n次独立重复试验的模型及二项分布

第第八八节节 n n次次独独立立重重复复试试验验与与二二项项分分布布 备考方向要明了 考 什 么怎 么 考 1 了解条件概率和两个事件相互独立 的概念 2 理解n次独立重复试验的模型及二 项分布 并能解决一些简单的实际问 题 相互独立事件 n次独立重复试验的概率求法是每 年高考的热点 特别是相互独立事件 n次独立重 复试验及二项分布的综合更是高考命题的重中之重 如 2012 年山东 T19 等 归纳 知识整合 1 条件概率及其性质 条件概率的定义条件概率的性质 设A B为两个事件 且P A 0 称P B A 为在事件A发生条件下 事件B发生的 P AB P A 条件概率 1 0 P B A 1 2 如果B和C是两个互斥事件 则 P B C A P B A P C A 2 事件的相互独立性 1 定义 设A B为两个事件 如果P AB P A P B 则称事件A与事件B相互 独立 2 性质 若事件A与B相互独立 则P B A P B P A B P A P AB P A P B 如果事件A与B相互独立 那么A与 与B 与 也相互独立 BAAB 探究 1 相互独立 和 事件互斥 有何不同 提示 两事件互斥是指两事件不可能同时发生 两事件相互独立是指一个事件的发生 与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件相互独立不一定互斥 3 独立重复试验与二项分布 独立重复试验二项分布 定义 在相同条件下重复做的n 次试验称为n次独立重复 试验 在n次独立重复试验中 用X表示事件A发生的次数 设每次试验中事件A发生的概率是p 此时称随机变 量X服从二项分布 记作X B n p 并称p为成 功概率 计算 公式 Ai i 1 2 n 表示第 i次试验结果 则 P A1A2A3 An P A1 P A2 P An 在n次独立重复试验中 事件A恰好发生k次的概率 为P X k Cpk 1 p n k k 0 1 2 n k n 探究 2 二项分布的计算公式和二项式定理的公式有何联系 提示 如果把p看成a 1 p看成b 则 Cpk 1 p n k就是二项式定理中的通项 k n 自测 牛刀小试 1 若事件E与F相互独立 且P E P F 则P EF 的值等于 1 4 A 0 B 1 16 C D 1 4 1 2 解析 选 B EF代表E与F同时发生 故P EF P E P F 1 16 2 已知P B A P AB 则P A 等于 1 2 3 8 A B 3 16 13 16 C D 3 4 1 4 解析 选 C 由P AB P A P B A 可得P A 3 4 3 有甲 乙两批种子 发芽率分别为 0 8 和 0 9 在两批种子中各取一粒 则恰有一 粒种子能发芽的概率是 A 0 26 B 0 08 C 0 18 D 0 72 解析 选 A P 0 8 0 1 0 2 0 9 0 26 4 掷一枚不均匀的硬币 正面朝上的概率为 若将此硬币掷 4 次 则正面朝上 3 次 2 3 的概率是 解析 设正面朝上X次 则X B 4 2 3 P X 3 C 31 3 4 2 3 1 3 32 81 答案 32 81 5 某人一周晚上值班 2 次 在已知他周日一定值班的条件下 则他在周六晚上值班的 概率为 解析 设事件A为 周日值班 事件B为 周六值班 则P A P AB 故P B A C1 6 C2 7 1 C2 7 P AB P A 1 6 答案 1 6 条件概率 例 1 1 甲 乙两地都位于长江下游 根据天气预报的记录知 一年中下雨天甲市 占 20 乙市占 18 两市同时下雨占 12 则甲市为雨天 乙市也为雨天的概率为 A 0 6 B 0 7 C 0 8 D 0 66 2 市场上供应的灯泡中 甲厂产品占 70 乙厂产品占 30 甲厂产品的合格率是 95 乙厂产品的合格率是 80 则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 自主解答 1 甲市为雨天记为事件A 乙市为雨天记为事件B 则P A 0 2 P B 0 18 P AB 0 12 故P B A 0 6 P AB P A 0 12 0 2 2 记A 甲厂产品 B 合格产品 则P A 0 7 P B A 0 95 故P AB P A P B A 0 7 0 95 0 665 答案 1 A 2 0 665 在本例 2 中条件改为 甲厂产品的合格率是 95 其中 60 为一级品 求甲厂产品中 任选一件为一级品的概率 解 设甲厂产品合格为事件A 一级品为事件B 则甲厂产品中任一件为一级品为 AB 所以P AB P A P B A 95 60 0 57 条件概率的求法 1 定义法 先求P A 和P AB 再由P B A 求P B A P AB P A 2 基本事件法 