1986年全国统一高考数学试卷(理科)

1986 年全国统一高考数学试卷 理科 一 选择题 共 10 小题 每小题 3 分 满分 30 分 1 3 分 在下列各数中 已表示成三角形式的复数是 A B C D 2 3 分 函数 y 0 2 x 1 的反函数是 A y log5x 1B y logx5 1C y log5 x 1 D y log5x 1 3 3 分 极坐标方程表示 A 一条平行于 x 轴的直线 B 一条垂直于 x 轴的直线 C 一个圆D 一条抛物线 4 3 分 函数是 A 周期为的 奇函数 B 周期为的 偶函数 C 周期为的 奇函数 D 周期为的 偶函数 5 3 分 给出 20 个数 87 91 94 88 93 91 89 87 92 86 90 92 88 90 91 86 89 92 95 88 它们的和 是 A 1789B 1799C 1879D 1899 6 3 分 2004 重庆 已知 p 是 r 的充分不必要条件 s 是 r 的必要条件 q 是 s 的必要条件 那 么 p 是 q 成立的 A 充分不必要 条件 B 必要不充分 条件 C 充要条件D 既不充分也 不必要条件 7 3 分 如果方程 x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 所表示的曲线关于直线 y x 对称 那么必有 A D EB D FC E FD D E F 8 3 分 在正方形 SG1G2G3中 E F 分别是 G1G2及 G2G3的中点 D 是 EF 的中点 现在沿 SE SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体 使 G1 G2 G3三点重合 重合后的点记为 G 那么 在四面体 S EFG 中必有 A SG EFG 所 在平面 B SD EFG 所 在平面 C GF SEF 所 在平面 D GD SEF 所 在平面 9 3 分 在下列各图中 y ax2 bx 与 y ax b ab 0 的图象只可能是 A B C D 10 3 分 当 x 1 0 时 在下面关系式中正确的是 A B C D 二 解答题 共 13 小题 满分 90 分 11 4 分 求方程的解 12 4 分 已知的值 13 4 分 在 xoy 平面上 四边形 ABCD 的四个顶点坐标依次为 0 0 1 0 2 1 及 0 3 求这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体的体积 14 4 分 求 15 4 分 求展开式中的常数项 16 4 分 已知的值 17 10 分 如图 AB 是圆 O 的直径 PA 垂直于圆 O 所在的平面 C 是圆周上不同于 A B 的任 一点 求证 平面 PAC 垂直于平面 PBC 18 12 分 当 sin2x 0 求不等式 log0 5 x2 2x 15 log0 5 x 13 的解集 19 10 分 如图 在平面直角坐标系中 在 y 轴的正半轴 坐标原点除外 上给定两点 A B 试 在 x 轴的正半轴 坐标原点除外 上求点 C 使 ACB 取得最大值 20 10 分 已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素 A B 含有 4 个元素 试求同时满足下面两个 条件的集合 C 的个数 1 C A B 且 C 中含有 3 个元素 2 C A 表示空集 21 12 分 过点 M 1 0 的直线 L1与抛物线 y2 4x 交于 P1 P2两点记 线段 P1P2的中点为 P 过点 P 和这个抛物线的焦点 F 的直线为 L2 L1的斜率为 k 试把直线 L2的斜率与直线 L1的斜率之比 表示为 k 的函数 并指出这个函数的定义域 单调区间 同时说明在每一单调区间上它是增函数还 是减函数 22 12 分 已知 x1 0 x1 1 且 n 1 2 试证 数列 xn 或者对任意 自然数 n 都满足 xn xn 1 或者对任意自然数 n 都满足 xn xn 1 23 附加题 1 求 y xarctgx2的导数 2 求过点 1 0 并与曲线相切的直线方程 1986 年全国统一高考数学试卷 理科 参考答案与试题解析 一 选择题 共 10 小题 每小题 3 分 满分 30 分 1 3 分 在下列各数中 已表示成三角形式的复数是 A B C D 考点 复数的基本概念 分析 复数的三角形式是 r cos isin 观察所给的四种形式 只有一种形式符合要求 注意式子 中各个位置的符号 可得结果 解答 解 Z r cos isin Z 2 cos isin 故选 B 点评 复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式 注意两种形式的标准形式 不要 在简单问题上犯错误 2 3 分 函数 y 0 2 x 1 的反函数是 A y log5x 1B y logx5 1C y log5 x 1 D y log5x 1 考点 反函数 专题 计算题 