2012高考数学最后冲刺 极限

用心 爱心 专心 1 最后冲刺最后冲刺 高考预测高考预测 1 数学归纳法 2 数列的极限 3 函数的极限 4 函数的连续性 5 数学归纳法在数列中的应用 6 数列的极限 7 函数的极限 8 函数的连续性 易错点易错点 1 1 数学归纳法数学归纳法 1 2012 精选模拟 已知 a 0 数列 an 满足 a1 a an 1 a n a 1 n 1 2 已知数列 an 极限存在且大于零 求 A n n a lim 将 A 用 a 表示 设 bn an A n 1 2 证明 bn 1 AbA b n n 若 bn n 2 1 对 n 1 2 都成立 求 a 的取值范围 错误解答 由 n n a lim 存在 且 A n n a lim A 0 对 aa 1 a n a 1 两边取极限得 A a A 1 解得 A 2 4 2 aa 又 A 0 A 2 4 2 aa 由 an bn A an 1 a n a 1 得 bn 1 A a Abn 1 111 1 AbA b AbAAb Aab n n nn n 即 1 AbA b b n n n 对 n 1 2 都成立 对 n 1 2 bn n 2 1 则取 n 1 时 2 1 1 b 得 2 1 4 2 1 2 aaa 14 2 1 4 2 1 22 aaaa 解得 2 3 a 错解分析 第 问中以特值代替一般 而且不知 bn 数列的增减性 更不能以 b1取代 bn 正确解答 同上 用心 爱心 专心 2 令 b1 2 1 得 2 1 4 2 1 2 aaa 2 1 4 2 1 2 aa 2 3 14 2 aaa解得 现证明当 2 3 a 时 n n b 2 1 对 n 1 2 都成立 i 当 n 1 时结论成立 已验证 2 2012 精选模拟题 已知数列 an 中 a1 3 前 n 项和 Sn满足条件 Sn 6 2an 1 计算 a2 a3 a4 然后猜想 an的表达式 并证明你的结论 错误解答 当 n 2 时 an Sn Sn 1 6 2an 1 6 2an 2an 2an 1 即 an 1 2 1 an 因为 a1 3 所以 a2 2 1 a1 2 3 a3 2 1 a2 4 3 a4 2 1 a3 8 3 由此猜想 an 2 3 1 Nn n 当 n 1 时 a1 11 2 3 3 结论成立 假设当 n k k 1 时结论成立 即 ak 1 2 3 k 成立 则当 n k 1 时 因为 ak 1 2 1 ak 所以 2 1 1 k k a a 又 a1 3 所以 an 是首项为 3 公比为2 1 的等比数列 由此得 ak 1 3 2 1 k 1 1 11 2 3 k 这表明 当 n k 1 时结论也成立 由 可知 猜想对任意 n N 都成立 用心 爱心 专心 3 错解分析 应由 a1 S1 6 2a2 求得 a2 2 3 再由 an 1 2 1 an n 2 求得 a3 4 3 a4 8 3 进 而由此猜想 an 1 2 3 n n E 用数学归纳法证明猜想时 没有利用归纳假设 1 2 3 k k a 而是根据等比列的通项公式 求得 ak 1 11 2 3 k 这种证明不属于数学归纳法 正确解答 由 a1 S1 6 2a2 a1 3 得 a2 2 3 当 n 2 时 an Sn Sn 1 6 2an 1 6 2an 2an 2an 1 a1 b b 0 an 1 1 n n an na n 2 3 4 证明 an log2 2 2n b b n 2 3 4 5 猜测数列 an 是否有极限 如果有 写出极限的值 不必证明 试确定一个正整数 N 使得当 n N 时 对任意 b 0 都有 an10 1024 取 N 1024 有 an 5 1 错解分析 1 在运用数学归纳证明时 第 n k 1 步时 一定要运用归纳假设进行不 等式放缩与转化 不能去拼凑 正确解答 证法 1 当 n 2 时 0 an 1 1 n n an ma naanana an a nnnn n n 1 1 11 1 1 1 1 11 即 于是有 naaaaaa nn 1 1 11 3 111 2 111 2312 所有不等式两边相加可得 1 3 1 2 111 1 naan 由已知不等式知 当 n 3 时有 log 2 111 2 1 n aan a1 b 2 log2 log 2 111 2 2 b nb n ban an10 n 210 1024 故取 N 1024 可使当 n N 时 都有 an0 与直线 l y x 相交于 A1 作 A1B1 l 交 x 轴于 B1 作 B1A2 l 交曲线 C 于 A2 依此类推 1 求点 A1 A2 A3和 B1 B2 B3的坐标 答案 A1 1 1 A2 2 1 2 1 A3 3 2 3 2 B1 2 0 B2 22 0 B3 2 3 0 2 猜想 An的坐标 并加以证明 答案 An 1 1 nnnn 证明略 3 lim 1 1 nn nn nBB BB 答案 设 An 0 1 nnn n bBa