7等束腰超短啁啾脉冲高斯光束在自由空间的传输特性

1 啁啾脉冲高斯光束在自由空间的传输啁啾脉冲高斯光束在自由空间的传输 邹其徽 吕百达 四川大学激光物理与化学研究所 四川 成都 610064 摘要摘要 基于瑞利衍射积分 使用复解析信号法推导出了啁啾脉冲高斯光束在自由空间中的传输方程及其傅 里叶谱 给出了远场的光场和空间光强的解析式 研究了啁啾参数 C 对脉冲光束传输的影响 结果表明 当啁啾参数 C 较小时 随啁啾参数增加 其轴上光谱蓝移增加 C2倍 其轴上谱线宽度增加 1 C2 1 2倍 随衍射角增大 轴外光谱红移比无啁啾参数时快 脉冲宽度较小时 啁啾参数增大 轴上光强增大 横向 光强分布越集中于传输轴附近 脉冲宽度较大时 啁啾参数增大对横向光强的影响减小 啁啾参数的正负 号不影响横向光强分布和光谱分布 关键词关键词 激光光学 超短脉冲高斯光束 啁啾 复解析信号 中图分类号中图分类号 O435 文献标识码文献标识码 A Propagation of ultrashort chirped pulsed Gaussian beams in free space Qihui Zou Baida L Institute of Laser Physics Chemistry Sichuan University Chengdu 610064 China Abstract Based on the Rayleigh diffraction integral and complex analytical signal representation the free space propagation equation and its Fourier spectrum for ultrashort chirped pulsed Gaussian beams are derived and the far field analytical electric field and spatial intensity are presented The effects of chirp parameter on the spatiotemporal and spectral properties are illustrated with analytical formulas and numerical calculation results It is found that if the chirp parameter C is relatively small the on axis spectral blueshifts increase by C2 times the on axis spectral bandwidth increases by 1 C2 1 2 times and the off axis spectral redshifts also increase considerably On axis intensity increases with increasing chirp parameter for relatively small values of the pulse duration The transversal intensity distribution remains nearly unchanged with increasing chirp parameter for relatively large values of the pulse duration The sign of chirp parameters has no effect on the spectral distribution and transversal intensity distribution Key words Laser optics Ultrashort pulsed Gaussian beam Chirp Complex analytical signal representation 1 引引 言言 超短超强激光脉冲在自由空间 线性无损耗介质中和非线性色散介质的传输的研究引起 了广泛的关注 1 4 以初始源平面的时间波形为高斯脉冲 2 3 泊松脉冲 5 双曲正割脉冲 6 7 洛仑兹脉冲 6 的研究居多 随着超短超强激光脉冲技术的发展 特别是啁啾脉冲放大 CPA 技 术的应用 超短脉冲系统中啁啾脉冲的特性一直是所关心和重视的问题 研究啁啾脉冲 8 9 10 在真空或色散介质的时空和光谱特性在光通信等方面具实际应用意义 本文基于瑞利衍射积 作者简介 邹其徽 1968 男 四川人 四川大学在读博士研究生 主要研究方向为超短脉冲的传输与变换 E mail qihui zou Tel 028 85412819 2 分 使用复解析信号法推导出了非近轴超短啁啾脉冲高斯光束在自由空间中传输的解析传输 方程和傅里叶谱 计算分析了啁啾参数的变化对超短啁啾脉冲高斯光束传输的时空特性和光 谱特性的影响 2 