2010年高三数学高考最后冲刺必读题解析（25）

用心 爱心 专心 20102010 年高考数学最后冲刺必读题解析年高考数学最后冲刺必读题解析 2525 17 本小题满分 15 分 第一问 3 分 第二问 4 分 第三问 8 分 如图 直角三角形ABC的顶点坐标 2 0 A 直角顶点 0 2 2 B 顶点C在x轴上 点 P为线段OA的中点 1 求BC边所在直线方程 2 M为直角三角形ABC外接圆的圆心 求圆M的方程 3 若动圆N过点P且与圆M内切 求动圆N的圆心N的轨 迹方程 17 1 2 AB k ABBC 2 2 CB k 2 2 2 2 BC yx 3 分 2 在上式中 令0y 得 4 0 C 圆心 1 0 M 又 3AM 外接圆的方程为 22 1 9xy 7 分 3 1 0 P 1 0 M 圆N过点 1 0 P PN是该圆的半径 又 动圆N与圆M内切 3MNPN 即3MNPN 11 分 点N的轨迹是以M P为焦点 长轴长为 3 的椭圆 3 2 a 1c 13 分 22 5 4 bac 轨迹方程为 22 1 95 44 xy 15 分 18 本小题满分 15 分 第一问 4 分 第二问 3 分 第三问 8 分 用心 爱心 专心 已知向量 2 3 1 axbxy 其中实数y和x不同时为零 当 2x 时 有 ab 当 2x 时 ab 1 求函数式 yf x 2 求函数 f x的单调递减区间 3 若对 2 x 2 都有 2 30mxxm 求实数m的取值范围 18 1 当 2x 时 由ab 得 2 3 0a bxxy 3 3yxx 2x 且0 x 当 2x 时 由 ab 得 2 3 x y x 3 2 3 220 22 3 xxxx yf x x xx x 且 或 4 分 2 当 2x 且0 x 时 由 2 33yx 0 解得 1 0 0 1 x 6 分 当 2x 时 22 2222 3 2 3 0 3 3 xxxx y xx 函数 f x的单调减区间为 1 和 1 8 分 3 对 2 x 2 都有 2 30mxxm 即 2 3 m xx 也就是 2 3 x m x 对 2 x 2 恒成立 由 2 知当 2x 时 22 2222 3 2 3 0 3 3 xxxx fx xx 函数 f x在 2 和 2 都单调递增 12 分 又 2 2 2 34 f 2 2 2 34 f 当2x 时 2 0 3 x f x x 当 2 x 时 0 2f x 同理可得 当2x 时 有2 0f x 综上所述得 对 2 x 2 f x取得最大值 2 实数m的取值范围为2m 15 分 用心 爱心 专心 19 本小题满分 14 分 第一问 9 分 第二问 5 分 如图 一科学考察船从港口 O 出发 沿北偏东 角的射线 OZ 方向航行 而在离港口 O13a a 为正常数 海里的北偏东 角的 A 处共有一个供给科考船物资的小岛 其中已知 cos 3 1 tan 13 2 现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口 O 正东 m 海里的 B 处的补给船 速往小岛 A 装运物资供给科考船 该船沿 BA 方向全速追赶科考船 并在 C 处相遇 经测算当 两船运行的航线与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 的面积 S 最小时 这种补给最适宜 1 求 S 关于 m 的函数关系式 S m 2 应征调 m 为何值处的船只 补给最适宜 19 I 以 O 点为原点 指北的方向为 y 轴建立直角坐标系 则直线 OZ 的方程为 y 3x 设点 A x0 y0 则 x0 13asin 3a y0 13acos 2a 即 A 3a 2a 又 B m 0 则直线 AB 的方程是 y 3 2 mx ma a 由此得到 C 点坐标为 73 6 73 2 am am am am 3 7 73 3 2 1 2 am am am yOBmS C 9 分 II 3 28 3 14 9 49 2 3 14 3 7 9 49 3 7 222 a a a aa am a amamS 当且仅当 3 7 3 14 3 7 9 49 3 7 2 amam am a am 即时等号成立 13 分 答 征调am 3 14 海里处的船只时 补给最适宜 14 分 20 本小题满分 18 分 第一问 6 分 第二问 4 分 第三问 8 分 已知函数 2 1 1 f xxg xk x 函数 f xg x 其中一个零点为 5 数列 n a满 足 1 2 k a 且 1 0 nnnn aag af a 1 求数列 n a通项公式 2 求 S n a的最小值 用含有 n 的代数式表示 3 设 1 3 nnn bf ag a 试探究数列 n b是否存在最大项和最小项 若存在求出 用心 爱心 专心 最大项和最小项 若不存在 说明理由 20 1 函数 f xg x 有一个零点为 5 即方程 2 1 1 0 xk x 有一个根为 5 将5x 代入方程得1640k 4k 1 2a 2 分 由 1 0 nnnn aag af a 得 2 1 4 1 1 0 nnnn aaaa 1 1 441 0 nnnn aaaa 10 n a 或 1 4410 nnn aaa 由 1 知 1 2a 10 n a 不合舍去 由 1 4410 nnn aaa 得 1 431 nn aa 4 分 方法 1 由 1 431 nn aa 得 1 3 1 1 4 nn aa 数列 1 n a 是首项为 1 11a 公比为 3 4 的等比数列 1 3 