高中数学 1．1正弦定理和余弦定理教案（2） 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 1 1 1 1 1 1 正弦定理正弦定理 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 掌握正弦定理的内容及其证明方法 会运用 正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 过程与方法 过程与方法 让学生从已有的几何知识出发 共同探究在任意三角形中 边与其对角的关系 引导学生 通过观察 推导 比较 由特殊到一般归纳出正弦定理 并进行定理基本应用的实践操作 情感态度与价值观 情感态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 培养学生合情推理探 索数学规律的数学思思想能力 通过三角形函数 正弦定理 向量的数量积等知识间的联系来体现事 物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用 教学难点教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数 教学过程教学过程 课题导入课题导入 如图 1 1 1 固定 ABC 的边 CB 及 B 使边 AC 绕着顶点 C 转动 A 思考 C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系 显然 边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大 能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来 C B 讲授新课讲授新课 探索研究探索研究 图 1 1 1 在初中 我们已学过如何解直角三角形 下面就首先来探讨直角三角形中 角与边的等式关系 如图 1 1 2 在 Rt ABC 中 设 BC a AC b AB c 根据锐角三角函数中正弦函数的定义 有 si n a A c si n b B c 又si n1 c C c A 则 si nsi nsi n abc c ABC b c 从而在直角三角形 ABC 中 si nsi nsi n abc ABC C a B 图 1 1 2 思考 那么对于任意的三角形 以上关系式是否仍然成立 由学生讨论 分析 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况 如图 1 1 3 当 ABC 是锐角三角形时 设边 AB 上的高是 CD 根据任意角三角函数的定义 有 CD si nsi naBbA 则 si nsi n ab AB C 同理可得 si nsi n cb CB b a 从而 si nsi n ab AB si n c C A c B 图 1 1 3 思考 是否可以用其它方法证明这一等式 由于涉及边长问题 从而可以考虑用向量来研究这个问题 用心 爱心 专心2 证法二 过点 A 作jAC C 由向量的加法可得 ABACC B 则 jABjACC B A B jABjACjC B j 00 cos 900cos 90 j ABAj CBC sinsin cA aC 即 sinsin ac AC 同理 过点 C 作 jBC 可得 sinsin bc BC 从而 si nsi n ab AB si n c C 类似可推出 当 ABC 是钝角三角形时 以上关系式仍然成立 由学生课后自己推导 从上面的研探过程 可得以下定理 正弦定理 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 si nsi n ab AB si n c C 理解定理理解定理 1 正弦定理说明同一三角形中 边与其对角的正弦成正比 且比例系数为同一正数 即存在正数 k 使si nakA si nbkB si nckC 2 si nsi n ab AB si n c C 等价于 si nsi n ab AB si nsi n cb CB si n a A si n c C 从而知正弦定理的基本作用为 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边 如 si n si n bA a B 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值 如si nsi n a AB b 一般地 已知三角形的某些边和角 求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形 例题分析例题分析 例 1 在 ABC中 已知 0 32 0 A 0 81 8 B 42 9 acm 解三角形 解 根据三角形内角和定理 0 180 CA B 000 180 32 081 8 0 66 2 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin81 8 80 1 sin sin32 0 aB bcm A 根据正弦定理 用心 爱心 专心3 0 0 sin42 9sin66 2 74 1 sin sin32 0 aC ccm A 评述 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例 2 在 ABC中 已知20 acm 28 bcm 0 40 A 解三角形 角度精确到 0 1 边长精确到 1cm 解 根据正弦定理 0 sin28sin40 sin0 8999 20 bA B a 因为 0 0 B 0 180 所以 0 64 B 或 0 116 B 当 0 64 B时 00000 180 180 4064 76 CA B 0 0 sin20sin76 30 sin sin40 aC ccm A 当 0 116 B时 00000 180 180 40116 24 CA B 0 0 sin20sin24 13 sin sin40 aC ccm A 评述 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时 可能有两解的情形 课堂练习课堂练习 第 5 页练习第 1 1 2 1 题 补充练习补充练习 已知 ABC 中 si n si n si n1 2 3ABC 求 a b c 答案 1 2 3 课时小结课时小结 由学生归纳总结 1 定理的表示形式 si nsi n ab AB si n c C 0 si nsi nsi n abc k k ABC 或si nakA si nbkB si nckC 0 k 2 正弦定理的应用范围 已知两角和任一边 求其它两边及一角 已知两边和其中一边对角 求另一边的对角 课后作业课后作业 第 10 页 习题 1 1 A 组第 1 1 2 1 题 板书设计板书设计 授后记授后记 用心 爱心 专心4 课题 1 1 21 1 2 余弦定理余弦定理 授课类型 授课类型 新授课 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法 并会运用余弦定理解决两类 基本的解三角形问题 过程与方法 过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论 并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类 基本的解三角形问题 情感态度与价值观 情感态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 通过三角函数 余弦 定理 向量的数量积等知识间的关系 来理解事物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用 教学难点教学难点 