最小二乘法及matlab程序

最小二乘法及最小二乘法及 matlab 程序程序 最小二乘法简介 最小二乘法简介 最小二乘法 又称最小平方法 是一种数学优化技术 它通过最小化误差的平方和寻 找数据的最佳函数匹配 利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据 并使得这些求得的 数据与实际数据之间误差的平方和为最小 最小二乘法还可用于曲线拟合 其他一些优化 问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达 最小二乘法的矩阵形式 若未知量的个数大于方程的个数 则方程无解 但Axb 在数值计算领域 我们通常是计算 解出其中的 x 比较直观的做法是求min Axb 解 但通常比较低效 其中一种常见的解法是对 A 进行 QR 分解 A QR TT A AxA b 其中 Q 是正交矩阵 Orthonormal Matrix R 是上三角矩阵 Upper Triangular nk nk Matrix 则有 1 minminminAxbQRxbRxQ b MatlabMatlab 命令 命令 一次函数线性拟合使用一次函数线性拟合使用 polyfit x y 1 多项式函数线性拟合使用多项式函数线性拟合使用 polyfit x y n n 为次数 为次数 例如 x 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 y 1 75 2 45 3 81 4 80 7 00 8 60 p polyfit x y 2 x1 0 5 0 5 3 0 y1 polyval p x1 plot x y r x1 y1 b 计算结果为 p 0 5614 0 8287 1 1560 即所得多项式为 y 0 5614x 2 0 8287x 1 15560 然后可以使用 polyval 在 t 处预测 y hat polyval p t 非线性函数使用 非线性函数使用 lsqcurvefit nlinfit 格式 lsqcurvefit f a x y nlinfit x y f a f 符号函数句柄 如果是以 m 文件的形式调用的时候 别忘记加 这里需要注意 f 函数的 返回值是和 y 匹对的 即拟合参数的标准是 f y 2 取最小值 具体看下面的例子 a 最开始预估的值 预拟合的未知参数的估计值 如上面的问题如果我们预估 A 为 1 B 为 2 则 a 1 2 x 我们已经获知的 x 的值 y 我们已经获知的 x 对应的 y 的值 例子 1 问题 对于函数 y a sin x exp x b log x 我们现在已经有多组 x y 的数据 我们要求最 佳的 a b 值 针对上面的问题 我们可以来演示下如何使用这个函数以及看下其效果 x 2 10 y 8 sin x exp x 12 log x 上面假如是我们事先获得的值 a 1 2 f a x a 1 sin x exp x a 2 log x 第一种方法使用 lsqcurvefit lsqcurvefit f a x y ans 7 999999999999987 11 999999999988997 和我们预期的值 8 和 12 结合得非常好 第二种方法使用 nlinfit nlinfit x y f a ans 8 000000000000000 11 999999999999998 另一种方法 假如我们写了一个如下的 m 文件 function f test a x f a 1 sin x exp x a 2 log x end 则在上面 lsqcurvefit 函数调用如下 不要忘记那个 lsqcurvefit test a x y 例子 2 多元的情况 注意看格式 问题 我们已知 z a exp y 1 sin x b 且有多组 x y z 的值 现在求最佳系数 a b x 2 10 y 10 sin x log x z 4 5 exp y 1 sin x 13 8 f a x a 1 exp x 2 1 sin x 1 a 2 第一种方法使用 lsqcurvefit lsqcurvefit f 1 2 x y z 注意这里面的 x y 这里的 1 2 表示我们设置 f 函数里的初 始值 a 1 1 a 2 2 ans 4 499999999999999 13