借古典概型概率公式 先求事件A包含的基本事件数n A 再求事 件AB所包含的基本事件数n AB 得P B A n AB n A 1 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题 如果不放回地依次抽取 2 道题 求 1 第 1 次抽到理科题的概率 2 第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率 3 在第 1 次抽到理科题的条件下 第 2 次抽到理科题的概率 解 设第 1 次抽到理科题为事件A 第 2 次抽到理科题为事件B 则第 1 次和第 2 次都 抽到理科题为事件AB 1 从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道的事件数为 n A 20 2 5 根据分步乘法计数原理 n A A A 12 1 31 4 于是P A n A n 12 20 3 5 2 因为n AB A 6 所以 2 3 P AB n AB n 6 20 3 10 3 法一 由 1 2 可得 在第 1 次抽到理科题的条件下 第 2 次抽到理科题的概率 P B A P AB P A 3 10 3 5 1 2 法二 因为n AB 6 n A 12 所以P B A n AB n A 6 12 1 2 相互独立事件的概率 例 2 某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F 已知从城市E 到城市F有两条公路 统计表明 汽车走公路 堵车的概率为 不堵车的概率为 走公路 堵车的概率为 不堵车 1 10 9 10 3 5 的概率为 若甲 乙两辆汽车走公路 第三辆汽车丙由于其他原因走公路 运送水果 2 5 且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响 1 求甲 乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率 2 求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率 自主解答 记 汽车甲走公路 堵车 为事件A 汽车乙走公路 堵车 为事件B 汽车丙走公路 堵车 为事件C 1 甲 乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为 P1 P A P B BA 1 10 9 10 9 10 1 10 9 50 2 甲 乙 丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为 P2 P A B P A C P B C P A B C CBA 1 10 1 10 2 5 1 10 9 10 3 5 9 10 1 10 3 5 1 10 1 10 3 5 59 500 求相互独立事件同时发生的概率的方法 1 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 2 正面计算较繁或难以入手时 可从其对立事件入手计算 2 红队队员甲 乙 丙与蓝队队员A B C进行围棋比赛 甲对A 乙对B 丙对C 各一盘 已知甲胜A 乙胜B 丙胜C的概率分别为 0 6 0 5 0 5 假设各盘比赛结果相互 独立 1 求红队至少两名队员获胜的概率 2 求红队队员获胜总盘数为 1 的概率 解 1 设甲胜A为事件D 乙胜B为事件E 丙胜C为事件F 则 分别表示事 D EF 件甲不胜A 事件乙不胜B 事件丙不胜C 因为P D 0 6 P E 0 5 P F 0 5 由对立事件的概率公式知P 0 4 P DE 0 5 P 0 5 F 红队至少两人获胜的事件有 DE D F EF DEF FED 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立 因此红队至少两人获胜的概率为 P P DE P D F P EF P DEF FED 0 6 0 5 0 5 0 6 0 5 0 5 0 4 0 5 0 5 0 6 0 5 0 5 0 55 2 由题意知 可能的取值为 0 1 2 3 又由 1 知D E F E D是两两互斥事件 且各盘比赛的结果相互独立 D F E F P 1 P F P E P D DED F E F 0 4 0 5 0 5 0 4 0 5 0 5 0 6 0 5 0 5 0 35 即红队队员获胜 1 盘的概率为 0 35 独立重复试验与二项分布 例 3 甲 乙 丙三台机床各自独立地加工同一种零件 已知甲 乙 丙三台机床 加工的零件是一等品的概率分别为 0 7 0 6 0 8 乙 丙两台机床加工的零件数相等 甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的二倍 1 从甲 乙 丙三台机床加工的零件中各取一件检验 求至少有一件一等品的概率 2 将甲 乙 丙三台机床加工的零件混合到一起 从中任意地抽取一件检验 求它是 一等品的概率 3 将甲 乙 丙三台机床加工的零件混合到一起 从中任意地抽取 4 件检验 其中一 等品的个数记为X 求X的分布列 自主解答 1 设从甲 乙 丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品分别为事件 A B C 则P A 0 7 P B 0 6 P C 0 8 所以从甲 乙 丙三台机床加工的零件中各取一件检验 至少有一件一等品的概率为 P1 1 P P P 1 0 3 0 4 0 2 0 976 ABC 2 将甲 乙 丙三台机床加工的零件混合到一起 从中任意地抽取一件检验 它是一 等品的概率为 P2 0 7 2 0 7 0 6 0 8 4 3 依题意抽取的 4 件样品中一等品的个数X的可能取值为 0 1 2 3 4 则 P X 4 C 0 74 0 2401 0 4 P X 3 C 0 3 0 73 0 4116 1 4 P X 2 C 0 32 0 72 0 2646 2 4 P X 1 C 0 33 0 7 0 0756 3 4 P X 0 C 0 34 0 0081 4 4 X的分布列为 X43210 P0 24010 41160 26460 07560 0081 二项分布满足的条件 1 每次试验中 事件发生的概率是相同的 2 各次试验中的事件是相互独立的 3 每次试验只有两种结果 事件要么发生 要么不发生 4 随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数 3 如图 一圆形靶分成A B C三部分 其面积之比为 1 1 2 某 同学向该靶投掷 3 枚飞镖 每次 1 枚 假设他每次投掷必定会中靶 且投 中靶内各点是随机的 1 求该同学在一次投掷中投中A区域的概率 2 设X表示该同学在 3 次投掷中投中A区域的次数 求X的分布列 3 若该同学投中A B C三个区域分别可得 3 分 2 分 1 分 求他投掷 3 次恰好得 4 分的概率 解 1 设该同学在一次投掷中投中A区域的概率为P A 依题意 P A 1 4 2 依题意识 X B 从而X的分布列为 3 1 4 X0123 P 27 64 27 64 9 64 1 64 3 设Bi表示事件 第i次击中目标时 击中B区域 Ci表示事件 第i次击中目标 时 击中C区域 i 1 2 3 依题意知P P B1C2C3 P C1B2C3 P C1C2B3 3 1 4 1 2 1 2 3 16 1 个技巧 抓住关键词求解相互独立事件的概率 在应用相互独立事件的概率公式时 要找准关键字句 对含有 至多有一个发生 至少有一个发生 恰有一个发生 的情况 要结合对立事件的概率求解 1 个明确 明确常见词语的含义 解题过程中要明确事件中 至少有一个发生 至多有一个发生 恰有一个发生 都 发生 都不发生 不都发生 等词的意义 已知两个事件A B 则 1 A B中至少有一个发生的事件为A B 2 A B都发生的事件为AB 3 A B都不发生的事件为 A B 4 A B恰有一个发生的事件为A B BA 5 A B至多一个发生的事件为A B BAA B 易误警示 独立事件概率求法中的易误点 典例 2012 珠海模拟 某射手每次射击击中目标的概率是 且各次射击的结果互 2 3 不影响 1 假设这名射手射击 5 次 求恰有 2 次击中目标的概率 2 假设这名射手射击 5 次 求有 3 次连续击中目标 另外 2 次未击中目标的概率 3 假设这名射手射击 3 次 每次射击 击中目标得 1 分 未击中目标得 0 分 在 3 次 射击中 若有 2 次连续击中 而另外 1 次未击中 则额外加 1 分 若 3 次全击中 则额外 加 3 分 记 为射手射击 3 次后的总的分数 求 的分布列 解 1 设X为射手在 5 次射击中目标的次数 则X B 在 5 次射击中 恰有 5 2 3 2 次击中目标的概率为 P X 2 C 2 3 2 5 2 3 1 2 3 40 243 2 设 第i次射击击中目标 为事件Ai i 1 2 3 4 5 射手在 5 次射击中 有 3 次连续击中目标 另外 2 次未击中目标 为事件A 则 P A P A1A2A3 4 5 P 1A2A3A4 5 P 1 2A3A4A5 AAAAAA 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 8 81 3 由题意可知 的所有可能取值为 0 1 2 3 6 P 0 P 1 2 3 3 A A A 1 3 1 27 P 1 P A1 2 3 P 1A2 