啁啾脉冲高斯光束在自由空间的传输方程啁啾脉冲高斯光束在自由空间的传输方程 根据瑞利 索末菲衍射积分公式 11 空间中光场分布在Z 0 的半空间的任一点 r x y z 的光场 E r 表示为 1 0000 2 0 2 0 0 i dd 22 2 i exp 2 cosi yxyyxxyx r k E r ek E kr 0 rr 式中 r0 x0 y0 0 是入射面上的任一点 E0 r0 是初始场分布 k 是波数 k c cos z r r x2 y2 z2 1 2 为衍射角 设入射面 z 0 上有一高斯脉冲光束 8 11 2 2 exp 22 0 2 000 0 ayxSyxE 式中 S 是初始轴上的脉冲光谱 02 x02 y02 a 为束腰宽度 与频率无关的常数 3 将 2 式代入 1 式积分得 3 2 sin i 2 sin exp iexp i cosi 422 234 422 2222 2 2 S akr rka akr kra kr kar ka rE 式中 为横向距离 c 为真空中的光速 3 式作傍轴近似得r sin 22 yx 4 exp 1 2 exp i1 1 22 Skz da yx d zyxEpi i 式中 d z c Ld Ld ca2 c 载波频率处的衍射长度 c为载波频率 4 式与文献 8 中 的 3 式一致 设在 z 0 处的啁啾高斯脉冲的光场实数形式为 8 9 5 2 cos 2 exp 2 2 2 2 T tC t T t tA c 式中 T 是与初始时刻脉冲宽度 TFWHM相关的参数 即 TFWHM 2 T ln2 1 2 C 为啁啾参数 初 始脉冲 A t 的傅里叶变换为 tttAsd iexp 2 1 6 2 i 1 2 i1 exp 2 i 1 2 i1 exp 1 2 2 22 2 22 412 C TC C TC C T cc 式中 使用复解析信号法 12 将 6 式代入 3 式可得啁啾脉冲高斯光束的CTan 1 3 傅里叶谱 2 i 1 2 i1 exp i 2 sin exp 1 i iexp cosi 2 22 2 222 4122 2 C TC kar rka Ckar krTka rE c 7 2 i 1 2 1 exp 2 22 C TC c i 由 7 式可得啁啾脉冲高斯光束的功率谱 2 22 422 2222 212422 2422 2 1 exp sin exp 1 cos C T akr kra Cakr aTk rE c 8 2 222 2 222 2 22 1 cos 1 exp2 1 exp C CT C T C T ccc 由 8 式看出 啁啾脉冲高斯光束的功率谱与啁啾参数的正负号无关 与其大小有关 在远场近似下 r ka2 7 式化为 2 i 1 2 i1 1 i1 2 sin 1 2 i1 exp 1 cos 2 22 2 2 2 2 22 2 2 412 2 C TC C TC c a C TC Crc Ta rE cc f 9 iexp i 2 i 1 2 i1 1 i1 2 sin 1 2 i1 exp 2 22 2 2 2 2 22 2 2 cr C TC C TC c a C TC cc 啁啾脉冲高斯光束的复解析信号解可表示为 12 10 d iexp 2 2 0 tEtErr 将 7 式代入 10 式即可用数值计算求得超短啁啾脉冲高斯光束的复解析信号解 在远 场近似下 其光场的复解析信号解可解析给出 1 2 exp 1 24 cosi d iexp 2 2 2 22 412 2 0 C T Crc Ta tEtE c ff rr 2 1 2 iexp 4 i exp 2 i 1 i 2 2 22 1 2 3 2 1 1 3 2 3 1 3 1 C CT b tb b tb erf b tb b c 11 2 1 2 iexp 4 i exp 2 i 1 i 2 2 22 2 2 4 2 1 2 4 2 3 2 4 2 C CT b tb b tb erf b tb b c 式中 为当地时间 erf 为误差函数 crtt 11a 2 sin2 iexp 1 2222212 1 caTCb 11b 2 sin2 iexp 1 2222212 2 caTCb 4 11c iexp 1 2212 3 cTCb 11d iexp 1 2212 4 c TCb 9 式和 11 式是本文的主要解析表达式 分别适用于非近轴情形的啁啾脉冲高斯光束 在夫琅禾费衍射区的傅里叶谱和光场 根据巴塞伐定理 超短啁啾脉冲高斯光束的空间光强 12 d d 22 rrrEttEI 将 8 式代入 12 式即可求出其空间光强 由于功率谱与啁啾参数的正负号无关 所以 其空间光强与啁啾参数的正负号无关 在远场近似下 其空间光强可由 9 式解析给出 22 22 25 2 21222 224 exp 2 exp 1 cos c ccf Crc Ta rI 13 cos 2 c C 式中 122 1 CT 222 sinca 3 数值计算和分析数值计算和分析 当啁啾参数 C 5 时 0 2 4 和 6 