高一数学必修一、必修二知识点整合

必修一 第一章 集合与函数概念 1 1 集合的含义与表示 集合元素的三大特征 确定性 互异性 无序性 通常 集合用大写字母表示 集合元素用小写字母表示 如果是集合 A 的元素 就说属于集合 A 记作 aaaA 如果不是集合 A 的元素 就说不属于集合 A 记作 aaaA 非负整数集 自然数集 N 整数集 N 或 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 集合的两种表示方式 列举法 描述法 1 2 集合间的基本关系 一般地 对于两个集合 A B 如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素 我们就说这两个集合有包含关系 称集合 A 为 B 的子集 记作 读作 A 含于 B 或 B 包含 A ABBA 或 如果两个集合所含的元素完全相同 那么我们称这两个集合相等 Venn 图法表示集合 空集的定义 不含任何元素的集合称为空集 空集的性质 空集是一切集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 子集的定义 对于两个集合 A 与 B 若然任何属于 A 的元素也属于 B 我们就说 A 是 B 的子集 真子集的定义 如果 A 是 B 的子集 并且 B 中至少有一个元素不属于 A 那么集合 A 叫做集合 B 的真子集 1 3 集合的基本运算 交集 并集 全集 补集 一般地 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合 称为 A 与 B 的交集 记作 A B 读作 A 交 B 其含义用符号表示为 ABx xAxB 且 用 Venn 图表示如下 般地 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合 称为集合 A 与 B 的 并集 记作 A B 读作 A 并 B 其含义用符号表示为 ABx xAxB 或 用 Venn 图表示如下 补集 一般地 设 S 是一个集合 A 是 S 的一个真子集 由 S 中所有不属于 A 的元素 组成的集合 叫做子集 A 在 S 中的补集记作 sA 读作 A 在 S 中的补集 A B A B 1 4 函数的概念 1 设 A B 是非空的数集 如果按照某个确定的对应关系f 使对于集合 A 中的任 意一个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数f x 和它对应 那么就称f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作 y f x x A 其中 x叫做自变量 x的取值范围 A 叫做函数的定义域 与x的值相对应的y值叫 做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 注意 y f x 是函数符号 可以用任意的字母表示 如 y g x 函数符号 y f x 中的f x 表示与x对应的函数值 一个数 而不是f乘x 2 构成函数的三要素 定义域 值域 对应关系 3 区间的概念 区间的分类 开区间 闭区间 半开半闭区间 无穷区间 区间的数轴表示 4 求函数定义域的方法 1 如果 f x 是整式 那么函数的定义域是实数集 R 2 如果f x 是分式 那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 3 如果f x 是二次根式 那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的 集合 4 如果f x 是由几个部分的数学式子构成的 那么函数定义域是使各部分式子都有意 义的实数集合 即求各集合的交集 5 满足实际问题有意义 1 5 函数的表示法 函数的三种常用表示法 解析法 列表法 图像法 解析式的特点为 函数关系清楚 容易从自变量的值求出其对应的函数值 便于用解 析式来研究函数的性质 还有利于我们求函数的值域 列表法的特点为 不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值 图像法的特点是 能直观形象地表示出函数的变化情况 注意 函数图象既可以是连续的曲线 也可以是直线 折线 离散的点等等 解析法 必须注明函数的定义域 图象法 是否连线 列表法 选取的自变量要有代表性 应能反映定义域的特征 1 6 映射 一般地 设 A B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应法则 使对于集合f A 中的任意一个元素 在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应 那么就称对应 xyf A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记作 A B f 说明 1 这两个集合有先后顺序 A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的 其中 表示具体的对应法则 可以用多种形式表述 f 2 都有唯一 什么意思 包含两层意思 一是必有一个 二是只有一个 也就是说有且只有一个的意思 1 7 函数的单调性 增函数 一般地 设函数 y