 两边平方整理得 1 解得 但此时的函数的定义域由 得 由 仅保证关于 x 的方程 在实数集 R 有实根 而不能确保其实根在区间 0 2 上 即不能确保方程 1 有实根 由 求 出的范围可能比 y 的实际范围大 故不能确定此函数的值域为 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域 代入方程 1 解得 即当时 原函数的值域为 注 由判别式法来判断函数的值域时 若原函数的定义域不是实数集时 应综合函数的定义域 将扩大的部分剔除 4 反函数法 直接求函数的值域困难时 可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的 值域 例 6 求函数值域 解 由原函数式可得 则其反函数为 其定义域为 故所求函数的值域为 5 函数有界性法 直接求函数的值域困难时 可以利用已学过函数的有界性 反客为主来确 定函数的值域 例 7 求函数的值域 解 由原函数式可得 解得 故所求函数的值域为 例 8 求函数的值域 解 由原函数式可得 可化为 即 即 解得 故函数的值域为 6 函数单调性法 例 9 求函数的值域 解 令 则在 2 10 上都是增函数 所以在 2 10 上是增函数 当 x 2 时 当 x 10 时 故所求函数的值域为 例 10 求函数的值域 解 原函数可化为 令 显然在上为无上界的增函数 所以 在上也为无上界的增函数 所以当 x 1 时 有最小值 原函数有最大值 显然 故原函数的值域为 7 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数 其题型特征是函数解析式含有 根式或三角函数公式模型 换元法是数学方法中几种最主要方法之一 在求函 数的值域中同样发挥作用 例 11 求函数的值域 解 令 则 又 由二次函数的性质可知 当时 当时 故函数的值域为 例 12 求函数的值域 解 因 即 故可令 故所求函数的值域为 例 13 求函数的值域 解 原函数可变形为 可令 则有 当时 当时 而此时有意义 故所求函数的值域为 例 14 求函数 的值域 解 令 则 由 且 可得 当时 当时 故所求函数的值域为 例 15 求函数的值域 解 由 可得 故可令 当时 当时 故所求函数的值域为 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义 如两点的距离公式直线斜 率等等 这类题目若运用数形结合法 往往会更加简单 一目了然 赏心悦目 例 16 求函数的值域 解 原函数可化简得 上式可以看成数轴上点 P x 到定点 A 2 间的距离之和 由上图可知 当点 P 在线段 AB 上时 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时 故所求函数的值域为 例 17 求函数的值域 解 原函数可变形为 上式可看成 x 轴上的点到两定点的距离之和 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时 故所求函数的值域为 例 18 求函数的值域 解 将函数变形为 上式可看成定点 A 3 2 到点 P x 0 的距离与定点到点 的距离之差 即 由图可知 1 当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时 如点 则构成 根据三角形两边之差小于第三边 有 即 2 当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时 有 综上所述 可知函数的值域为 注 由例 17 18 可知 求两距离之和时 要将函数式变形 使 A B 两点 在 x 轴的两侧 而求两距离之差时 则要使 A B 两点在 x 轴的同侧 如 例 17 的 A B 两点坐标分别为 3 2 在 x 轴的同侧 例 18 的 A B 两点坐标分别为 3 2 在 x 轴的同侧 9 不等式法 利用基本不等式 求函数的最值 其题型特征解析式是和式时要求积为定值 解析式是积时要求和为定值 不过 有时需要用到拆项 添项和两边平方等技巧 例 19 求函数的值域 解 原函数变形为 当且仅当 即当时 等号成立 故原函数的值域为 例 20 求函数的值域 解 当且仅当 即当时 等号成立 由可得 故原函数的值域为 10 一一映射法 原理 因为在定义域上 x 与 y 是一一对应的 故两个变量中 若知道一个变量范围 就可以求另一个变量范围 例 21 求函数的值域 解 定义域为 由得 故或 解得 故函数的值域为 11 多种方法综合运用 例 22 求函数的值域 解 令 则 1 当时 当且仅当 t 1 即时取等号 所以 2 当 t 0 时 y 0 综上所述 函数的值域为 注 先换元 后用不等式法 例 23 求函数的值域 解 令 则 当时 当时 此