九年级数学下册28.1圆周角和圆心角的关系二教案华东师大版

圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系 教学目标教学目标 一一 教学知识点教学知识点 1 掌握圆周角定理几个推论的内容 2 会熟练运用推论解决问题 二二 能力训练要求能力训练要求 1 培养学生观察 分析及理解问题的能力 2 在学生自主探索推论的过程中 经历猜想 推理 验证等环节 获得正 确的学习方式 三三 情感与价值观要求情感与价值观要求 培养学生的探索精神和解决问题的能力 教学重点教学重点 圆周角定理的几个推论的应用 教学难点教学难点 理解几个推论的 题设 和 结论 教学方法教学方法 指导探索法 教具准备教具准备 投影片三张 第一张 引例 记作 3 3 2A 第二张 例题 记作 3 3 2B 第三张 做一做 记作 3 3 2C 教学过程教学过程 创设问题情境 引入新课 创设问题情境 引入新课 师师 请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角 它们之 间有什么关系 生生 学习了圆心角和圆周角 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 即圆周角定理 师师 我们在分析 证明上述定理证明过程中 用到了些什么数学思想方法 生生 分类讨论 化归 转化思想方法 师师 同学们请看下面这个问题 出示投影片 3 3 2A 已知弦 AB 和 CD 交于 O 内一点 P 如下图 求证 PA PB PC PD 师生共析师生共析 要证 PA PB PC PD 可证 PAPC PDPB 由此考虑证明 PA PC 为边的三角形与以 PD PB 为边的三角形相似 由于图中没有这两个 三角形 所以考虑作辅助线 AC 和 BD 要证 PAC PDB 由已知条件可得 APC 与 DPB 相等 如能再找到一对角相等 如 A D 或 C B 便 可证得所求结论 如何寻找 A D 或 C B 要想解决这个问题 我们 需先进行下面的学习 讲授新课 讲授新课 师师 请同学们画一个圆 以 A C 为端点的弧所对的圆周角有多少个 至 少画三个 它们的大小有什么关系 你是如何得到的 生生 A AC 所对的圆周角有无数个 它们的大小相等 我是通过度量得到的 师师 大家想一想 我们能否用验证的方法得到上图中的 ABC ADC AEC 同学们互相交流 讨论 生生 由图可以看出 ABC ADC 和 AEC 是同弧 A AC 所对的圆周角 根据上节课我们所学的圆周角定理可知 它们都等于圆心角 AOC 的一半 所 以这几个圆周角相等 师师 通过刚才同学的学习 我们上面提出的问题 A D 或 C B 找 到答案了吗 生生 找到了 它们属于同弧所对的圆周角 由于它们都等于同弧所对圆心 角的一半 这样可知 A D 或 C B 师师 如果我们把上面的同弧改成等弧 结论一样吗 生生 一样 等弧所对的圆心角相等 而圆周角等于圆心角的一半 这样 我们便可得到等弧所对的圆周角相等 师师 通过我们刚才的探讨 我们可以得到一个推论 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 师师 若将上面推论中的 同弧或等弧 改为 同弦或等弦 结论成立吗 请同学们互相议一议 生生 如下图 结论不成立 因为一条弦所对的圆周角有两种可能 在弦不 是直径的情况下是不相等的 注意 注意 1 同弧 指 同一个圆 2 等弧 指 在同圆或等圆中 3 同弧或等弧 不能改为 同弦或等弦 师师 接下来我们看下面的问题 如下图 BC 是 O 的直径 它所对的圆周角是锐角 直角 还是钝角 你 是如何判断的 同学们互相交流 讨论 生生 直径 BC 所对的圆周角是直角 因为一条直径将圆分成了两个半圆 而 半圆所对的圆心角是 BOC 180 所以 BAC 90 师师 反过来 在下图中 如果圆周角 BAC 90 那么它所对的弦 BC 经 过圆心 O 吗 为什么 生生 弦 BC 经过圆心 O 因为圆周角 BAC 90 连结 OB OC 所以圆 心角 BOC 180 即 BOC 是一条线段 也就是 BC 是 O 的一条直径 师师 通过刚才大家的交流 我们又得到了圆周角定理的又一个推论 直径所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 注意 注意 这一推论应用非常广泛 一般地 如果题目的已知条件中有直径时 往往作出直径上的圆周角 直角 如果需要直角或证明垂直时 往往作出直 径即可解决问题 师师 为了进一步熟悉推论 我们看下面的例题 出示投影片 3 3 2B 例 如图示 AB 是 O 的直径 BD 是 O 的弦 延长 BD 到 C 使 AC AB BD 与 CD 的大小有什么关系 为什么 师生共析师生共析 由于 AB 是 O 的直径 故连接 AD 由推论直径所对的圆周角 是直角 便可得 AD BC 