f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内 的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间 D 上是增 函数 注意 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 总有 f x1 f x2 函数单调性的定义 如果函数 y f x 在某个区间上是增函数或是减函数 那么就说函 数 y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间 D 叫做 y f x 的单调区间 判断函数单调性的步骤 任取 x1 x2 D 且 x1 x2 作差 f x1 f x2 变形 通常是因式分解和配方 定号 即判断差 f x1 f x2 的正负 下结论 即指出函数 f x 在给定的区间 D 上的单调性 1 8 函数的最大最小值 1 最大 小 值定义 一般地 设函数的定义域为 I 如果存在实数 M 满 yf x 足 1 对于任意的 都有 f x M xI 2 存在 使得 0 xI 0 f xM 那么 称 M 是函数的最大值 yf x 2 利用函数单调性来判断函数最大 小 值的方法 配方法 换元法 数形结合法 1 9 函数的奇偶性 偶函数的定义 一般地 对于函数的定义域内的任意一个 都有 f xx 那么就叫做偶函数 fxf x f x 奇函数的定义 一般地 对于函数的定义域的任意一个 都有 f xx 那么就叫做奇函数 fxf x f x 注意 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 2 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 对于定义域内的 任意一个 则也一定是定义域内的一个自变量 即定义域关于原点对称 xx 3 偶函数的图象关于轴对称 奇函数的图象关于原点对称 y 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反 奇函数在关于原点对称的区间上单调性 一致 第 2 章 基本初等函数 2 1 指数与指数幂的运算 n次方根 一般地 若 则 x 叫做a的n次方根 其中n 1 且n 当 n xa n为偶数时 a的n次方根中 正数用表示 如果是负数 用表示 叫做根 n a n a n a 式 n为奇数时 a的n次方根用符号表示 其中n称为根指数 a 为被开方数 n a n n nana a nana 为奇数 的次方根有一个 为 为正数 为偶数 的次方根有两个 为 n nana a nan 为奇数 的次方根只有一个 为 为负数 为偶数 的次方根不存在 零的n次方根为零 记为00 n 正数的分数指数幂的意义为 0 m nm n aaam nN 正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同 即 1 0 m n m n aam nN a 规定 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂无意义 说明 规定好分数指数幂后 根式与分数指数幂是可以互换的 分数指数幂只是根式 的一种新的写法 而不是 111 0 n mmmm aaaaa 由于整数指数幂 分数指数幂都有意义 因此 有理数指数幂是有意义的 整数指数 幂的运算性质 可以推广到有理数指数幂 即 1 0 rsr s aaaar sQ 2 0 rSrs aaar sQ 3 0 0 rrr a ba b QbrQ 一般来说 无理数指数幂是一个确定的实数 有理数指 0 p aap 是一个无理数 数幂的性质同样适用于无理数指数幂 无理指数幂的意义 是用有理指数幂的不足近似值和 过剩近似值无限地逼近以确定大小 四则运算的顺序是先算乘方 再算乘除 最后算加减 有括号的先算括号的 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后 其运算顺序仍符合我们以前的四 则运算顺序 2 2 指数函数及其性质 指数函数的定义 一般地 函数 0 且 1 叫做指数函数 其中是自 x ya aax 变量 函数的定义域为 R 从图上看 1 与 0 1 两函数图象的特征 x ya a x ya a 8 6 4 2 2 4 6 8 10 5510 指数函数 0 且 1 当底数越大时 函数图象间有什么样的关系 x ya aa 图象特征函数性质 1a0 1a 1a0 1a 向轴正负方向无限延伸x函数的定义域为 R 图象关于原点和轴不对称y非奇非偶函数 函数图象都在轴上方x函数的值域为 R 函数图象都过定点 0 1 1 0 a 自左向右 图象逐渐上升 自左向右 图象逐渐下降 增函数减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 0 1x x a 0 1x x a 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 0 1x x a 0 1x x a 利用函数的单调性 结合图象还可以看出 1 在 0 且 1 值域是 x a bf xa上 aa f af bf bf a或 2 若 0 xf xf xx 则 1 取遍所有正数当且仅当R 3 对于指数函数 0 且 1 总有 x f xa aa 1 fa 4 当 1 时 若 则 a 