时的啁啾脉冲高斯光束的时间波形由图 1 给出 由图 1 看出 随衍射角 增大 脉冲展宽 图 2 给出了使用 8 式计算衍射角 0 0 5 1 0 和 1 5 的啁啾脉冲高斯光束 的归一化功率谱 a C 0 b C 2 啁啾参数 C 0 时 对应于衍射角 0 0 5 1 0 和 1 5 时 其功率谱取极大值对应的角频率分别为 2 40fs 1 2 03fs 1 1 32fs 1和 0 82fs 1 啁啾参数 C 2 时 对应于不同衍射角 其功率谱取极大值对应的角频率分别为 2 55fs 1 1 33fs 1 0 58fs 1和 0 33fs 1 因此 啁啾参数不为零时 轴上光谱蓝移增大 随衍射角增 大 啁啾脉冲高斯光束的轴外光谱红移比无啁啾参数时快 图 1 和图 2 的时间和光谱特性变 化规律可由衍射理论解释 由于衍射角与波长有关 随着衍射角增大 低频分量起决定作用 这将导致光谱红移 变窄 脉冲变宽 13 而啁啾参数使轴上光谱蓝移增加和谱线宽度展宽可 作如下解释 由 8 式 当啁啾参数较小时 轴上功率谱可近似为 14 2 22 212422 422 2 1 exp 1 C T Cakz aTk zE c 由 14 式可得轴上的谱线宽度 1 e 强度的谱线半宽度 约为 与啁啾参数TC 2 1 为零时比较 啁啾脉冲高斯光束的轴上谱线宽度增加 1 C2 1 2倍 14 对 14 式求角频率的偏导数 并令其等于零得轴上光谱蓝移 15 1 24222 222 azcT Czc c 由 15 式看出 啁啾脉冲高斯光束的轴上光谱蓝移与脉冲宽度 啁啾参数和传输距离有关 5 脉冲宽度越大 光谱蓝移越小 啁啾参数不为零时的轴上光谱蓝移增加 C2倍 轴上光谱蓝 移在远场趋于一渐近值 1 C2 0T2 图 3 给出了啁啾参数 C 0 2 和 4 的啁啾脉冲高斯光束 的归一化的轴上功率谱 由图 3 看出 随着啁啾参数增大 轴上谱线宽度展宽 轴上光谱蓝 移增大 光谱分布为高斯型分布 14 式为光谱的高斯型分布 相应于啁啾参数 C 0 2 4 和 5 时 由 8 式计算其轴上光谱蓝移分别为 0 04 0 19 0 53 和 0 74fs 1 而 使用近似公式 15 式计算的光谱蓝移分别为 0 040 0 185 0 530 和 0 737fs 1 可见 使用 15 式计算的光谱蓝移结果与数值计算结果吻合 图 4 给出了 z 8 20 50 和 500mm 的啁啾脉冲高斯光束的归一化轴上功率谱 图 4 表 明 啁啾脉冲高斯光束由近场传输到远场的过程中 谱线宽度几乎不变 轴上光谱蓝移增加 并在远场趋于一渐近值 0 23fs 1 对应于 z 8 20 50 和 500mm 蓝移分别为 0 03 0 12 0 20 和 0 23fs 1 与采用 15 式的计算值一致 图 5 给出了采用 13 式计算啁啾参数 C 0 6 和 12 的啁啾脉冲高斯光束的归一化空 间光强分布 I r Imax 其 Imax为无啁啾时的轴上光强 a T 3fs b T 9fs 由图 5 看出 初始脉冲宽度小时 随啁啾参数增大 轴上光强增大 光强分布越集中于传输轴附近 但初 始脉冲宽度较大时 啁啾参数的增大对空间光强分布影响减小 后者与文献 8 的变化规律 一致 4 结论结论 基于瑞利衍射积分 使用复解析信号法推导出了啁啾脉冲高斯光束在自由空间的传输方 程及其傅里叶谱 给出了远场的光场 傅里叶谱和空间光强的解析式 结果表明 随衍射角 增大 啁啾高斯光脉冲展宽及轴外光谱红移 且离轴光谱红移比无啁啾参数时快 啁啾参数 较小时 轴上谱线宽度增加 1 C2 1 2倍及轴上光谱蓝移增加约 C2倍 初始脉冲宽度较小时 啁啾参数增大 轴上光强增大 横向光强分布越集中于传输轴附近 但初始脉冲宽度较大时 啁啾参数的增大对横向光强分布的影响减小 啁啾参数的正负号不影响横向光强分布和光谱 分布 6 参考文献参考文献 1 王中阳 张正泉 徐至展 脉冲光束在均匀色散介质中的传播 J 中国激光 1997 24 8 715 720 2 王中阳 张正泉 徐至展 短脉冲高斯光束的时空形式 J 光学学报 1997 17 3 150 154 3 G P Agrawal Far field diffraction of pulsed optical beams in dispersive media J Opt Commun 1999 167 15 22 4 M A Porras Propagation of single cycle pulsed light beams in dispersive media J Phys Rev A 1999 60 6 5069 5073 5 M A Porras R Borghi M Santarsiero Few optical cycle Bessel Gauss pulsed beams in free space J Phys Rev E 2000 62 4 5729 5737 6 T Brabec F Krausz Nonlinear optical pulse propagation in