3 P 1 2A3 2 2 AAAAA A 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 9 P 2 P A1 2A3 A 2 3 1 3 2 3 4 27 P 3 P A1A2 3 P 1A2A3 2 2 AA 2 3 1 3 1 3 2 3 8 27 P 6 P A1A2A3 2 2 3 8 27 所以 的分布列为 01236 P 1 27 2 9 4 27 8 27 8 27 易误辨析 1 本题第 2 问因不明独立事件与独立重复试验的区别 误认为是n次独立重复试验 可导致求得P C 3 2 这一错误结果 3 5 2 3 1 3 80 243 2 本题第 2 问中因忽视连续三次击中目标 另外两次未击中导致分类不准确 3 正确区分相互独立事件与n次独立重复试验是解决这类问题的关键 变式训练 某中学在运动会期间举行定点投篮比赛 规定每人投篮 4 次 投中一球得 2 分 没有 投中得 0 分 假设每次投篮投中与否是相互独立的 已知小明每次投篮投中的概率都是 1 3 1 求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率 2 求小明在 4 次投篮后的总得分 的分布列 解 1 设小明第i次投篮投中为事件Ai 则小明在投篮过程中直到第三次才投中的 概率为 P P P P A3 A1A2 2 3 2 3 1 3 4 27 2 由题意知 的可能取值为 0 2 4 6 8 则P 0 4 P 2 C 2 3 16 811 4 3 P 4 C 2 2 P 6 C 3 P 8 1 3 2 3 32 812 4 1 3 2 3 8 273 4 1 3 2 3 8 81 4 1 3 1 81 所以 的分布列为 02468 P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 1 甲 乙两人同时报考某一所大学 甲被录取的概率为 0 6 乙被录取的概率为 0 7 两人是否被录取互不影响 则其中至少有一人被录取的概率为 A 0 12 B 0 42 C 0 46 D 0 88 解析 选 D 由题意知 甲 乙都不被录取的概率为 1 0 6 1 0 7 0 12 故至 少有一人被录取的概率为 1 0 12 0 88 2 2013 济南模拟 位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动 质点每次移动 一个单位 移动的方向向左或向右 并且向左移动的概率为 向右移动的概率为 则质 1 3 2 3 点P移动五次后位于点 1 0 的概率是 A B 4 243 8 243 C D 40 243 80 243 解析 选 D 依题意得 质点P移动五次后位于点 1 0 则这五次移动中必有某两次 向左移动 另三次向右移动 因此所求的概率等于 C 2 3 2 5 1 3 2 3 80 243 3 2013 荆州质检 已知随机变量 服从二项分布 B 即P 2 等于 6 1 3 A B 3 16 1 243 C D 13 243 80 243 解析 选 D 已知 B P k Cpkqn k 当 2 n 6 p 时 有 6 1 3 k n 1 3 P 2 C 26 2 2 6 1 3 1 1 3 80 243 4 从 1 2 3 4 5 中任取 2 个不同的数 事件A 取到的 2 个数之和为偶数 事件 B 取到的 2 个数均为偶数 则P B A A B 1 8 1 4 C D 2 5 1 2 解析 选 B P A P A B C2 3 C2 2 C2 5 4 10 2 5 C2 2 C2 5 1 10 由条件概率计算公式 得P B A P A B P A 1 10 4 10 1 4 5 将一枚硬币连掷 5 次 如果出现k次正面向上的概率等于出现k 1 次正面向上的 概率 那么k的值为 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 选 C 由 C k5 k Ck 1 5 k 1 即 C C 故k k 1 k5 1 2 1 2 k 15 1 2 1 5 k5k 15 5 即k 2 6 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同 且在两次罚球中至多命中一次的概率 为 则该队员每次罚球的命中率为 16 25 A B 3 5 1 5 C D 4 5 2 5 解析 选 A 设该队员每次罚球的命中率为p 其中 0 p 1 则依题意有 1 p2 p2 又 0 p 1 因此有p 16 25 9 25 3 5 二 填空题 本大题共 3 小题 每小题 5 分 共 15 分 7 有一批种子的发芽率为 0 9 出芽后的幼苗成活率为 0 8 在这批种子中 