2011高三数学一轮热身AB组 4《函数的应用》

用心 爱心 专心 1 第四章第四章 函数的应用函数的应用 A A 组组 1 已知函数 f x Error 则函数 f x 的零点个数为 解析 只要画出分段函数的图象 就可以知道图象与 x 轴有三个交点 即函数的零点有 3 个 答案 3 2 根据表格中的数据 可以判定方程 ex x 2 0 的一个根所在的区间为 x 10123 ex0 3712 727 3920 09 x 2 12345 解析 据题意令 f x ex x 2 由于 f 1 e1 1 2 2 72 30 故函数在区间 1 2 内存在零点 即方程在相应区间内有根 答案 1 2 3 偶函数 f x 在区间 0 a a 0 上是单调函数 且 f 0 f a 0 上是单调函数 且 f 0 f a 1 时 g x 有 2 个零点 a 的最小值为 1 答案 1 6 2009 年高考上海卷 有时可用函数 f x Error 描述学习某学科知识的掌握程度 其中 x 表示某学科知识的学习次数 x N f x 表示 对该学科知识的掌握程度 正实数 a 与学科知识有关 1 证明 当 x 7 时 掌握程度的增长量 f x 1 f x 总是下降 2 根据经验 学科甲 乙 丙对应的 a 的取值区间分别为 115 121 121 127 127 133 当学习某学科知识 6 次时 掌握程度是 85 请确定相应的学科 解 1 证明 当 x 7 时 f x 1 f x 而当 x 7 时 函数 y x 3 x 4 0 4 x 3 x 4 单调递增 且 x 3 x 4 0 故 f x 1 f x 单调递减 当 x 7 掌握程度的增长量 f x 1 f x 总是下降 2 由题意可知 0 1 15ln 0 85 整理得 e0 05 a a 6 a a 6 解得 a 6 20 50 6 123 0 123 0 121 127 e0 05 e0 05 1 由此可知 该学科是乙学科 B 组组 1 2010 年浙江温州质检 某学校开展研究性学习活动 一组同学获得了下面的一组试验数据 x1 99345 16 12 y1 54 047 51218 01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律 其中最接近的一个是 y 2x 2 y x y log2x y x2 1 1 2 1 2 解析 代入点 2 1 5 3 4 检验 答案 2 2010 年安徽省江南十校模拟 函数 f x 2x x 7 的零点所在的区间是 用心 爱心 专心 3 0 1 1 2 2 3 3 4 解析 因为 f 0 6 0 f 1 2 1 7 4 0 f 2 22 2 7 10 所以函数的零点在区间 2 3 内 答案 3 已知函数 f x x log2x 则 f x 在 2 内的零点的个数是 1 2 解析 易知 g x x 与 h x log2x 均为增函数 故函数 f x 为增函数 且 f 2 f 0 故函 1 2 数有且只有一个零点 答案 1 4 2010 年珠海质检 某种细胞在培养过程中正常情况下 时刻 t 单位 分钟 与细胞数 n 单 位 个 的部分数据如下 t02060140 n128128 根据表中数据 推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t 最接近于 分钟 解析 由表格中所给数据可以得出 n 与 t 的函数关系为 n 2 令 n 1000 得 t 20 2 1000 又 210 1024 所以时刻 t 最接近 200 分钟 答案 200 t 20 5 某化工厂打算投入一条新的生产线 但需要经环保部门审批同意方可投入生产 已知该 生产线连续生产 n 年的累计产量为 f n n n 1 2n 1 吨 但如果年产量超过 150 吨 将 1 2 会给环境造成危害 为保护环境 环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年 解析 由题知第一年产量为 a1 1 2 3 3 以后各年产量分别为 an f n f n 1 1 2 n n 1 2n 1 n n 1 2n 1 3n2 n N 令 3n2 150 得 1 n 5 1 n 7 故 1 2 1 22 生产期限最长为 7 年 答案 7 6 2010 年苏 锡 常 镇四市调研 某市出租车收费标准如下 起步价为 8 元 起步里程为 3 km 不超过 3 km 按起步价付费 超过 3 km 但不超过 8 km 时 超过部分按每千米 2 15 元收费 超过 8 km 时 超过部分按每千米 2 85 元收费 另每次 乘坐需付燃油附加费 1 元 现某人乘坐一次出租车付费 22 6 元 则此次出租车行驶了 km 解析 设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f x 元 由题意可得 f x 8 2 85 8 2 15 5 9 3 8 2 15 3 9 0 3 1 8 xx xx x 令 f x 22 6 解得 x 9 答案 9 7 2010 年绍兴第一次质检 一位设计师在边长为 3 的正方形 ABCD 中设计图案 他分别以 用心 爱心 专心 4 A B C D 为圆心 以 b 0 b 为半径画圆 由正方形 3 2 内的圆弧 与正方形边上线段 圆弧端点在正方形边上的连线 构成了丰富多彩的 图形 则这些图形中实线部分总长度的最小值为 解析 