1 x 2 x 1 f x 2 f x 2 3 对数 对数的定义 一般地 若 那么数叫做以 a 为底N的对数 0 1 x aN aa 且x 记作 叫做对数的底数 N叫做真数 logaxN a 在对数的概念中 要注意 1 底数的限制 0 且 1 2 aalog x a aNNx 指数式对数式 幂底数 对数底数 a 指 数 对数 幂 N 真数x 说明 对数式可看作一记号 表示底为 0 且 1 幂为N的指数logaNaaa 工表示方程 0 且 1 的解 也可以看作一种运算 即已知底为 x aN aa 0 且 1 幂为N 求幂指数的运算 因此 对数式又可看幂运算的逆aaalogaN 运算 两类对数 以 10 为底的对数称为常用对数 常记为 10 logNlg N 以无理数 e 2 71828 为底的对数称为自然对数 常记为 以后解题logeNln N 时 在没有指出对数的底的情况下 都是指常用对数 如 100 的对数等于 2 即 lg1002 2 4 对数及其性质 1 的对数是零 负数和零没有对数 对数的性质 0 且 1log1 aa aa logaN aN 如果 0 且 1 M 0 N 0 那么 aa 1 logloglog aaa MNMN 2 logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa MnMnR 换底公式 0 且 1 0 且 1 0aaceb log log log c a c b b a 一般地 我们把函数 0 且 1 叫做对数函数 其中是自变量 函数logayx aax 的定义域是 0 对数函数的性质 图象的特征函数的性质 1 图象都在轴的右边y 1 定义域是 0 2 函数图象都经过 1 0 点 2 1 的对数是 0 3 从左往右看 当 1 时 图象逐a 渐上升 当 0 1 时 图象逐渐下降 a 3 当 1 时 是增函数 当alogx a y 0 1 时 是减函数 alogayx 4 当 1 时 函数图象在 1 0 a 4 当 1 时a 点右边的纵坐标都大于 0 在 1 0 点 左边的纵坐标都小于 0 当 0 1 时 a 图象正好相反 在 1 0 点右边的纵 坐标都小于 0 在 1 0 点左边的纵坐 标都大于 0 1 则 0 xlogax 0 1 0 xlogax 当 0 1 时a 1 则 0 xlogax 0 1 0 xlogax 1a0 1a 图 象 1 定义域 0 2 值域 R 3 过点 1 0 即当 1 0 xy 性 质 4 在 0 上是增函数在 0 是上减函数 反函数 当一个函数是一一映射时 可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变 量 而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量 我们称这两个函数为反函数 同底的指数函数和对数函数互为反函数 2 5 幂函数 一般地 形如 R 的函数称为幂函数 其中是自变量 是常数 yx x x 如等都是幂函数 幂函数与指数函数 对数函数一样 都是基 11 2 34 yxyxyx 本初等函数 yx 2 yx 3 yx 1 2 yx 1 yx 定义域 RRR 0 x x 0 x x 奇偶性奇奇奇非奇非偶奇 在第 象限单 调增减 性 在第 象 限单调递 增 在第 象 限单调递 增 在第 象 限单调递 增 在第 象限 单调递增 在第 象限 单调递减 定点 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 幂函数性质 1 所有的幂函数在 0 都有定义 并且图象都过点 1 1 原因 11 x 2 0 时 幂函数的图象都通过原点 并且在 0 上 是增函数 从左往右x 看 函数图象逐渐上升 特别地 当 1 1 时 0 1 的图象都在图象的下方 xxx 2 yx yx 形状向下凸越大 下凸的程度越大 当 1 时 0 1 的图象都在的图象上方 形状向上凸 越x 2 yx yx 小 上凸的程度越大 3 0 时 幂函数的图象在区间 0 上是减函数 在第一象限内 当向原点靠近时 图象在轴的右方无限逼近轴正半轴 当慢xyyx 慢地变大时 图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴 xx 第 3 章 函数的应用 3 1 方程的根与函数的零点 函数零点的概念 对于函数 把使成立的实数叫做函数 Dxxfy 0 xfx 的零点 Dxxfy 函数零点的意义 函数的零点就是方程实数根 亦即函数的图象与轴交 xfy 0 xf xfy x 点的横坐标 即 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数0 xf xfy x 有零点 xfy 函数零点的求法 求函数的零点 xfy 代数法 求方程的实数根 0 xf 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数的图象联系起来 xfy 并利用函数的性质找出零点 二次函数的零点 二次函数 0 2 acbxaxy 1 方程有两不等实根 二次函数的图象与轴有两个交0 2 cbxaxx 点 二次函数有两个零点 2 方程有两相等实根 二重根 二次函数的图象与0 2 cbxax 轴有一个交点 二次函数有一个二重零点或二阶零点 x 3 方程无实根 二次函数的图象与轴无交点 二次函0 2 cbxaxx 