万有引力练习题

1 万有引力练习题万有引力练习题 1 如图 1 所示 质量为 半径为的匀质薄球壳内任意一点处有一点质量MRP 以为顶点作两对顶的很小的小圆锥 它们在球壳面上分别截得很小的面积元 mP 1 A 试证 1 两小面积元 的质量元对点处点质量所施引力之和为零 2 A 1 A 2 A Pm 2 整个球壳对壳内任意一点处的质点的合引力为零 牛顿方法 3 求匀质球体 质量为 半径为 对球内离球心 处的点质量MRrrR 的引力大小 m 2 粗细忽略 质量分布均匀 半径分别为与的两圆环相切 若在切点处放一质点Rr 恰使其两边圆环对的万有引力的合力为零 问大小圆环的线密度须满足什么条件 mm 3 学者研究新发现的行星 它是半径 6400km 的球体 整个表面都被海洋覆盖 R 海水 普通的水 深 10km 测定出 在海洋中不同深度的地方 自由落体加速度在很H 大程度上仍然不变 试根据这些数据确定行星上自由落体加速度 万有引力恒量 N m2 km2 11 1067 6 G 4 在宇宙中某处 设有一个质量为的小物体沿着一个很大的光滑金属实心球表面m 作匀速圆周运动 圆半径跟金属球半径相等 金属密度kg m 3 星体对它R 3 108 的引力作用可以不计时 求这小物体在金属球的大圆上绕行一周所需的最短时间 最小周 期 5 某行星围绕太阳沿椭圆轨道运行 它的近日点离开太阳的距离为 行星经过Aa 近日点时的速度为 行星的远日点离开太阳的距离为 求它经过远日点时速度的大 A vBb 小 6 设地球质量分布均匀 问一个物体下降到距离地球表面深度为多少时 其重力加h 速度为地面上重力加速度的 25 7 某行星一昼夜时间 6h 若弹簧秤在其 赤道 上比在 两极处 测同一物体的T 重量时读数小 10 设想该行星自转角速度加快到某一值时 在赤道上的物体会自动飘起 来 这时的自转周期多大 8 在地面上重量为 16N 的物体 在以 为地面处的重力加速度 的加速度 2 g a g 上升的飞船内视重为 9N 已知地球半径为 问这时飞船离地面多高 R 9 采用不同方法来估计银河系质量得出不同结果 例如 按照目测估计 在到银河系 P R 图 图 1 2 中心距离 是地球轨道半径 范围内聚集质量 0 9 103RR 0 R 是太阳质量 同时离银河系中心距离处有一颗星体运转周期 0 11 1 105 1MM 0 MR 为年 试求银河系 暗含着的质量 即半径为的球体内部未被发现的天 8 1075 3 TR 体的质量 在计算星体运动时可以认为银河系质量聚集在其中心 10 已知火星上大气压是地球的 1 200 火星直径约为地球的一半 地球平均密度 km m3 火星平均密度km m3 试求火星上大气质量与地球大 3 105 5 地 R 3 104 火 R 气质量之比 11 卫星沿圆形轨道运行探测某行星 对它拍照 卫星运转周期为 行星的密度为T 试问行星的表面还有多大部分尚未拍摄到 12 宇航员在某一行星的极地上着陆时 发现当地重力是地球上重力的 0 01 倍 而一 昼夜的时间与地球上相同 研究此行星中还发觉 物体在它的赤道上失去重量 求这颗行 星的半径 R 13 大家知道 由于行星的自转 在赤道处重力比两极小 试问在行星极地表面上空 多高处其重力同赤道面上重力相等 可以认为行星是半径为的球体 行星绕轴旋转的hR 周期为 行星的平均密度为 T 14 已知太阳光从太阳射到地球需 8 分 20 秒 地球公转轨道可近似看成圆轨道 地球 半径约为m 试估算太阳质量与地球质量之比 为多少 6 104 6 MmMm 15 如图 2 所示 半径为 质量密度为的球形体内有一半径为 1 R 的球形空腔 腔心与球心的距离为 求 1 在 2 R 2 R 1 R 2 O 1 O 21O Od 延长线上距球表面为的点的引力加速度 对单位质量的引力 或称引力强度 21O OxPa 2 在球形空腔内任一点的引力场强度 Q 16 经长期观测 人们在宇宙中已经发现了很多双星系统 双星系统由两颗星体构成 其中每个星体的线度远小于星体之间的距离 而且双星系统一般远离其它星体 可以近似 1 R 2 R d x P 2 O 1 O 图 图 2 3 当做孤立系统 根据观测 已知该双星系统中每个星体的质量都是 两者相距 共ML 同绕着两者连线的中点作圆周运动 1 试计算该双星系统的运动周期 2 若 计算 T 实验上观测到的运动周期为 且 1 其中 1 为了解释 观测 T 观测 T 计算 TNN 与的不同 目前有一种理论认为 在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物 观测 T 计算 T 质 作为简化模型 假定在这两颗星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质 而不 考虑其他暗物质的影响 试根据这一模型和上述观测结果确定这种暗物质的密度 17 卫星与地球附近的赤道平面内作半径相同的圆周运动 运动方向或者顺地球 自转方向 或者与之相反 在地球参照系中 求卫星在第二种情况下的动能与第一种 情况下的动能的比值 18 试求出行星绕太阳运行的椭圆轨道的周期平方与半长轴立方间的比例常数 19 如图 3 所示 从地球表面与竖直方向成角的方向 发射一质量为的导弹 m 初速 为地球质量 为地球半径 忽略空气阻力和地球自转的影响 求 R GM v 0 MR 导弹上升的最大高度 20 设地球半径为 一物体从距地面的距离为处无初速释放 求落在地面所需要RR 的时间 不计其他星球对物体的作用 21 火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射 