2020届江苏省南通市四校联盟高三下学期模拟测试数学文试题

页1 第 江苏省南通市江苏省南通市 2020 届四校联盟届四校联盟 高三数学文模拟测试卷高三数学文模拟测试卷 一一 填填空空题题 共共14 题题 每每题题 5 分分 计计 70 分分 不不写写解解答答过过程程 把把答答案案写写在在答答题题纸纸指指定定位位置置上上 1 已知集合 A 3 1x x 2 B540 x xx 则AB 4 2 复数 2 1 z i 其中i是虚数单位 则复数z的共轭复数为 1 i 3 设向量a l k b 2 k 3 若a b 则实数 k 的值为 1 4 如图是一个算法的伪代码 其输出的结果为 10 11 5 函数 f x 34log 2 1 x 的定义域为 3 4 1 6 已知命题 p 1 x a0 若 p 是 q 的充分不必要条件 则实数 a 的取值范围 是 5 7 7 在正四棱锥 S ABCD 中 点 O 是底面中心 SO 2 侧棱 SA 2 则该棱锥的体积为 32 3 8 若函数 cos 2 f xx 0 的图象关于直线 12 x 对称 则 5 6 9 已知椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率 1 2 e A B 分别是椭圆的左 右顶点 P 是椭 圆上不同于 A B 的一点 直线 PA PB 的倾斜角分别为 则 cos cos 的值为 1 7 10 在ABC 所在的平面上有一点P 满足PAPBPCAB 则 PA PB PB PC 1 2 页2 第 11 如图 将数列 n a中的所有项按每一行比上一行多两项的 规则排成数表 已知表中的第一列 125 a a a 构成一个公比为 2 的等比数列 从第 2 行起 每一行都是一个公差为d的等差数列 若 386 5 524 aa 则d 3 12 己知 x 0 3 则 281 32 x y xx 的最小值为 7 2 13 若函数 f x x3 ax2 x x 0 存在零点 则实数 a 的取值范围为 2 14 已知 2 3 f xm xm xm 22 x g x 若同时满足条件 xR 0f x 或 0g x 4 x 0f x g x 则m的取值范围是 4 2 二 解答题二 解答题 共 共 6 小题 共小题 共 90 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本题满分 14 分 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 已知底面 ABCD 是菱形 点 P 是侧棱 C1C 的中点 1 求证 AC1 平面 PBD 2 求证 BD A1P 1 证明 连结AC交BD于O点 连结OP 因为四边形ABCD是正方形 对角线AC交BD于点O 所以O点是AC的中点 所以AOOC 又因为点P是侧棱 1 C C的中点 所以 1 CPPC 在 1 ACC 中 1 1 C PAO OCPC 所以 1 ACOP 4 分 又因为OPPBD 面 1 ACPBD 面 所以 1 AC平面PBD 7 分 2 证明 连结 11 AC 因为 1111 ABCDABC D 为直四棱柱 所以侧棱 1 C C垂直于底面ABCD 又BD 平面ABCD 所以 1 CCBD 因为底面ABCD是菱形 所以ACBD 又 1 ACCCC 111 ACAC CCAC 面面 所以 1 BDAC 面 10 分 又因为 1111 PCC CCACC A 面 所以 11 PACC A 面 因为 111 AACC A 面 所以 11 APAC 面 所以 1 BDA P 14 分 16 本小题满分 14 分 P D1C1 B1 A1 D C BA O P D1C1 B1 A1 D C BA 页3 第 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c cosB 4 5 1 若 c 2a 求的值 sinB sinC 2 若 C B 求 sinA 的值 4 解 1 解法 1 在 ABC 中 因为 cosB 所以 2 分 4 5 a2 c2 b2 2ac 4 5 因为 c 2a 所以 即 所以 4 分 F c 2 2 c2 b2 2c c 2 4 5 b2 c2 9 20 b c 又由正弦定理得 所以 6 分 sinB sinC b c sinB sinC 解法 2 因为 cosB B 0 所以 sinB 2 分 4 51 cos2B 3 5 因为 c 2a 由正弦定理得 sinC 2sinA 所以 sinC 2sin B C cosC sinC 即 sinC 2cosC 4 分 6 5 8 5 又因为 sin2C cos2C 1 sinC 0 解得 sinC 所以 6 分 sinB sinC 2 因为 cosB 所以 cos2B 2cos2B 1 8 分 4 5 7 25 又 0 B 所以 sinB 1 cos2B 3 5 所以 sin2B 2sinBcosB 2 10 分 3 5 4 5 24 25 因为 C B 即 C B 所以 A B C 2B 4 4 3 4 所以 sinA sin 2B 3 4 sincos2B cossin2B 14 分 3 4 3 4 17 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab 的右焦点为 1 0F 且过点 3 1 2 过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于 x y F P O B A 第 17 题 页4 第 A B 两点 点P在椭圆上 且满足 0OAOBtOP t 1 求椭圆C的标准方程 2 若 2 2 t 求直线AB的方程 解 1 由题意可知 1c 且 22 19 1 4ab 又因为 222 abc 解得2 3ab 2 分 所以椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy 4 分 2 若直线AB的斜率不存在 则易得 33 1 1 22 AB 2 2 0 2 OAOBOP 得 2 2 0 P 显然点P不在椭圆上 舍去 5 分 因此设直线l的方程为 1yk x 设 1122 A x yB xy 将直线l的方程与椭圆C的方程联立 22 1 1 43 yk x xy 整理得 2222 34 84120kxk xk 7 分 因为 22 1 2 2 461 34 kk x k 所以 2 12 2 8 34 k xx k 8 分 则由 1212 2 k2 2 OAOBxxxxOP 得 1212 2 2 2 Pxxk xx 10 分 将P点坐标代入椭圆C的方程 得 222 1212 3 4 2 6xxkxx 11 分 将 2 12 2 8 34 k xx k 带入等式 得 2 3 4 k 3 2 k 12 分 因此所求直线AB的方程为 3 1 2 yx 14 分 设直线l的方程为1xmy 求解亦可 18 16 分 某校要在一条水泥路边安装路灯 其中灯杆的设计如图所示 AB为地面 CD CE 为路灯 灯杆 CD AB 2 3 DCE 在E处安装路 灯 且路灯的照明张角 3 MEN 已知 4m 2mCDCE NM E C DB A 第 18 题 页5 第 1 当 M D 重合时 求路灯在路面的照明宽度MN 2 求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值 解 1 当 M D重合时 由余弦定理知 22 2cos2 7MEDECDCECD CEDCE 所以 222 5 7 cos 214 CDDECE CDE CD DE 2 分 因为 2 CDEEMN 所以 5 7 sincos 14 EMNCDE 因为cos0EMN 所以 2 21 cos1 sin 14 EMNEMN 4 分 因为 3 MEN 所以 2 sinsin 3 ENMEMN 2 2 2 7 sincoscossin 337 EMNEMN 6 分 在EMN 中 由正弦定理可知 sinsin MNEM MENENM 解得 7 3 2 MN 8 分 2 易知E到地面的距离 2 42sin5m 32 h 10 分 由三角形面积公式可知 11 5sin 223 EMN SMNEM EN 所以 10 3 MNEM EN 12 分 又由余弦定理可知 222 2cos 3 MNEMENEM ENEM EN 13 分 当且仅当EMEN 时 等号成立 所以 2 10 3 MNMN 解得 10 3 3 MN 14 分 答 1 路灯在路面的照明宽度为 7 3 m 2 2 照明宽度MN的最小值为 10 3 m 3 16 分 19 本小题满分 16 分 已知函数xxxxf32 3 1 23 Rx 的图象为曲线C 1 求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围 2 若曲线C上存在两点处的切线互相垂直 求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围 页6 第 3 试问 是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点 如果存在 求出符合条件的所有直线方 程 若不存在 说明理由 解 1 34 2 xxxf 则 2 2 11kfxx 4 分 2 由 1 可知 1 1 1 k k 6 分 得 22 3 1 22 x 9 分 3 设存在过点 A 11 yx的切线曲线 C 同时切于两点 另一切点为 B 22 yx 21 xx 过 A 11 yx的切线方程是 2 3 2 34 2 1 3 11 2 1 xxxxxy 11 分 同理 过 B 22 yx的切线方程是 2 3 2 34 2 2 3 22 2 2 xxxxxy 则有 3434 2 2 21 2 1 xxxx 得4 21 xx 13 分 又由 2 2 3 2 2 1 3 1 2 3 2 2 3 2 xxxx 即0 2 3 2 2121 2 221 2 121 xxxxxxxxxx 04 3 1 2 221 2 1 xxxx 即012 2 2211 xxxx 即0124 4 2 22 xx 044 2 2 2 xx 得2 2 x 由4 21 xx得2 1 x 这与 21 xx 矛盾 所以不存在 16 分 20 本小题满分 16 分 设各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 1a 且 111 nnnnnn a SaSaa对一切 n N都成立 1 时 当1 求数列 n a的通项公式 若 1 nn anb 求数列 n b的前n项的和 n T 2 是否存在实数 使数列 n a是等差数列 如果存在 求出 的值 若不存在 说明理由 详解 1 若 1 因为 111nnnnnn a SaSaa 则 11 11 nnnn SaSa 11 1aS 页7 第 又 0 n a 0 n S 11 1 1 nn nn Sa Sa 313122 1212 111 111 nn nn SSaaSa SSSaaa 化简 得 11 12 nn Sa 当 2n 时 12 nn Sa 得 1 2 nn aa 1 22 n n a n a 当 1n 时 2 2a 1n 时上式也成立 数列 n a 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 1 2n n a 4 分 因为 1 nn bna 1 1 2n n bn 所以 01221 2 23 24 22 1 2 nn n Tnn 所以 1231 22 23 24 22 1 2 nn n Tnn 将两式相减得 121 2222 1 2 nn n Tn 1 2 1 2 2 1 22 1 2 n nn nn 所以 2n n Tn 8 分 2 令 1n 得 2 1a 令 2n 得 2 3 1a 要