数无零点 3 2 用二分法求函数的近似解 二分法 又称分半法 是一种方程式根的近似值求法 对于区间 a b 上连续不断且 f a f b x0时 logayx a 就有 logax n x x a 3 4 函数模型的应用实例 数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型 它把实际问题中某些事物的主要特征和 关系抽象出来 并用数学语言来表达 这一过程称为建模 是解应用题的关键 数学模型 可采用各种形式 如方程 组 函数解析式 图形与网络等 利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法 1 根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系 2 利用待定系数法 确定具体函数模型 3 对所确定的函数模型进行适当的评价 4 根据实际问题对模型进行适当的修正 必修二 第一章 直线与方程 1 直线的倾斜角 定义 x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 特别地 当直线与x轴平 行或重合时 我们规定它的倾斜角为 0 度 因此 倾斜角的取值范围是 0 180 2 直线的斜率 定义 倾斜角不是 90 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 直线的斜率常 用 k 表示 即 斜率反映直线与轴的倾斜程度 tank 当时 当时 当时 不存 90 0 0 k 180 90 0 k 90 k 在 过两点的直线的斜率公式 21 12 12 xx xx yy k 注意下面四点 1 当时 公式右边无意义 直线的斜率不存在 倾斜角为 90 21 xx 2 k与P1 P2的顺序无关 3 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求 得 4 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 3 直线方程 点斜式 直线斜率k 且过点 11 xxkyy 11 y x 注意 当直线的斜率为 0 时 k 0 直线的方程是y y1 当直线的斜率为 90 时 直线的斜率不存在 它的方程不能用点斜式表示 但因l 上每一点的横坐标都等于x1 所以它的方程是x x1 斜截式 直线斜率为k 直线在y轴上的截距为bbkxy 两点式 直线两点 11 2121 yyxx yyxx 1212 xxyy 11 y x 22 y x 截矩式 1 xy ab 其中直线与轴交于点 与轴交于点 即与轴 轴的截距分别为 lx 0 ay 0 blxy a b 一般式 A B不全为 0 0 CByAx 注意 各式的适用范围 特殊的方程如 1 2 平行于x轴的直线 b为常数 平行于y轴的直线 a为常数 by ax 5 直线系方程 即具有某一共同性质的直线 一 平行直线系 平行于已知直线 是不全为 0 的常数 的直线系 0 000 CyBxA 00 B A C为常数 0 00 CyBxA 二 过定点的直线系 斜率为k的直线系 直线过定点 00 xxkyy 00 y x 过两条直线 的交点的直线系方0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 程为 为参数 其中直线不在直线系中 0 222111 CyBxACyBxA 2 l 6 两直线平行与垂直 当 时 111 bxkyl 222 bxkyl 212121 bbkkll 1 2121 kkll 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否 7 两条直线的交点 相交0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 交点坐标即方程组的一组解 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 方程组无解 方程组有无数解与重合 21 l l 1 l 2 l 8 两点间距离公式 设是平面直角坐标系中的两个点 1122 A x yB xy 则 22 2121 ABxxyy 9 点到直线距离公式 一点到直线的距离 00 y xP0 1 CByAxl 22 00 BA CByAx d 10 两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点 再转化为点到直线的距离进行求解 第二章 圆的方程 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆 定点为圆心 定长为圆 的半径 2 圆的方程 1 标准方程 圆心 半径为 r 2 22 rbyax ba 2 一般方程0 22 FEyDxyx 当时 方程表示圆 此时圆心为 半径为04 22 FED 2 2 ED FEDr4 2 1 22 当时 表示一个点 当时 方程不表示任何图04 22 FED04 22 FED 形 3 求圆方程的方法 一般都采用待定系数法 先设后求 确定一个圆需要三个独立条件 若利用圆的标准方 程 需求出 a b r 若利用一般方程 需要求出 D E F 另外要注意多利用圆的几何性质 如弦的中垂线必经过原点 以此来确定圆心的位置 3 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有相离 