华师大版八年级下19.3正方形与特殊的四边形综合题专训(二)

华师大版八年级下册 方形与特殊的四边形综合题专训 一、 正方形与平行四边形综合 试题、 如图， 正方形 次得点 E、 F、 G、 H，求证：四边形 【分析】 如图，连接 D通过证明 推知 D， 证四边形 理， F=G，所以 F， 四边形 【解答】 证明：如图，连接 D 四边形 P， P 又 80， 80 在 ， D， 又 同理， D， F， 四边形 同理， C= 又 F， 四边形 【点评】 本题考查了平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质证得 试题、 （ 2015春 江阴市期中）如图，在正方形 ，点 接 D 相交于点 G，连接 对角线 ， F， G （ 1）求证： （ 2）求 （ 3）若 ，则 2 【分析】 （ 1）利用平行四边形的判定及其性质定理即可解决问题； （ 2）作辅助线构造出一对全等三角形，利用等边三角形的判定及其性质即可解决问题； （ 3）借助 旋转变换将 过作辅助线求出 题即可解决 【解答】 解：（ 1） 四边形 又 F， 四边形 故 （ 2）连接 四边形 5， 5； 故 5， 5， F； F， G； 在 ， ， G； 又 G， G= 故 0 （ 3）延长 ，使 G；过点 K ； 0， 0 60=30； 在 ， C=4， 故 0， ， ， 【点评】 考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其应用问题；解题的关键是通过作辅助线构造出全等三角形，结合等边三角形的判定及其性质来解决问题；对综合运用能力及探究思维能力提出了较高的要求 试题、 （ 2013惠东县校级模拟）如图，四边形 正方形，点 E， C， ，点A 的延长线上，且 K= （ 1）求证： G； （ 2）尺规作图：以线段 求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； （ 3）连接（ 2）中的 想并写出四边形 证明你的猜想 【分析】 （ 1） 根据正方形性质求出 C， 0，根据全等三角形判定推出即可； 根据全等得出 出 0即可； （ 2）分别以 G、 弧交于 F，连接 （ 3）推出 K， 据平行四边形的判定推出即可 【解答】 （ 1） 证明： 四边形 C， 0， 在 G； 四边形 0， 0， （ 2）解：如图所示：； （ 3）四边形 证明： 四边形 B= 0， D， 在 K， B=90， 0， 0， 80 90=90， 四边形 F= 0= 四边形 【点评】 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，正方形性质的应用，主要考查学生的推理能力 试题、 （ 2015春天水期末）如图所示：在 别以 同侧作等边 边 边 （ 1）求证：四边形 （ 2）探究下列问题：（只填条件，不需证明） 当 50 条件时，四边形 当 0 条件时，以 D、 A、 E、 当 50且 C 条件时，四边形 【分析】 （ 1）由等边三角 形的性质得出 E=D=F= 0，求出 出 A=理C=可得出结论； （ 2） 求出 据矩形的判定得出即可； 证出 D、 A、 可得出结论； 由 得出四边形 由 C可得出结论【解答】 （ 1）证明： E=D=F= 0， 0 在 ， A= 同理： C= 四边形 （ 2）解： 当 A=150时，四边形 由如下： 0， 60 60 60 150=90， 四边形 四边形 故答案为： =150； 当 0时，以 D、 A、 E、 由如下： 0， 0， 点 D、 A、 以 D、 A、 E、 故答案为： 0； 当 50，且 C，四边形 由如下： 由 得：当 50时，四边形 当 （ 1）得： B=C= C， E， 四边形 四边形 四边形 故答案为： 50， C 【点评】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及正方形的判定；解此题的关键是求出 A=C=要考查了学生的推 理能力 试题、 （ 2011嘉兴）以四边形 B、 角顶点分别为 E、 F、 G、 H，顺次连接这四个点，得四边形 （ 1）如图 1，当四边形 们发现四边形 图 2，当四边形判断：四边形 要求证明）； （ 2）如图 3，当四边形 （ 0 90）， 试用含 的代数式表示 求证： G； 四边形 说明理由 【分析】 （ 1）根据等腰直角三角形的性质得到 E= F= G= H=90，求出四边形是矩形，根据勾股定理求出 D= C= F= E= 出G=H，根据正方形的判定推出四边形 （ 2） 根据平行四边形的性质得出， 80 ，根据 到 5，求出 根据 出 行四边形的性质得出 D，求出 0+a= 据 据全等三角形的性质即可得出 G； 与 证明过程类似求出 F， E，推出 F=E，得出菱形 出 0， 0，即可推出结论 【解答】 （ 1）解：四边形 （ 2）解： 0+， 在平行四边形 B 80 80 ， 5， 60 60 45 45（ 180 a） =90+， 答：用含 的代数式表示 0+ 证明： 等腰直角三角形， 在平行四边形 D， G， 5， 0+= 等腰直角三角形， D， G 答：四边形 理由是：由 同理可得： F， E， G， F=E， 四边形 0， 0， 四边形 【点评】 本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键二、 正方形与矩形综合 试题、 （ 2013海安县校级模拟）正方形 形 们的边平行于中，点 A， 线 C， N 上， 3， 3），正方形 若矩形 0，面积为 6，则点 （ 7， 5），（ 8， 5） 【分析】 由 3， 3），正方形 得出直线 求出 矩形 a，则长为 5 a，再根据面积为6即可得出 点 的坐标为（ e， e），由矩形的边长可用 出 F、根据 可得出结论 【解答】 解： 3， 3）， 直线 y=x， 正方形 ， C（ 4， 2）， 设直线 y=k0）， 2=4k， 解得 k= ， 直线 y= x； 设矩形 a，则长为 5 a， 矩形 ， a（ 5 a） =6， 解得： a=2或 a=3， 当 a=2即 时， 2=3， 点 点 e， e）， F（ e， e 2）， G（ e+3， e 2）， 点 e 2= （ e+3）， 解得： e=7， F（ 7， 5）； 当 a=3即 时， 3=2， 点 点 e， e）， F（ e， e 3）， G（ e+2， e 3）， 点 e 3= （ e+2）， 解得： e=8， F（ 8， 5） 故答案为：（ 7， 5），（ 8， 5） 【点评】 本题考查了正方形的性质、矩形的性质、一次函数解析式的求法；根据题意得出直线 解答时要注意进行分类讨论 试题、 （ 2016春江阴市月考）如图，在正方形 ，点 D 上，且不与 A、 D、 、 ，垂足为 Q，过 H （ 1）求证： P； （ 2）若正方形 2， ，求线段 【分析】 （ 1）由正方形的性质和已知条件可分别证明 E，进而可证明 全等三角形的性质即可得到 P； （ 2）连接，设 AF=x，则 F=12 x，在 42+ 12 x） 2，解方程求出 【解答】 解 ：（ 1） 0= 又 四边形 A= D=90， D， 0= A= D， 四边形 H， 又 D， H， 在 ， H； （ 2）连结 P， F， 设 AF=x，则 F=12 x， 在 42+ 12 x） 2， x= ， 【点评】 本题考查的是正方形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键 试题、 （ 2015春霸州市期末）如图， 点 ，交 （ 1）试说明 O； （ 2）当点 边形 （ 3）若 上存在点 O，使四边形 想 【分析】 （ 1）根据 分 到相等的角，即 根据等边对等角得 C，同理 F，可得 O （ 2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形 （ 3）利用已知条件及正方形的性质解答 【解答】 解：（ 1） C， 同理， F， F （ 2）当点 边形 如图 O， O， 四边形 同理， （ = 180=90， 四边形 （ 3） 四边形 0， 0， 【点评】 本题主要考查利用平行线的性质 “等角对等边 ”证明出结论（ 1），再利用结论（ 1）和矩形的判定证明结论（ 2），再对（ 3）进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方 法是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用试题、 （ 2015春万州区期末）如图，在正方形 ，点 E、 F、 G、 H G 交于点 O，且 G，若 ， （ 1）求正方形 （ 2）设 AE=a， BE=b，求代数式 a4+ 【分析】 （ 1）根据四边形 到 C， D，由于出四边形 边形 矩形，根据 得到矩形 3，设 E=DH=x， H=y，列出 ，即可得到结果； （ 2）由（ 1）求得 ， ，代入即可得到结果 【解答】 解：（ 1） 四边形 C， D， 四边形 边形 H， H， 矩形 3， 设 E=DH=x， H=y， ， ， ， ， E+， 正方形 44=16； （ 2）由（ 1）求得 ， ， a=3， b=1， a4+4+11=82 【点评】 本题考查了正方形的判定和性质，正方形的面积，三角形的面积，充分利用已知条件列方程组求出各线段是解题的关键 试题、 （ 2015春冷水江市校级期末）如图，矩形 中 E、 点连结 （ 1）求证： G； （ 2）求证： （ 3）试探究 【分析】 （ 1）根据矩形的性质和已知得出 C， 出四边形 据平行四边形的性质得出 C， 出四边形 可得出答案； （ 2）根据平行线得出 80，求出 据 80即可得 出答案； （ 3）过 M 据平行线的性质得出 出 据垂直得出 0，即可得出答案 【解答】 （ 1）证明： 四边形 E、 D、 C， 四边形 C， 又 四边形 G， G， 四边形 G； （ 2）证明： 四边形 80， 四边形 又 80， （ 3） 0， 证明：过 M 则 0， 0 【点评】 本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，正方形的性质的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键 三、 正方形与菱形综合 试题、 （ 2012深圳模拟）如图，正方形 ，以对角线 C、 E、 （ 1）求 （ 2）求 【分析】 （ 1）首先连接 ，过点 H ，由正方形 边形 求得 D=2 ，由 求得 C= ，然后由三角函数的性质，求得 （ 2）首先过点 G ，即可得 后设G=x，在 得方程：（ 2 ） 2=（ 2+x） 2+此方程即可求得 长，继而求得 长 【解答】 解：（ 1）连接 ，过点 H ， 正方形 ， C=2 ， ， 四边形 D=2 ， 点 C、 E、 C= ， 在 ， = = ， 0， 5 30=15； （ 2）过点 G ， 5， G， 设 EG=x， 则 C+x， 在 ， 即（ 2 ） 2=（ 2+x） 2+ 即 2x 4=0， 解得： x= 1或 x= 1（舍去）， 1， （ 1） = 【点评】 此题考查了正方形的性质、菱形的性质、特殊角的三角函数值以及勾股定理的知识此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合与方程思想的应用 试题、 （ 2013春莒南县期末）如图，正方形 ，以对角线 C 交于 ） A 30、 B 30、 C D 【分析】 根据正方形的对角线平分一组对角可得 5，根据菱形的四条边都相等可得 E，然后根据等腰三角形两底角相等求出 后根据 根据正方形的对角线等于边长的 倍求出 C，然后根据 E 算即可得解 【解答】 解：在正方形 ， 5， 四边形 E， （ 180 = （ 180 45） = 45= 正方形 ， C=2 ， E 2 故选 C 【点评】 本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记两图形的性质并准确识图是解题的关键 试题、 （ 2015春遂宁期末）如图，正方形 C 是菱形 【分析】 根据正方形的性质求出 5，再根据菱形的对角线平分一组对角解答即可 【解答】 解： 四边形 正方形， 5， 四边形 45= 故答案为： 【点评】 本题考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键 试题、 （ 2014重庆校级二模）如图，已知正方形 ，菱形 三个顶点 E、G、 形的边 ，则 3 【分析】 由菱形边长来确定 【解答】 解： ， = ， 此时 = ， 此时 ， 当 重合时，菱形的边最小， 3 故答案为： 3 【点评】 本题主要考查了正方形的性质及菱形的性质，解题的关键是由菱形边长来确定 试题、 （ 2014春椒江区校级期中）如图， 15 【分析】 过 F，垂足为 G，由正方形的性质可得出正方形的四条边相等，且四个角为直角，三角形 得出 5，设正方形的边长为1，根据勾股定理求出 即菱形的四条边为 ，由 C 垂直，且 得 直于 而得到 5，即三角形 ，可求出 在直角三角形 到 0，再根据菱形的对角相等，可得 0，由 【解答】 解：过 G 足为 G，如图所示： 四边形 5， 0， 设正方形 ，即 C=D=1， 根据勾股定理得： = ， 四边形 F=D= ， 又 0， 0 45=45，又 0， ， ，又 ， 在 F=30， 0， 则 5 30=15 故答案是： 15 【点评】 此题考查了正方形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线 练掌握图形的性质是解本题的关键 试题、 （ 2015荆州）如图 1，在正方形 D 的延长线上，且 E， （ 1）证明： E； （ 2）求 （ 3）如图 2，把正方形 他条件不变，当 20时，连接 探究线段 E 的数量关系，并说 明理由 【分析】 （ 1）先证出 C，由于 E，得 E； （ 2）由 而得 C，得到 E， E，最后 0得到结论； （ 3）借助（ 1）和（ 2）的证明方法容易证明结论 【解答】 （ 1）证明：在正方形 C， 5， 在 ， C， E， E； （ 2）由（ 1）知， E， E， E， 顶角相等）， 180 80 E， 即 0； （ 3）在菱形 C， 0， 在 ， C， E， E， C， 顶角相等）， 180 80 即 80 80 120=60， E， E 【点评】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出 解题的关键 四、 正方形与正方形综合 试题、 （ 2016贵阳模拟）将五个边长都为 2方形按如图所示摆放，点 A、 B、 C、 图中四块阴影面积的和为（ ） A 2 4 6 8分析】 连接 N， 5，易得 而可得四边形 理可得答案 【解答】 解：如图，连接 则 N， 5， 0， 四边形 而 而正方形的面积为 4， 四边形 块阴影面积的和为 4 故选 B 【点评】 本题考查旋转的性质旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离 相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等要注意旋转的三要素： 定点旋转中心； 旋转方向； 旋转角度 试题、 现有一张边长等于 a（ a 16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点 8 45角画线，将正方形纸片分成 5部分，则阴影部分是 正方形 （填写图形的形状）（如图），它的一边长是 【分析】 延长小正方形的一边交大正方形于一点，连接此点与距大正方形 顶点 8造直角边长为 8的等腰直角三角形，将小正方形的边长转化为等腰直角三角形的斜边长来求解即可【解答】 解：如图，作 长小正方形的另一边与大正方形的一边交于 ， 阴影正方形的边长 = 故答 案为：正方形， 【点评】 本题考查了正方形的性质与勾股定理的知识，题目同时也渗透了转化思想 试题、 已知，正方形 边 正方形 长 ，使 E， E，求证：四边形 【分析】 根据正方形的性质得出 C=D， B= 0， E= 0，求出 E= B=90， F=F，H=D，证 据全等三角形的性质推出F=H， 出 0，根据正方形的判定得出即可 【解答】 证明： 四边形 C=D， B= 0， E= 0， E= B=90， E， E， F=F， H=D， 在 F=H， 0， 0， 四边形 正方形 【点评】 本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出 意：有一个角是直角的菱形是正方形 试题、 （ 2013历城区一模）如图，四边形 接 下列结论： G， D， 5正确结论的个数为（ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 【分析】 根据正方形的性质可得 D， G， 0，然后求出 利用 “边角边 ”证明 据全等三角形对应边相等可得G，判定 正确；根据全等三角形对应角相等可