the single cycle regime J Phys Rev Lett 1997 78 17 3282 3285 7 B L Z Liu Propagation properties of ultrashort pulsed Bessel beams in dispersive media J J Opt Soc Am A 2003 20 3 582 587 8 G P Agrawal Spectrum induced changes in diffraction of pulsed optical beams J Opt Commun 1998 157 52 56 9 D Marcuse Pulse distortion in single mode fiber 3 chirped pulse J Appl Opt 1981 20 20 3573 3579 10 谢兴龙 陈绍和 邓锡铭 真空中线性啁啾时空高斯脉冲传输特性的分析 J 光学学报 1998 18 2 182 185 11 Z Y Wang Z Q Zhang Z Z Xu Spectral and temporal properties of ultrashort light pulse in the far zone J Opt Commun 1996 123 5 10 12 T Melamed L B Felsen Pulsed beam propagation in lossless dispersive media I Theory J J Opt Soc Am A 1998 15 5 1268 1276 13 I P Christov Propagation of femtosecond light pulses J Opt Commun 1985 53 364 366 14 G P Agrawal Fiber optic communication systems the third edition M Tsinghua University Press 2004 7 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 30 20 12 441220 0 10 2 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 50 30 10103050 2 0 10 4 a b 15 10 5 0 5 10 15 50 30 10103050 4 10 5 6 4 2 0 2 4 6 50 30 10103050 6 0 10 5 c d 图 1 C 5 的啁啾脉冲高斯光束的时间波形 a 0 b 2 0 c 4 0 d 6 0 Fig 1 The temporal pulse forms of ultrashort chirped pulsed Gaussian beams for chirp parameter C 5 a 0 b 2 0 c 4 0 and d 6 0 In this case c 2 36fs 1 T 3fs a 0 05mm and r 100mm 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 00 511 522 533 544 55 0 0 5 1 0 1 5 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 00 511 522 533 544 55 0 0 5 1 0 1 5 a b Real E a u Real E a u Local time t fs Local time t fs Real E a u Real E a u Local time t fs Local time t fs Normalized power spectra Normalized power spectra Frequency fs 1Frequency fs 1 8 图 2 啁啾脉冲高斯光束的归一化功率谱 a C 0 b C 2 Fig 2 Normalized power spectra of ultrashort chirped pulsed Gaussian beams for different values of diffraction angle 0 0 5 1 0 and 1 5 a C 0 and b C 2 In this case c 2 36fs 1 T 3fs a 0 05mm and r 50mm 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 00 511 522 533 544 55 C 0 C 2 C 4 图 3 C 0 2 和 4 的啁啾脉冲高斯光束的归一化轴上功率谱 Fig 3 Normalized on axis power spectra of ultrashort chirped pulsed Gaussian