相切 相交三种情况 基本上由下列两种方法判断 1 设直线 圆 圆心到l的距离0 CByAxl 2 22 rbyaxC baC 为 则有 22 BA CBbAa d 相离与Clrd 相切与Clrd 相交与Clrd 2 设直线 圆 先将方程联立消元 得到0 CByAxl 2 22 rbyaxC 一个一元二次方程之后 令其中的判别式为 则有 相离与Cl 0相切与Cl 0相交与Cl 0 注 如果圆心的位置在原点 可使用公式去解直线与圆相切的问题 其中 2 00 ryyxx 表示切点坐标 r 表示半径 00 y x 3 过圆上一点的切线方程 圆x2 y2 r2 圆上一点为 x0 y0 则过此点的切线方程为 课本命题 2 00 ryyxx 圆 x a 2 y b 2 r2 圆上一点为 x0 y0 则过此点的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 课本命题的推广 4 圆与圆的位置关系 通过两圆半径的和 差 与圆心距 d 之间的大小比较来确定 设圆 2 2 1 2 11 rbyaxC 2 2 2 2 22 RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和 差 与圆心距 d 之间的大小比较来确定 当时两圆外离 此时有公切线四条 rRd 当时两圆外切 连心线过切点 有外公切线两条 内公切线一条 rRd 当时两圆相交 连心线垂直平分公共弦 有两条外公切线 rRdrR 当时 两圆内切 连心线经过切点 只有一条公切线 rRd 当时 两圆内含 当时 为同心圆 rRd 0 d 第三章 立体几何初步 1 柱 锥 台 球的结构特征 1 棱柱 定义 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行 由这些面所围成的几何体 分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱 四棱柱 五棱柱等 表示 用各顶点字母 如五棱柱或用对角线的端点字母 如五棱 EDCBAABCDE 柱 AD 几何特征 两底面是对应边平行的全等多边形 侧面 对角面都是平行四边形 侧棱平行 且相等 平行于底面的截面是与底面全等的多边形 2 棱锥 定义 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由这些面所围成的几 何体 分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥 四棱锥 五棱锥等 表示 用各顶点字母 如五棱锥 EDCBAP 几何特征 侧面 对角面都是三角形 平行于底面的截面与底面相似 其相似比等于顶点 到截面距离与高的比的平方 3 棱台 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 截面和底面之间的部分 分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态 四棱台 五棱台等 表示 用各顶点字母 如五棱台 EDCBAP 几何特征 上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点 4 圆柱 定义 以矩形的一边所在的直线为轴旋转 其余三边旋转所成的曲面所围成的 几何体 几何特征 底面是全等的圆 母线与轴平行 轴与底面圆的半径垂直 侧面展开 图是一个矩形 5 圆锥 定义 以直角三角形的一条直角边为旋转轴 旋转一周所成的曲面所围成的几 何体 几何特征 底面是一个圆 母线交于圆锥的顶点 侧面展开图是一个扇形 6 圆台 定义 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥 截面和底面之间的部分 几何特征 上下底面是两个圆 侧面母线交于原圆锥的顶点 侧面展开图是一个弓 形 7 球体 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征 球的截面是圆 球面上任意一点到球心的距离等于半径 2 空间几何体的三视图 定义三视图 正视图 光线从几何体的前面向后面正投影 侧视图 从左向右 俯视图 从上向下 注 正视图反映了物体上下 左右的位置关系 即反映了物体的高度和长度 俯视图反映了物体左右 前后的位置关系 即反映了物体的长度和宽度 侧视图反映了物体上下 前后的位置关系 即反映了物体的高度和宽度 3 空间几何体的直观图 斜二测画法 斜二测画法特点 原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变 原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行 长度为原来的一半 4 柱体 锥体 台体的表面积与体积 1 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和 2 特殊几何体表面积公式 c 为底面周长 h 为高 为斜高 l 为母线 h chS 直棱柱侧面积 rhS 2 圆柱侧 2 1 chS 正棱锥侧面积 rlS 圆锥侧面积 2 1 21 hccS 正棱台侧面积 lRrS 圆台侧面积 lrrS 2 圆柱表 lrrS 圆锥表 22 RRlrlrS 圆台表 3 柱体 锥体 台体的体积公式 