分析 本题考查的是指数式与对数式的互化及反函数的求法 利用指对互化得到反函数的解析式 y log5 x 1 即可选择答案 解答 解 根据指数式与对数式的互化 由 y 0 2 x 1 解得 x log5 y 1 x y 互换得 y log5 x 1 故选 C 点评 本题小巧灵活 很好的体现了指数是与对数式的互化 抓住选项特点 求出反函数的解析式 就可以判断出正确答案 不必求出反函数的定义域等 3 3 分 极坐标方程表示 A 一条平行于 x 轴的直线 B 一条垂直于 x 轴的直线 C 一个圆D 一条抛物线 考点 点的极坐标和直角坐标的互化 专题 选作题 转化思想 分析 首先由极坐标与直角坐标系的转换公式 把极坐标转化为直角坐标 系下的方程 然后再判断曲线所表示的图形 解答 解 由极坐标与直角坐标系的转换公式 可得到 X 即是一条垂直于 x 轴的直线 所以答案选择 B 点评 此题主要考查极坐标系与直角坐标系的转化 以及公式的应用 计 算量小题目较容易 4 3 分 函数是 A 周期为的 奇函数 B 周期为的 偶函数 C 周期为的 奇函数 D 周期为的 偶函数 考点 二倍角的正弦 分析 逆用二倍角的正弦公式 整理三角函数式 应用周期的公式求出周期 再判断奇偶性 这是 性质应用中的简单问题 解答 解 y sin2xcos2x sin4x T 2 4 原函数为奇函数 故选 A 点评 利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式 化简的标准 第一 尽量使函数种类最 少 次数最低 而且尽量化成积的形式 第二 能求出值的要求出值 第三 根号内的三角 函数式尽量开出 第四 尽量使分母不含三角函数 把函数化为 y Asin x 的形式再 解决三角函数性质有关问题 5 3 分 给出 20 个数 87 91 94 88 93 91 89 87 92 86 90 92 88 90 91 86 89 92 95 88 它们的和 是 A 1789B 1799C 1879D 1899 考点 收集数据的方法 专题 计算题 分析 本题要求求 20 个数字的和 数字个数较多 解题时要细心 不要漏掉数字或重复使用数字 解答 解 由题意知本题是一个求和问题 87 91 94 88 93 91 89 87 92 86 90 92 88 90 91 86 89 92 95 88 1799 故选 B 点评 本题是一个最基本的问题 考查的是数字的加法运算 这样的题目若出上 则是一个送分的 题目 6 3 分 2004 重庆 已知 p 是 r 的充分不必要条件 s 是 r 的必要条件 q 是 s 的必要条件 那 么 p 是 q 成立的 A 充分不必要 条件 B 必要不充分 条件 C 充要条件D 既不充分也 不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 压轴题 分析 由题设条件知 p r s q 但由于 r 推不出 p 所以 q 推不出 p 解答 解 依题意有 p r r s s q p r s q 但由于 r 推不出 p q 推不出 p 故选 A 点评 本题考查充分条件 必要条件 充要条件的判断 解题时要认真审题 注意公式的合理运 用 7 3 分 如果方程 x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 所表示的曲线关于直线 y x 对称 那么必有 A D EB D FC E FD D E F 考点 圆的一般方程 分析 圆关于直线 y x 对称 只需圆心坐标满足方程 y x 即可 解答 解 曲线关于直线 y x 对称 就是圆心坐标在直线 y x 上 圆的方程 x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 中 D E 故选 A 点评 本题考查圆的一般方程 对称问题 是基础题 8 3 分 在正方形 SG1G2G3中 E F 分别是 G1G2及 G2G3的中点 D 是 EF 的中点 现在沿 SE SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体 使 G1 G2 G3三点重合 重合后的点记为 G 那么 在四面体 S EFG 中必有 A SG EFG 所B SD EFG 所C GF SEF 所 D GD SEF 所 在平面 在平面 在平面 在平面 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 分析 根据题意 在折叠过程中 始终有 SG1 G1E SG3 G3F 即 SG GE SG GF 由线面垂直 的判定定理 易得 SG 平面 EFG 分析四个答案 即可给出正确的选择 解答 解 在折叠过程中 始终有 SG1 G1E SG3 G3F 即 SG GE SG GF 所以 SG 平面 EFG 故选 A 点评 线线垂直可由线面垂直的性质推得 直线和平面垂直 这条直线就垂直于平面内所有直线 这是寻找线线垂直的重要依据 垂直问题的证明 