由 题意实线 部分的总长度为 l 4 3 2b 2 b 2 8 b 12 l 关于 b 的一次函数的一次项系数 2 8 0 故 l 关于 b 的函数单调递减 因此 当 b 取最大值时 l 取得最小值 结合图形知 b 的最大值为 代入上式得 l最小 2 8 12 3 答案 3 3 2 3 2 8 在不考虑空气阻力的情况下 火箭的最大速度 v m s 和燃料的质量 M kg 火箭 除燃料外 的质量 m kg 的函数关系是 v 2000 ln 1 M m 当燃料质量是火箭质量的 倍时 火 箭的最大速度可达 12 km s 解析 由题意得 2000ln 1 12000 e6 1 答案 e6 1 M m M m 9 2010 年浙江省宁波市十校高三联考 定义域为 R 的函数 f x Error 若关于 x 的函数 h x f2 x bf x 有 5 个不同的零点 x1 x2 x3 x4 x5 则 x12 x22 x32 x42 x52等于 1 2 解析 假设关于 t 的方程 t2 bt 0 不存在 t 1 的根 则使 h x 0 的 f x 的值也不为 1 2 1 而显然方程 f x k 且 k 1 的根最多有两个 而 h x 是关于 f x 的二次函数 因此方程 h x 0 的零点最多有四个 与已知矛盾 可见 t 1 时 t2 bt 0 即得 b 所以 h x f 2 x 1 2 3 2 f x f x 1 2f x 1 而方程 f x 1 0 的解为 x 0 1 2 方程 2f x 1 0 的解为 3 2 1 2 1 2 x 1 3 由此可见五根分别为 1 0 1 2 3 因此直接计算得上述五数的平方和为 15 答案 15 10 2010 年黑龙江哈尔滨模拟 某商场在促销期间规定 商场内所有商品按标价的 80 出 售 同时 当顾客在该商场内消费满一定金额后 按如下方案获得相应金额的奖券 消费金额 元 的范围 200 400 400 500 500 700 700 900 获得奖券的金额 元 3060100130 根据上述促销方法 顾客在该商场购物可以获得双重优惠 例如 购买标价为 400 元的 商品 则消费金额为 320 元 获得的优惠额为 400 0 2 30 110 元 设购买商品的优惠 率 试问 购买商品获得的优惠额 商品的标价 1 购买一件标价为 1000 元的商品 顾客得到的优惠率是多少 用心 爱心 专心 5 2 对于标价在 500 800 元 的商品 顾客购买标价为多少元的商品时 可得到不小于 的 1 3 优惠率 解 1 即顾客得到的优惠率是 1000 0 2 130 1000 33 100 33 100 2 设商品的标价为 x 元 则 500 x 800 则消费金额满足 400 0 8x 640 当 400 0 8x 500 即 500 x 625 时 由 解得 x 450 不合题意 当 0 2x 60 x 1 3 500 0 8x 640 即 625 x 800 时 由 解得 625 x 725 0 2x 100 x 1 3 因此 当顾客购买标价在 625 725 元 内的商品时 可得到不小于 的优惠率 1 3 11 已知某企业原有员工 2000 人 每人每年可为企业创利润 3 5 万元 为应对国际金融危机 给企业带来的不利影响 该企业实施 优化重组 分流增效 的策略 分流出一部分员工待 岗 为维护生产稳定 该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5 并且每年给每位待岗员 工发放生活补贴 0 5 万元 据评估 若待岗员工人数为 x 则留岗员工每人每年可为企业多创 利润 1 万元 为使企业年利润最大 应安排多少员工待岗 81 100 x 解 设重组后 该企业年利润为 y 万元 依题意得 y 2000 x 3 5 1 0 5x 5 x 9000 81 81 100 x 324 x y 5 x 9000 81 0 x 100 且 x N 324 x y 5 x 9000 81 5 2 9000 81 8820 81 324 x324 当且仅当 x 即 x 18 时取等号 此时 y 取得最大值 324 x 即为使企业年利润最大 应安排 18 人待岗 12 2010 年扬州调研 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元 辆 出 厂价为 13 万元 辆 年销售量为 5000 辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品档次 适当 增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为 x 0 x 1 则出厂价相应提高的比例为 0 7x 年销售量也相应增加 已知年利润 每辆车的出厂价 每辆车的投入成本 年销售 量 1 若年销售量增加的比例为 0 4x 为使本年度的年利润比上年度有所增加 则投入成本 增加的比例 x 应在什么范围内 2 若年销售量 T 关于 x 的函数为 T 3240 x2 2x 则当 x 为何值时 本年度的年 5 3 利润最大 最大利润为多少 解 1 由题意得 上年度的利润为 13 10 5000 15000 万元 本年度每辆车的投入成本为 10 1 x 万元 用心 爱心 专心 6 本年度每辆车的出厂价为 13 1 0 7x 万元 本年度年销售量为 5000 1 0 4x 辆 因此本年度的利润为 y