高中数学 圆的一个优美性质在椭圆和双曲线中的推广知识点分析 新人教A版选修2

圆的一个优美性质在椭圆和双曲线中的推广圆的一个优美性质在椭圆和双曲线中的推广 摘要 介绍了圆锥曲线作切线的简单方法 易操作 在作图中有很高的 使用价值 应进行推广 并按照这个方法完成了 圆锥曲线的切线及其作图原 理 几何画板课件 正文 笔者最近借助几何画板研究一个数学问题时 无意中发现了圆的一个优美性质 并将其推广到椭圆和 双曲线 这一性质为我们提供了过椭圆 双曲线 上任意一点作椭圆 双曲线 切线的非常简便的尺规方法 定理定理 1 1 已知AB是圆C 222 xyr 的直径 直线l与x轴垂直 过圆C上任意一点P 不同于 A B 作直 线PA与PB分别交直线l于 M N两点 记线段MN的中点为Q 则直线PQ与圆相切 证明证明 设点 00 P xy 直线l为xm 直线 PA PB的斜率分别为 12 k k 则 00000 12 22 0000 22yyx yx kk xrxrxry 直线 010 PA yyk xx 令xm 则 100 yk mxy 100 M m k mxy 同理可得 200 N m k mxy MN的中点 0 00 0 x Q mmxy y 直线PQ的斜率为 0 0 x k y 直线 0 00 0 x PQ yyxx y 即为 2 00 x xy yr 易知直线PQ与圆相切 定理定理 2 2 已知 A B是椭圆C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左右顶点 直线l与x轴垂直 过椭圆C上任意一点 P 不同于 A B 作直线PA与PB分别交直线l于 M N两点 记线段MN的中点为Q 则直线PQ与椭圆 相切 证明证明 设点 00 P xy 直线l为xm 直线 PA PB的斜率分别为 12 k k 则 2 00000 12 222 0000 22yyx yb x kk xaxaxaa y 直线 010 PA yyk xx 令xm 则 100 yk mxy 100 M m k mxy 同理可得 200 N m k mxy MN的中点 2 0 00 2 0 b x Q mmxy a y 直线PQ的斜率为 2 0 2 0 b x k a y 直线 2 0 00 2 0 b x PQ yyxx a y 即为 00 22 1 x xy y ab 易知直线PQ与椭圆相切 注注 根据定理 2 我们可以过椭圆上任意一点作椭圆的切线 操作流程略去 定理定理 3 3 已知 A B是双曲线C 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左右顶点 直线l与x轴垂直 过双曲线C上任 意一点P 不同于 A B 作直线PA与PB分别交直线l于 M N两点 记线段MN的中点为Q 则直线PQ 与双曲线相切 证明证明 方法与定理 1 的证明相似 此处略去不表 注注 根据定理 3 我们可以过双曲线上任意一点作双曲线的切线 操作流程略去 定理定理 4 4 已知A是抛物线C 2 2 0 ypx p 的顶点 直线l与x轴垂 直 过双曲线C上任意一点P 不同于A 作直线PA交直线l于 M作 PNl 垂足为N 记线段MN的中点为Q 则直线PQ与抛物线相切 证明证