其一般规律是 由已知想性质 由求证想判 定 也就是说 根据已知条件去思考有关的性质定理 根据要求证的结论去思考有关的判定 定理 往往需要将分析与综合的思路结合起来 9 3 分 在下列各图中 y ax2 bx 与 y ax b ab 0 的图象只可能是 A B C D 考点 函数的图象与图象变化 专题 压轴题 数形结合 分析 要分析满足条件的 y ax2 bx 与 y ax b ab 0 的图象情况 我们可以使用排除法 由二次 项系数 a 与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系 可排除 A C 由二次函数常数 项 c 为 0 函数图象过原点 可排除 B 解答 解 在 A 中 由二次函数开口向上 故 a 0 故此时一次函数应为单调递增 故 A 不正确 在 B 中 由 y ax2 bx 则二次函数图象必过原点 故 B 也不正确 在 C 中 由二次函数开口向下 故 a 0 故此时一次函数应为单调递减 故 C 不正确 故选 D 点评 根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧 希望大家熟练掌握 10 3 分 当 x 1 0 时 在下面关系式中正确的是 A B C D 考点 反三角函数的运用 专题 压轴题 阅读型 分析 利用三角函数的运算法则 以及几何意义对选项一一验证 可求正确选项 解答 解 当 x 在 1 0 x 1 0 内变化时 由于 0 1 x2 1 每一个关系式的右端均为锐角 每一个关系式的左端均为两项 第一项均为 考查第二项 由于 arccos x 和 arcsin x 均为锐角 所以 arccos x 钝角 A 不正确 arcsin x 钝角 B 不正确 由于 arcsinx 为负锐角 所以 arcsinx D 不正确 故选 C 点评 本题考查反函数的运算 考查发现问题解决问题的能力 是中档题 二 解答题 共 13 小题 满分 90 分 11 4 分 求方程的解 考点 指数函数综合题 分析 将方程两侧化成以 5 为底数的指数式 由同底数的指数式相等必有指数相等即可解 解答 解 点评 本题主要考查解指数方程的问题 注意方程两侧可都化成同底数后再求解 12 4 分 已知的值 考点 复数代数形式的混合运算 分析 的值是 1 的一个立方虚根 2 1 0 是它的性质 解答 解 由 0 点评 本题考查复数代数形式的混合运算 是基础题 13 4 分 在 xoy 平面上 四边形 ABCD 的四个顶点坐标依次为 0 0 1 0 2 1 及 0 3 求这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体的体积 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 计算题 分析 画出图形 旋转后的几何体是一个圆台 去掉一个倒放的圆锥 求出圆台的体积 减去圆锥 的体积即可 解答 解 在 xoy 平面上 四边形 ABCD 的四个顶点坐标依次为 0 0 1 0 2 1 及 0 3 这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体是 底面半径为 3 高为 2 上底面半 径为 1 的圆台 去掉一个底面半径为 1 高为 1 的圆锥 所以几何体的体积是 故答案为 点评 本题是基础题 考查旋转体的体积 旋转体的图形特征 棱锥的体积 考查空间想象能力 计算能力 是常考题型 14 4 分 求 考点 极限及其运算 专题 计算题 分析 当 x 时 分子 分母都没有极限 不能直接运用上面的商的极限运算法则 本题中 可将 分子 分母都除以 3n 再利用商的极限运算法则进行计算 解答 解 原式 又 则原式 故答案是 点评 在求此类分式极限式时 注意到常用的技巧 分子分母同时除以 3n 即可完成极限计算 15 4 分 求展开式中的常数项 考点 二项式定理 专题 计算题 分析 利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第 r 1 项 令 x 的指数为 0 求出常数项 解答 解 展开式的通项 Tr 1 1 r25 rC5rx15 5r 令 15 5r 0 得 r 3 所以展开式的常数项为 22C53 40 点评 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题 16 4 分 已知的值 考点 同角三角函数基本关系的运用 分析 先对 sin cos 两边平方得到 sin cos 再由 sin3 cos3 sin cos sin2 sin cos cos2 可得答案 解答 解 sin cos sin cos sin3 cos3 sin cos sin2 sin cos cos2 1 点评 本题主要考查已知关于三角函数的等式求 3 次三角函数值的问题 这里要注意三角函数的变 形应用 17 10 分 如图 AB 是圆 O 的直径 PA 垂直于圆 O 