随机抽 取一粒 则这粒种子能成长为幼苗的概率为 解析 设种子发芽为事件A 种子成长为幼苗为事件B 发芽 又成活为幼苗 出芽后的 幼苗成活率为 P B A 0 8 P A 0 9 根据条件概率公式P AB P B A P A 0 9 0 8 0 72 即这粒种子能成长为幼苗的概率为 0 72 答案 0 72 8 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18 19 20 层停靠 若该电梯在底层载 有 5 位乘客 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 用 表示这 5 位乘客在 1 3 第 20 层下电梯的人数 则P 4 解析 考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验 这是 5 次独立重复试验 故 B 即有P k C k 5 k k 0 1 2 3 4 5 5 1 3 k5 1 3 2 3 故P 4 C 4 1 4 5 1 3 2 3 10 243 答案 10 243 9 有一批书共 100 本 其中文科书 40 本 理科书 60 本 按装潢可分精装 平装两种 精装书 70 本 某人从这 100 本书中任取一书 恰是文科书 放回后再任取 1 本 恰是精装 书 这一事件的概率是 解析 设 任取一书是文科书 的事件为A 任取一书是精装书 的事件为B 则 A B是相互独立的事件 所求概率为P AB 据题意可知P A P B 40 100 2 5 70 100 7 10 故P AB P A P B 2 5 7 10 7 25 答案 7 25 三 解答题 本大题共 3 小题 每小题 12 分 共 36 分 10 在一次数学考试中 第 21 题和第 22 题为选做题 规定每位考生必须且只须在其 中选做一题 设 4 名考生选做每一道题的概率均为 1 2 1 求其中甲 乙两名学生选做同一道题的概率 2 设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 求 的概率分布 解 1 设事件A表示 甲选做第 21 题 事件B表示 乙选做第 21 题 则甲 乙两 名学生选做同一道题的事件为 AB 且事件A B相互独立 A B 故P AB P A P B P P A BAB 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 随机变量 的可能取值为 0 1 2 3 4 且 B 4 1 2 则P k C k4 k C4 k 0 1 2 3 4 k4 1 2 1 1 2 k4 1 2 故变量 的分布列为 01234 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 11 下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 单位 吨 的频率分布直方 图 1 求直方图中x的值 2 若将频率视为概率 从这个城市随机抽取 3 位居民 看作有放回的抽样 求月均用 水量在 3 至 4 吨的居民数X的分布列 解 1 依题意及频率分布直方图知 0 02 0 1 x 0 37 0 39 1 解得x 0 12 2 由题意知 X B 3 0 1 因此P X 0 C 0 93 0 729 0 3 P X 1 C 0 1 0 92 0 243 1 3 P X 2 C 0 12 0 9 0 027 2 3 P X 3 C 0 13 0 001 3 3 故随机变量X的分布列为 X0123 P0 7290 2430 0270 001 12 石头 剪刀 布 是一种广泛流传于我国民间的古老游戏 其规则是 用三种不 同的手势分别表示石头 剪刀 布 两个玩家同时出示各自手势 1 次记为 1 次游戏 石头 胜 剪刀 剪刀 胜 布 布 胜 石头 双方出示的手势相同时 不分胜负 现假 设玩家甲 乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的 1 求出在 1 次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率 2 若玩家甲 乙双方共进行了 3 次游戏 其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量 X 求X的分布列 解 1 玩家甲 乙双方在 1 次游戏中出示手势的所有可能结果是 石头 石头 石头 剪刀 石头 布 剪刀 石头 剪刀 剪刀 剪刀 布 布 石头 布 剪刀 布 布 共有 9 个基本事件 玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是 石头 剪