返回时落在离发射场不远处 试估 计火箭飞行的时间 地球半径km 6400 地 R 22 两个质量均为的物体 由轻质硬杆相连 形如一个 哑铃 围绕一个质量为m 的天体旋转 如图 4 所示 两物体和天体质心在一条直线上 两物体分别以和M 1 r 为半径绕作圆周运动 两物体成为了的卫星 求此卫星的运转周期 2 rMM M 2 r 1 r m m A B 图 图 4 0 R R B A 图 图 5 R 0 v 图 图 3 4 23 飞船沿半径为的圆周绕地球运动 其周期为 如果飞船要返回地面 可在轨道RT 上某一点处将速率降低到适当数值 从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动 椭A 圆与地球表面在点相切 如图 5 所示 求飞船由点到点所需的时间 已知地球BAB 半径为 0 R 24 如图 6 所示 质量kg 的飞船在离月球表面高为 100km 处绕 4 1020 1 mh 月作圆周运动 飞船采用两种方式登月 1 在点向前短时间喷气 使飞船与月球相A 切地到达点 通过月心 2 在点外侧沿月球半径短时间喷气 使飞船与月BABOA 球相切地到达点点 设喷气相对飞船的速度m s 已知月球CABCO 4 1000 1 v 半径km 月球重力加速度 可作为常量 为 1 700 m s2 试求两种登月方式1700 Rg 所需的燃料质量 25 太阳系中小星体作半径为的圆运动 小星体作抛物线运动 在近日点A 1 RBB 处与太阳相距 2 且两轨道在同一平面上 运动方向相同 设运动至近日点时 2 R 1 RB 恰好运动至图 7 所示位置 随即发生某种强烈的相互作用而迅速合为一个星AAB 体 其间质量损失可忽略 试判断新星体绕太阳运动轨道为何种曲线 26 卫星沿圆周轨道绕地球运行 轨道半径 3 6400km 由于制动装置短R 地 R 地 R 时间作用 卫星的速度减慢 使它开始沿着与地球表面相切的椭圆轨道运动 如图 8 所 示 问制动后经过多少时间卫星落回到地球上 O h C B A R 图 图 6 日 2 R B A 1 R 图 图 7 图 图 8 5 27 根据 火星 2 自动站运行轨道的参数 离火星表面最远处 远点 25000km 最近距离 近点 1380km 转动周期 18 小时 火星半径abT 3400km 千米 地球半径 6400km 地球表面处自由落体加速度 10m s2 求火 火 R 地 Rg 星质量与地球质量之比 28 边长为的等边三角形三顶角处有三个星体 质量分别为 它们之L 1 m 2 m 3 m 间以万有引力相互作用而运动 设运动中始终保持原等边三角形大小不变 就以下两种情 况 求出为保持三颗星相对位形不变的转动运动的周期 用引力常数 距离和质量表GL 示 1 2 互不相等 1 m 2 m 3 mm 1 m 2 m 3 m 29 一颗陨石在飞向质量为的行星的途中 沿着通过行星中心的直线 碰到绕此M 行星沿半径为的圆周轨道运转的自动宇宙站 站的质量为陨石质量的 10 倍 碰撞的结R 果陨石陷入站内 宇宙站过渡到与行星最近距离为 2 的新轨道上 求碰撞前陨石的速度R u 30 一双星系统 两颗星的质量分别为和 设 距离为 在引力作MmMmd 用下绕不动质点作圆周运动 设这两颗星近似为质点 在超新星爆炸中 质量为的星体M 损失质量 假设爆炸是瞬时的 球对称的 并且对残余体不施加任何作用力 或作用M 力抵消 对另一颗星也无直接作用 试求 在什么条件下 余下的新的双星系统仍被约束 而不相互远离 31 从地球表面向火星发射火星探测器 设地球和火星都在同一平面上绕太阳作圆周 运动 火星轨道半径为地球轨道半径的 1 500 倍 简单而又比较节省能量的发射过 m R 0 R 程可分为两步进行 第一步 在地球表面用火箭对探测器进行加速 使之获得足够的动能 从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运行的人造卫星 第二步是在适当时刻点燃与 探测器连在一起的火箭发动机 在短时间内对探测器沿原方向加速 使其速度数值增加到 适当值 从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆 轨道射到火星上 如图 9 所示 问 1 为使探测器成为沿地球轨道运行的人造卫星 必须加速探测器 使之在地面附近获得多大的速度 相对于地球 2 当探测器脱离地 球并沿着地球公转轨道稳定运行后 在某年 3 月 1 日零时测得探测器与火星之间的角距离 为 如图 10 所示 问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器 60 恰好落在火星表面 时间计算仅需精确到日 已知地球半径m 重力加速 6 104 6 e R 度可取 9 8m s2 g 火 星 探 测 器 太阳 图 图 9 地球 60 火星 探 测 器 太阳 图 图 10 6 32 假设宇宙空间中远离其它星体有两质点和 它们的质量分别为和 开ABmM 始时 和相距为 相对于某惯性系 静止 以初速沿连线方向运动 AB 0 lAB 0 vAB 为维持的速度不变 应对施加一个沿着其运动方向的外力 如图 11 所示 1 BBF 试求当 间距最大时 外力的值 2 计算从开始起到距离最大时 变力ABFAB 做的功 F 33 用恰好足以摆脱太阳引力场的速度 在离开太阳的径向轨道上 从地球发射一航 天器 由时间控制以使航天器在木星后面一距离穿越木星轨道 因航天器跟木星引力场有 作用而偏转 即作用后的速度切于木