所在的平面 C 是圆周上不同于 A B 的任 一点 求证 平面 PAC 垂直于平面 PBC 考点 平面与平面垂直的判定 专题 证明题 综合题 分析 要证明平面 PAC 垂直于平面 PBC 直线证明平面 PBC 内的直线 BC 垂直平面 PAC 内的两 条相交直线 PA AC 即可 解答 证明 连接 AC AB 是圆 O 的直径 ACB 90 即 BC AC 又 PA 圆 O 所在平面 且 BC 在这个平面内 PA BC 因此 BC 垂直于平面 PAC 中两条相交直线 BC 平面 PAC PBC 所在平面与 PAC 所在平面垂直 点评 本题考查直线与平面平行与垂直的判定 考查空间想象能力 逻辑思维能力 是基础题 18 12 分 当 sin2x 0 求不等式 log0 5 x2 2x 15 log0 5 x 13 的解集 考点 对数函数的单调性与特殊点 对数函数的定义域 一元二次不等式的解法 专题 计算题 分析 由 sin2x 0 得到 x 取值范围 再接对数不等式 又得到 x 取值范围 最后将得到的这 2 个范 围取交集即得原不等式的解集 解答 解 满足 sin2x 0 的 x 取值范围是 1 而由 log0 5 x2 2x 15 log0 5 x 13 得 解得 4 x 3 5 x 7 5 由 1 5 可知所求解集为 3 2 7 点评 本题考查对数函数的定义域 对数函数的单调性与特殊点 及一元二次不等式的解法 19 10 分 如图 在平面直角坐标系中 在 y 轴的正半轴 坐标原点除外 上给定两点 A B 试 在 x 轴的正半轴 坐标原点除外 上求点 C 使 ACB 取得最大值 考点 基本不等式在最值问题中的应用 两角和与差的正切函数 专题 计算题 函数思想 分析 首先题目给定 y 轴的正半轴上的两点 A B 求 x 轴的正半轴上点 C 使 ACB 取得最大 值 故可以设 A 的坐标为 0 a 点 B 的坐标为 0 b C 的坐标为 x 0 记 BCA OCB 然后根据三角形角的关系 求出 tan 的值再根据基本不等式求出其最 大值 因为在内 tan 是增函数 即所得的角为最大角 解答 解 设点 A 的坐标为 0 a 点 B 的坐标为 0 b 0 b a 又设所求点 C 的坐标为 x 0 记 BCA OCB 则 OCA 显然 现在有 tan tg 记 那么 当时 y 取得最小值 2 因此 当时 tan 取得最大值 因为在内 tan 是增函数 所以当时 ACB 取最大值 故所求点 C 的坐标为 0 故答案为 0 点评 此题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用 题中涉及到两角和与差的正切函数 有一 定的技巧性 属于中档题目 20 10 分 已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素 A B 含有 4 个元素 试求同时满足下面两个 条件的集合 C 的个数 1 C A B 且 C 中含有 3 个元素 2 C A 表示空集 考点 子集与交集 并集运算的转换 分析 集合韦恩图求出 A B 中元素的个数 再利用排列组合知识求解即可 解答 解 因为 A B 各含 12 个元素 A B 含有 4 个元素 因此 A B 元素的个数是 12 12 4 20 故满足题目条件 1 的集合的个数是 C203 在上面集合中 还满足 A C 的集合 C 的个数是 C83 因此 所求集合 C 的个数是 C203 C83 1084 点评 本题考查集合中元素的个数 子集个数以及排列组合知识 难度不大 21 12 分 过点 M 1 0 的直线 L1与抛物线 y2 4x 交于 P1 P2两点记 线段 P1P2的中点为 P 过点 P 和这个抛物线的焦点 F 的直线为 L2 L1的斜率为 k 试把直线 L2的斜率与直线 L1的斜率之比 表示为 k 的函数 并指出这个函数的定义域 单调区间 同时说明在每一单调区间上它是增函数还 是减函数 考点 抛物线的简单性质 专题 综合题 分析 先设直线 L1的方程是 y k x 1 然后与抛物线方程联立消去 y 得到两根之和 两根之积 将直线 L1与该抛物线有两个交点转化为 2k2 4 2 4k2 k2 0 且 k 0 进而可得到 k 的范围 设点 P 的坐标为 可以得到直线 L1 直线 L2的斜率 记 则可以得到 再由 可以得到 再分析单调性即可 解答 解 由已知条件可知 直线 L1的方程是 y k x 1 把 代入抛物线方程 y2 4x 整理后得到 k2x2 2k2 4 x k2 0 因此 直线 L1与该抛物线有两个交点的充要条件是 2k2 4 2 4k2 k2 0 及 k 0 解出 与 得到 k 1 0 0 1 现设点 P 的坐标为 则直线 L1的斜率 而直线 L2的斜率 记 则 今记 L1与抛物线的两个交点 P1与 P2的横坐标分别为 x1和 x2 由韦达定理及 得 由此得到 定义域是 1 0 0 1 显然 1 k2在 1 0 内递增 在 0 1 内递减 所以 在 0 1 内为增函数 在 1 0