3.最短路径及作图学生版

中考解决方案模块课程第三阶段 最值 代数类 教师版Page 1 of 9 2014 年秋季同步课 初二年级 上课时间 学生姓名 讲义制作人 孙曼 2014 年秋季同步课 初二年级 第三讲最短路径及作图 学生版Page 2 of 9 最短路径及作图问题 内容内容基本要求基本要求略高要求略高要求较高要求较高要求 最短路径 了解图形的轴对称 理解对应点 所连的线段被对称轴垂直平分性 质 了解物体的镜面对称 能按要求作出简单平面图形经 过一次或两次轴对称后的图形 掌握简单图形之间的轴对称关 系 并能指出对称轴 掌握基 本图形 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正多边形 圆 的轴对称性及相关性质 能运用轴对称进 行图案设计 知识点讲解知识点讲解 1 将军饮马 如图所示 从 A 出发向河岸引垂线 垂足为 D 在 AD 的延 长线上 取 A 关于河岸的对称点 A 连结 A B 与河岸线相交于 C 则 C 点就是饮马的地方 将军只要从 A 出发 沿直线走到 C 饮马之后 再由 C 沿直线走到 B 所走的路程就是最短的 如 果将军在河边的另外任一点 C 饮马 所走的路程就是 AC C B 但是 AC C B A C C B A B A C CB AC CB 可见 在 C 点 外任何一点 C 饮马 所走的路程都要远一些 这有几点需要说明的 1 由作法可知 河流 l 相当于线段 AA 的中垂线 所以 AD A D 2 由上一条知 将军走的路程就是 AC BC 就等于 A C BC 而两点确定一线 所以 C 点为最优 2 勾股定理 如果直角三角形的两直角边分别是 斜边为 那么 即直角三角形中两直角边的平abc 222 abc 方和等于斜边的平方 注 勾 最短的边 股 较长的直角边 弦 斜边 中考考纲 知识体系 河流L 营地 山峰 C D A A B C 讲义制作人 孙曼 2014 年秋季同步课 初二年级 第三讲最短路径及作图 学生版Page 3 of 9 C A B 侧 2 c b a 常见模型 常见模型 1 最小PAPB l 侧 侧 侧 1 A P B A l A B P 侧 2 侧 侧 2 最小PAPB A B P 侧 4 侧 侧 l 侧 侧 l 侧 5 P B A A A B P 侧 6 l 侧 侧 最大PAPB P B A l 侧 侧 侧 侧 l A B A P 变形 异侧时 也可以问 在直线 上是否存在一点使的直线 为的角平分线lPlAPB 3 周长最短 类型一 类型二 类型三 讲义制作人 孙曼 2014 年秋季同步课 初二年级 第三讲最短路径及作图 学生版Page 4 of 9 A B P A C B O A A A N M B A B A 4 过河 最短距离 类型一 类型二 N M A B A M N l B B N M B A 5 线段和最小 l2 l1 l2 l1 F Q Q P P E F E B A B A 6 在直角坐标系里的运用 A A B A A N MF E P B A B A B A 讲义制作人 孙曼 2014 年秋季同步课 初二年级 第三讲最短路径及作图 学生版Page 5 of 9 APE BPE E EF 1 A A B A B A N M F E PB A B A B A 1 两点一线 问题 例 1 如图 在公路的同旁有两个仓库 现需要建一货物中转站 要求到 两仓库的距离 a ABAB 和最短 这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理 M a B A 变式 如图 为的边 上的两个定点 在上求一点 使的周长最 MNABC ACBC ABPPMN 短 AB M N C 拓展 如图 正方形中 是上的一点 且 ABCD8AB M DC 2DM 是上的一动点 NAC 求 1 的最小值与最大值 DNMN 2 的最小值与最大值 DNMN 例题精讲 D C N M B A 讲义制作人 孙曼 2014 年秋季同步课 初二年级 第三讲最短路径及作图 学生版Page 6 of 9 习题 1 如图 在等腰中 的上一点 满足 在斜边上求作一Rt ABC 3CACB EBC2BE AB 点使得长度之和最小 PPCPE E P BC A 2 两点两线 问题 例 2 如图 两村相隔一条河 为使两村之间行程最短 应在河的什么位置架一座桥 河岸可看成A B 平行线 桥是垂直于河岸的 l2 l1 B A 变式 如图 在a上找到M N两点 且MN 10 M在N的左边 使四边形ABMN的周长最短 B A a 拓展 在平面直角坐标系中 点 请在轴和轴上分别找到点和点 2332PQ x y MN 1 请在轴和轴上分别找到点和点使四边形周长最小 作出点和点 x y MN PQMN MN 讲义制作人 孙曼 2014 年秋季同步课 初二年级 第三讲最短路径及作图 学生版Page 7 of 9 2 请在轴上找到一点 使得最大 作出点 xE PEPQ E 3 一点两线问题 例 3 如图 角内有点 OP 1 在角的两边有两点 均不同于点 求作 45AOB P Q RO Q 使得的周长的最小并求出最小值 R PQR 变式 已知 如图 分别是内两点 C DAOB OCOD 1 分别在角两边各取两点 使得周长 EF CEF 1 l 2 分别在角两边各取两点 使得周长最小 MN DMN 2 l 3 是否相等 若相等 请证明 若不相等 请说明原因 12 ll A B C D O 讲义制作人 孙曼 2014 年秋季同步课 初二年级 第三讲最短路径及作图 学生版Page 8 of 9 拓展 如图 五边形 ABCDE 中 BAE 120 B E 90 AB BC 1 AE DE 2 在 BC DE 上分别找一点 M N 使 AMN 的周长最小 求 AMN 的周长最小值 习题 1 2014 广西 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 6 BC 8 AD 是 BAC 的平分 线 若 P Q 分别是 AD 和 AC 上的动点 求 PC PQ 的最小值 习题 2 如图 在边长为 1 正方形 ABCD 中 E F G 分别是 AB BC CD DA 上的点 3AE EB 有一只蚂蚁从 E 点出发 经过 F G H 最后回点 E 点 则蚂蚁所走的最小路程是 1 2014 江西样卷 如图 在 ABC 中 BAC 90 AB AC AB 3 BC 5 EF 垂直平分 BC 点 P 为直线 EF 上的任一点 则AP BP 的最小值是 A 4 B 5 C 6 D 7 课后练习 讲义制作人 孙曼 2014 年秋季同步课 初二年级 第三讲最短路径及作图 学生版Page 9 of 9 2 15 2012 上城区一模 如图 在锐角 ABC 中 AB 6 BAC