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用 教学过程教学过程 课题导入课题导入 C 如图 1 1 4 在 ABC 中 设 BC a AC b AB c 已知 a b 和 C 求边 c b a A c B 图 1 1 4 讲授新课讲授新课 探索研究探索研究 联系已经学过的知识和方法 可用什么途径来解决这个问题 用正弦定理试求 发现因 A B 均未知 所以较难求边 c 由于涉及边长问题 从而可以考虑用向量来研究这个问题 A 如图 1 1 5 设C Ba C A b ABc 那么cab 则 b c 2 22 2 2 cc cabab a ab ba b aba b C a B 从而 222 2coscababC 图 1 1 5 同理可证 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 于是得到以下定理 余弦定理余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍 即 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 思考 这个式子中有几个量 从方程的角度看已知其中三个量 可以求出第四个量 能否由三边求出 一角 由学生推出 从余弦定理 又可得到以下推论 用心 爱心 专心5 222 cos 2 b ca A bc 222 cos 2 acb B ac 222 cos 2 b ac C ba 理解定理理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边 已知三角形的三条边就可以求出其它角 思考 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系 余弦定理则指出了一般三角形中三边 平方之间的关系 如何看这两个定理之间的关系 由学生总结 若 ABC 中 C 0 90 则cos0 C 这时 222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广 勾股定理是余弦定理的特例 例题分析例题分析 例 1 在 ABC 中 已知2 3 a 62 c 0 60 B 求 b 及 A 解 222 2cos bacacB 22 2 3 62 2 2 3 62 cos 0 45 2 12 62 4 3 3 1 8 2 2 b 求A可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理 解法一 cos 222222 2 2 62 2 3 1 22 2 2 2 62 bca A bc 0 60 A 解法二 sin 0 2 3 sinsin45 2 2 a AB b 又 62 2 4 1 4 3 8 2 3 2 1 8 3 6 a c 即 0 0 A 0 90 0 60 A 评述 解法二应注意确定 A 的取值范围 例 2 在 ABC 中 已知134 6 acm 87 8 bcm 161 7 ccm 解三角形 见课本第 8 页例 4 可由学生通过阅读进行理解 解 由余弦定理的推论得 用心 爱心 专心6 cos 222 2 b ca A bc 222 87 8161 7134 6 2 87 8 161 7 0 5543 0 56 20 A cos 222 2 cab B ca 222 134 6161 787 8 2 134 6 161 7 0 8398 0 32 53 B 0000 180 180 56 2032 53 CA B 课堂练习课堂练习 第 8 页练习第 1 1 2 1 题 补充练习补充练习 在 ABC 中 若 222 abcbc 求角 A 答案 A 120 0 课时小结课时小结 1 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律 勾股定理是余弦定理的特例 2 余弦定理的应用范围 已知三边求三角 已知两边及它们的夹角 求第三边 课后作业课后作业 课后阅读 课本第 9 页 探究与发现 课时作业 第 11 页 习题 1 1 A 组第 3 1 4 1 题 板书设计板书设计 授后记授后记 课题 1 1 1 1 3 3 解三角形的进一步讨论解三角形的进一步讨论 授课类型 授课类型 新授课 用心 爱心 专心7 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时 有两解或一解或无解等情形 三角形各种类型的判定方法 三角形面积定理的应用 过程与方法 过程与方法 通过引导学生分析 解答三个典型例子 使学生学会综合运用正 余弦定理 三角函数 公式及三角形有关性质求解三角形问题 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过正 余弦定理 在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关 系 反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能 从而从本质上反映了事物之间的内在 联系 教学重点教学重点 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时 有两解或一解或无解等情形 三角形各种类型的判定方法 三角形面积定理的应用 教学难点教学难点 正 余弦定理与三角形的有关性质的综合运用 教学过程教学过程 课题导入课题导入 创设情景创设情景 思考 在 ABC 中 已知22acm 25bcm 0 133A 解三角形 由学生阅读课本第 9 页解答过程 从此题的分析我们发现 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时 在某些条件下会出 现无解的情形 下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题 讲授新课讲授新课 探索研究探索研究 例例 1 1 在 ABC 中 已知 a b A 讨论三角形解的情况 分析 先由 si n si n bA B a 可进一步求出 B 则 0 180 CAB 从而 si naC c A 1 当 A 为钝角或直角时 必须ab 才能有且只有一解 否则无解 2 当 A 为锐角时 如果a b 那么只有一解 如果ab 那么可以分下面三种情况来讨论 1 若si nabA 则有两解 2 若si nabA 则只有一解 3 若si nabA 则无解 以上解答过程详见课本第 9 10 页 评述 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时 只有当 A 为锐角且 si nbA ab 时 有两解 其它情况时则只有一解或无解 随堂练习随堂练习 1 1 1 在 ABC 中 已知80a 100b 0 45A 试判断此三角形的解的情况 2 在 ABC 中 若1a 1 2 c 0 40C 则符合题意的 b 的值有 个 用心 爱心 专心8 3 在 ABC 中 axcm 2bcm 0 45B 如果利用正弦定理解三角形有两解 求 x 的取值范 围 答案 1 有两解 2 0 3 22 2x 例例 2 2 在 ABC 中 已知7a 5b 3c 判断 ABC 的类型 分析 由余弦定理可知 222 222 222 是直角ABC 是直角三角形 是钝角ABC 是钝角三角形 是锐角 abcA abcA abcA ABC 是锐角三角形 注意 是锐角A ABC 是锐角三角形 解 222 753 即 222 abc ABC 是钝角三角形 随堂练习随堂练习 2 2 1 在 ABC 中 已知si n si n si n1 2 3ABC 判断 ABC 的类型 2 已知 ABC 满足条件coscosaA bB 判断 ABC 的类型 答案 1 ABC 是钝角三角形 2 ABC 是等腰或直角