1 4 n n a 1 3 1 4 n n a 方法 2 由 1 431 nn aa 得当2n 时 1 431 nn aa 得 11 4 3 nnnn aaaa 1 1 3 4 nn nn aa aa 2n 即数列 1 nn aa 是首项为 21 aa 公比为 3 4 的等比数列 211 111 444 aaa 1 1 13 44 n nn aa 由 得 1 31 44 nn aa 代入 整理得 1 3 1 4 n n a 6 分 2 由 1 知 1 3 1 4 n n a 21 1 333 1 444 n n i i an 3 1 3 4 4 1 3 4 1 4 n n nn 8 分 对 nN 有 33 44 n 331 1 1 444 n 8 分 3 4 1 1 4 n nn 即 1 1 n i i an 即所求 S n a的最小值为 1 n 10 分 用心 爱心 专心 3 由 1 3 nnn bf ag a 得 2 1 3 1 4 1 nnn baa 1 2 33 3 4 44 nn n b 1 21 33 3 44 nn 12 分 令 1 3 4 n u 则01u 2 3 n buu 2 11 3 24 u 函数 2 11 3 24 n bu 在 1 1 2 上为增函数 在 1 0 2 上为减函数 14 分 当1n 时1u 当2n 时 3 4 u 当3n 时 2 39 416 u 当4n 时 27 64 u 27 64 193 1 2164 且 12719 264216 16 分 当3n 时 n b有最小值 即数列 n b有最小项 最小项为 2 3 99189 3 1616256 b 故当1n 即1u 时 n b有最大值 即数列 n b有最大项 最大项 为 1 3 1 1 0b 18 分 17 15 分 已知数列 n a的前n项的和为 n S 数列 1 n S是公比为 2 的等比数列 1 证明 数列 n a成等比数列的充要条件是3 1 a 2 设 1 5 Nnab n nn n 若 1 nn bb对 Nn恒成立 求 1 a的取值范围 17 解 1 略 2 当1 n时 11 5ab 当 2 Nnn时 1 4 1 3 1 5 1 2 1 aab nnn n 当n为偶数时 1 1 a 当n为奇数时 4 17 1 a 所以 4 17 a 用心 爱心 专心 18 15 分 已知椭圆以坐标原点为中心 坐标轴为对称轴 且椭圆以抛物线xy16 2 的焦 点为其一个焦点 以双曲线1 916 22 yx 的焦点为顶点 1 求椭圆的标准方程 2 已知点 0 1 0 1 BA 且DC 分别为椭圆的上顶点和右顶点 点P是线段CD上的 动点 求BPAP 的取值范围 3 试问在圆 222 ayx 上 是否存在一点M 使 21MF F 的面积 2 bS 其中a为椭 圆的半长轴长 b为椭圆的半短轴长 21 F F为椭圆的两个焦点 若存在 求tan 21MF F 的值 若不存在 请说明理由 18 解 1 椭圆的标准方程 1 925 22 yx 2 设 00 yxP 则1 2 0 2 0 yxBPAP 50 01553 xyxCD 则当CDOP 时 取到最小值 即 34 3415 53 15 22 1 d 当P在D点时 取到最大值 5 OD 所以 24 34 191 BPAP 3 C上存在点 11 yxM使 2 bS 的充要条件是 2 1 22 1 2 1 2 2 1 byc ayx 易得 当 c b a 2 时存在点 M 使得 2 bS 此时 tan 21MF F 2 19 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需要建两端桥墩之间 用心 爱心 专心 的桥面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为 256 万元 距离为x米的相邻两墩之间 的桥面工程费用为 2 x x 万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考 虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 试写出y关于x的函数关系式 当m 640 米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 16 分 19 解 设需要新建n个桥墩 1 1 m nxm x 即n 所以 2 mm xx x xx y f x 256n n 1 2 x 256 1 256 2256 x m xm x 由 知 2 33 22 2 2561 512 22 mm fxmxx x x 令 0fx 得 3 2 512x 所以x 64 当 0 x 64 时 fx0 f x在区间 64 640 内为增函数 所以 f x在x 64 处取得最小值 此时 640 119 64 m n x 故需新建 9 个桥墩才能使y最小 20 16 分 已知函数xaxxfln2 1 若 0 a证明 对于任意的两个正数 21 x x 总有 2 2 2121 xx f xfxf 成立 2 若对任意的 ex 1 不等式 2 2 1 3 xxaxf 恒成立 求a的取值范围 20 解 1 由 21 21 2121 2 ln 22 xx xx a xx f xfxf 而 2121 2xxxx 0 2 ln1 2 21 21 21 21 xx xx xx xx 用心 爱心 专心 又因为 0 a所以 0 2 ln 21 21 xx xx a 即 2 2 2121 xx f xf