又因为 ABC 中 AC AB 所以由等腰三角形的三 线合一 可证得 BD CD 下面哪位同学能叙述一下理由 生生 BD CD 理由是 连结 AD AB 是 O 的直径 ADB 90 即 AD BC 又 AC AB BD CD 师师 通过我们学习圆周角定理及推论 大家互相交流 讨论一下 我们探 索上述问题时 用到了哪些方法 试举例说明 生生 在得出本节的结论过程中 我们用到了度量与证明的方法 比如说在 研究同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 还学到了分类与转化的方 法 比如说在探索圆周角定理过程中 定理的证明应分三种情况 在这三种情 况中 第一种情况是特殊情况 是证明的基础 其他两种情况都可以转化为第 一种情况来解决 再比如说 学习圆周角定义时 可由前面学习到的圆心角类 比得出圆周角的概念 P107 随堂练习随堂练习 1 为什么有些电影院的坐位排列 横排 呈圆弧形 说一说这种设计的合理 性 答 答 有些电影院的坐位排列呈圆弧形 这样设计的理由是尽量保证同排的 观众视角相等 2 如下图 哪个角与 BAC 相等 答 答 BDC BAC 3 如下图 O 的直径 AB 10cm C 为 O 上的一点 ABC 30 求 AC 的长 解 解 AB 为 O 的直径 ACB 90 又 ABC 30 AC 1 2 AB 1 2 10 5 cm 4 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形 根据下图 你能判断 哪个是半圆形 为什么 答 答 图 2 是半圆形 理由是 90 的圆周角所对的弦是直径 下面我们一起来看一个问题 做一做 出示投影片 3 3 2C 船在航行过程中 船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁 如下图 A B 表示灯塔 暗礁分布在经过 A B 两点的一个圆形区域内 C 表示一个危 险临界点 ACB 就是 危险角 当船与两个灯塔的夹角大于 危险角 时 就有可能触礁 当船与两个灯塔的夹角小于 危险角 时 就能避免触礁 1 当船与两个灯塔的夹角 大于 危险角 时 船位于哪个区域 为什 么 2 当船与两个灯塔的夹角 小于 危险角 时 船位于哪个区域 为什 么 分析 分析 这是一个有实际背景的问题 由题意可知 危险角 ACB 实际 上就是圆周角 船 P 与两个灯塔的夹角为 P 有可能在 O 外 P 有可能 在 O 内 当 C 时 船位于暗礁区域内 当 C 时 船位于暗 礁区域外 我们可采用反证法进行论证 解 解 1 当船与两个灯塔的夹角 大于 危险角 C 时 船位于暗礁区 域内 即 O 内 理由是 连结 BE 假设船在 O 上 则有 C 这与 C 矛盾 所以 船不可能在 O 上 假设船在 O 外 则有 AEB 即 C 这与 C 矛盾 所以船不可能在 O 外 因此 船只能位于 O 内 2 当船与两个灯塔的夹角 小于 危险角 C 时 船位于暗礁区域外 即 O 外 理由是 假设船在 O 上 则有 C 这与 C 矛盾 所以船不可能在 O 上 假设船在 O 内 则有 AEB 即 C 这与 C 矛盾 所以船不可能在 O 内 因此 船只能位于 O 外 注意 注意 用反证法证明命题的一般步骤 1 假设命题的结论不成立 2 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 3 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 课时小结 课时小结 本节课我们学习了圆周角定理的 2 个推论 结合我们上节课学到的圆周角 定理 我们知道 在同圆或等圆中 根据弦及其所对的圆心角 弧 弦 弦心 距之间的关系 实现了圆中这些量之间相等关系的转化 而圆周角定理建立了 圆心角与圆周角之间的关系 因此 最终实现了圆中的角 圆心角和圆周角 线段 弦 弦心距 弧等量与量之间相等关系的相互转化 从而为研究圆的 性质提供了有力的工具和方法 课后作业 课后作业 课本 P108 习题 3 5 活动与探究 活动与探究 1 如下图 BC 为 O 的直径 AD BC 于 D P 是 A AC 上一动点 连结 PB 分别交 AD AC 于点 E F 1 当A A PAAB 时 求证 AE EB 2 当点 P 在什么位置时 AF EF 证明你的结论 过程过程 1 连结 AB 证 AE EB 需证 ABE BAE 2 执果索因寻条件 要 AF EF 即要 A AEF 而 AEF BED 而要 A BED 只需 B C 从而转化为A A PCAB 结果结果 1 证明 延长 AD 交 O 于点 M 连结 AB BM BC 为 O 的直径 AD BC 于 D A A ABBM BAD BMD 又 A A ABAP ABP BMD BAD ABP AE BE 2 当A A PCAB 时 AF EF 证明 证明 A A