专题限实规范训练1

1 专题一专题一 集合 常用逻辑用语 函数与导数 不等式集合 常用逻辑用语 函数与导数 不等式 时间 120 分钟 满分 160 分 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 1 若全集 U R A x x2 2x 0 B x y ln x 1 则图中的阴影部分表示的集合是 用区间表示 2 2010 湖南 已知集合 A 1 2 3 B 2 m 4 A B 2 3 则 m 3 若关于 x 的不等式 x2 2x mx 的解集是 x 0 x 2 则实数 m 的值是 1 2 4 若 f x 是偶函数 且当 x 0 时 f x x 1 则不等式 f x2 1 2 n x0 y 0 x 2y 2xy 8 则 x 2y 的最小值是 10 设函数 f x x3 3x x R 若 f msin f 1 m 0 0 恒成立 则实数 m 的取值 2 范围是 11 2010 浙江 若正实数 x y 满足 2x y 6 xy 则 xy 的最小值是 12 已知 g x 1 2x f g x x 0 那么 f 的值为 1 x2 x2 1 2 13 已知函数 f x kx3 3 k 1 x2 k2 1 k 0 的单调减区间是 0 4 则 k 的值是 14 函数 f x 的定义域为 D 若满足 f x 在 D 内是单调函数 存在 a b D 使 f x 在 a b 上的值域为 a b 那么 y f x 叫做闭函数 现有 f x k 是闭函数 那 x 2 么 k 的取值范围是 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 15 14 分 设集合 A 为函数 y ln x2 2x 8 的定义域 集合 B 为函数 y x 的值域 1 x 1 2 集合 C 为不等式 ax x 4 0 的解集 1 a 1 求 A B 2 若 C RA 求 a 的取值范围 16 14 分 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y 升 关于行驶速度 x 千 米 小时 的函数解析式可以表示为 y x3 x 8 00 求 a 的取值范围 19 16 分 已知函数 f x x2 8ln x g x x2 14x 1 求函数 f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若函数 f x 与 g x 在区间 a a 1 上均为增函数 求 a 的取值范围 3 若方程 f x g x m 有唯一解 试求实数 m 的值 20 16 分 已知 f x ln x 1 g x ax2 bx 1 2 1 若 b 2 且 h x f x 1 g x 存在单调递减区间 求 a 的取值范围 2 若 a 0 b 1 时 求证 f x g x 0 对于 x 1 成立 3 利用 2 的结论证明 若 0 x x y ln x y 2 答案答案 1 0 1 2 2 3 3 1 4 0 0 5 m n 6 9 7 9 8 0 9 4 22 10 m 1 11 18 12 15 13 14 0 解得 A 4 2 又 y x x 1 1 1 x 1 1 x 1 所以 B 3 1 所以 A B 4 3 1 2 2 因为 RA 4 2 由 ax x 4 0 知 a 0 1 a 当 a 0 时 由 x x 4 0 得 C 4 1 a2 1 a2 不满足 C RA 当 a 0 时 由 x x 4 0 得 C 4 欲使 C RA 则 1 a2 1 a2 1 a2 2 解得 a 0 或 0 a 2 2 2 2 又 a 0 所以 a 0 2 2 综上所述 所求 a 的取值范围是 0 2 2 16 解 1 当 x 40 时 汽车从甲地到乙地行驶了 2 5 小时 要耗油 100 40 2 5 17 5 升 1 128 000 403 3 80 40 8 答 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油 17 5 升 2 当速度为 x 千米 小时时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 设耗油量为 h x 升 依 100 x 题意得 h x 1 128 000 x3 3 80 x 8 100 x x2 0 x 120 1 1 280 800 x 15 4 h x 0 x 120 x 640 800 x2 x3 803 640 x2 令 h x 0 得 x 80 当 x 0 80 时 h x 0 h x 是增函数 当 x 80 时 h x 取到极小值 h 80 11 25 升 因为 h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 答 当汽车以 80 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为 11 25 升 17 解 1 f x g x x2 ax b 2 4 分别是 f x x2 ax b 0 的两实根 a 2 4 2 b 2 4 8 f x x2 2x 8 2 g x 在区间 1 3 上是单调递减函数 g x 0 即 f x x2 ax b 0 在 1 3 上恒成立 Error 即Error A 点坐标为 2 3 a2 b2的最小值为 13 18 解 1 由题意知 f x x3 2x2 4 f x 3x2 4x 令 f x 0 得 x 0 或 4 3 当 x 在 1 1 上变化时 f x f x 随 x 的变化情况如下表 x 1 1 0 0 0 1 1 f x 0 f x 1 4 3 对于 m 1 1 f m 的最小值为 f 0 4 f x 3x2 4x 的对称轴为 x 2 3 且抛物线开口向下 对于 n 1 1 f n 的最小值为 f 1 7 f m f n 的最小值为 11 2 f x 3x x 2a 3 若 a 0 当 x 0 时 f x 0 时 f x 0 使 f x0 0 若 a 0 则当 0 x0 2a 3 当 x 时 f x 0 即 a3 27 解得 a 3 4a3 27 综上 a 的取值范围是 3 19 解 1 因为 f x 2x 8 x 所以切线的斜率 k f 1 6 又 f 1 1 故所求的切线方程为 y 1 6 x 1 即 y 6x 7 2 因为 f x 2 x 2 x 2 x 又 x 0 所以当 x 2 时 f x 0 当 0 x 2 时 f x 0 时原方程有唯一解 所以函数 y h x 与 y m 的图象在 y 轴右侧有唯一的交 点 又 h x 4x 14 且 x 0 8 x 2 x 4 2x 1 x 所以当 x 4 时 h x 0 当 0 x 4 时 h x 0 时原方程有唯一解的充要条件是 m h 4 16ln 2 24 20 1 解 b 2 时 h x ln x ax2 2x 1 2 h x ax 2 1 x ax2 2x 1 x h x 有单调递减区间 h x 0 有解 即0 ax2 2x 1 0 有解 当 a 0 时 符合题意 当 a0 即 a 1 并且方程 ax2 2x 1 0 至少有一个正根 此时 1 a 1 x 1 0 令 x 0 得