VSh 柱 2 VShr h 圆柱 1 3 VSh 锥 hrV 2 3 1 圆锥 1 3 VSS SS h 台 22 11 33 VSS SS hrrRRh 圆台 4 球体的表面积和体积公式 V S 球 3 4 3 R 球面 2 4 R 4 空间点 直线 平面的位置关系 1 平面 平面的概念 A 描述性说明 B 平面是无限伸展的 平面的表示 通常用希腊字母 表示 如平面 通常写在一个锐角内 也可以用两个相对顶点的字母来表示 如平面 BC 点与平面的关系 点A在平面内 记作 点不在平面内 记作 A A A 点与直线的关系 点A的直线l上 记作 A l 点A在直线l外 记作Al 直线与平面的关系 直线l在平面 内 记作l 直线l不在平面 内 记作 l 2 公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线是所有的点都在这个平面 内 即直线在平面内 或者平面经过直线 应用 检验桌面是否平 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1 Al Bl ABl 3 公理 2 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 推论 一直线和直线外一点确定一平面 两相交直线确定一平面 两平行直线确定一 平面 公理 2 及其推论作用 它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据 4 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共 直线 符号 平面 和 相交 交线是 a 记作 a 符号语言 PABABl Pl 公理 3 的作用 它是判定两个平面相交的方法 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系 交线必过公共点 它可以判断点在直线上 即证若干个点共线的重要依据 5 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 6 空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义 不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质 既不平行 又不相交 异面直线判定 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角 直线a b是异面直线 经过空间任意一点O 分别引直线a a b b 则把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 两条异面直线所成角的范围是 0 90 若两条异面直线所成的角是直角 我们就说这 两条异面直线互相垂直 说明 1 判定空间直线是异面直线方法 根据异面直线的定义 异面直线的判定 定理 2 在异面直线所成角定义中 空间一点 O 是任取的 而和点 O 的位置无关 求异面直线所成角步骤 A 利用定义构造角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移到某个特殊的位置 顶 点选在特殊的位置上 B 证明作出的角即为所求角 C 利用三角形来求角 7 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两角相等或互补 8 空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内 有无数个公共点 三种位置关系的符号表示 a a A a 9 平面与平面之间的位置关系 平行 没有公共点 相交 有一条公共直线 b 5 空间中的平行问题 1 直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行 则该直线与此平面平行 线线平行线面平行 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 线面平行线线平行 2 平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 1 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 线面平行 面面平行 2 如果在两个平面内 各有两组相交直线对应平行 那么这两个平面平行 线线平行 面面平行 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理 1 如果两个平面平行 那么某一个平面内的直线与另一个平面平行 面面平行 线面 平行 2 如果两个平行平面都和第三个平面相交 那么它们的交线平行 面面平行 线线平 行 7 空间中的垂直问题 1 线线 面面 线面垂直的定义 两条异面直线的垂直 如果两条异面直线所成的角是直角 就说这两条异面直线互相垂 直 线面垂直 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直 就说这条直线和这个平面 垂直 平面和平面垂直 如果两个平面相交 所成的二面角 从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形 是直二面角 平面角是直角 就说这两个平面垂直