a 由题图 A1 1 1 B1 2 0 a1 1 b1 2 且 1 1 1 1上 在直线 nn n n n n n bxyAbn a a a a b 1 1 lim 2 2 lim 1 1 lim 1 nn nn a a BB BB n n n n nn nn n 分子分母乘以 1 1 nnnn 用心 爱心 专心 6 及 n lim 1 1 1 1 1 11 lim 1 1 n n nn nn n 3 设数列 a1 a2 an 的前 n 项的和 Sn 和 an 的关系是 Sn 1 ban 1 1 nb 其中 b 是 与 n 无关的常数 且 b 1 1 求 an和 an 1的关系式 由此猜想 an 1 1 1 1 1 32 1 n n n b bbbb a b b 把 a1 2 1 b b 代入上式得 an 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 b n b bb bb b bbb n n n n n 3 当 0 b0 b 0 当 a b 时 求数列 un 的前项 n 项和 Sn 求 n lim 1 n n u u 错误解答 当 a b 时 rn n 1 an Sn 2a 3a2 4a3 nan 1 n 1 an 则 aSn 2a2 3a3 4a4 nan n 1 an 1 两式相减 Sn 2 212 1 2 2 1 a aaanan nn n lim 1 n n u u n lim 1 1 n n ua an n lim n na 1 a 错解分析 问运用错位相减时忽视 a 1 的情况 a b 是 的条件 当 a b 时 极限显然不一定是 a 正确解答 当 a b 时 un n 1 an 这时数列 un 的前 n 项和 Sn 2a 3a2 4a3 nan 1 n 1 an 式两边同乘以 a 得 aSn 2a2 3a3 4a4 nan n 1 an 1 式减去 式 得 1 a Sn 2a a2 a3 an n 1 an 1 用心 爱心 专心 9 若 a 1 1 a Sn a aa n 1 1 n 1 an 1 a Sn 2 212 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 a aanan a aana a aa nn nn 特别提醒特别提醒 1 充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限 n lim C C C 为常数 n lim n 1 0 n lim qn 0 q 0 a 1 设 y4 17 y7 11 1 求数列 yn 的前多少项最大 最大为多少 答案 由已知得 数列为关数列 y4 17 y7 11 公差 d 0 13 0 121 225 4 4 2 3 1711 ynynnynnndnyyn数列时当时当 的前 12 项最大 最大为 144 2 设 bn 2yn sn b1 b2 bn 求 n lim 25 2 n s 的值 答案 bn 2yn Sn b1 b2 bn bn 为等比数列 且公比为 q 4 1 n lim Sn 3 2 4 3 2 1 2523 1 q S n lim 3 1 225 n S 2 1q 1 x lim n n A 2 q 1 1 用心 爱心 专心 11 易错点易错点 3 3 函数的极限函数的极限 1 2012 精选模拟 若 1 lim x 2 1 1 x b x a 1 则常数 a b 的值为 A a 2 b 4 B a 2 b 4 C a 1 b 4 D a 2 b 4 错误解答 A 1 lim x 2 1 1 x bxa 1 lim x 1 1 1 xx baax 故能约去 1 x a 2 b 4 错解分析 ax a b 中有在式 1 x 的求解中 注意 a b 的符号 正确解答 C 1 lim x 2 1 1 x bxa 1 lim x 1 1 1 xx baax 故 ax a b 中必有因式 1 x 且极限为 1 故 a 2 b 4 2 2012 精选模拟 若 1 lim x 1 1 1 x xf 则 1 lim x 22 1 xf x A 1 B 1 C 2 1 D 2 1 4 2012 精选模拟 9 3 lim 2 3 x x x A 6 1 B 0 C 6 1 D 3 1 错误解答 B 当 x 3 x 3 0 故 9 3 lim 2 3 x x x 0 错解分析 求函数极限时 分母为 0 的因式应约去才可代入 用心 爱心 专心 12 对诊下药 A 6 1 3 1 lim 3 xx 特别提醒特别提醒 1 求函数的极限时 如果 x x0即 x0是连续的点 即使函数 f x 有意义的点 只需求 f x0 的值 就是函数的极限值 2 当 f x 在 x0处不连续时 即 x x0代入后使式子 f x 无意义 应考虑约去此因式 使之有意义时再求 f x0 的值 即为极限值 3 已知函数的极限 求出函数中的系数时 应满足两个条件 即存在性与极限值同时 考虑 变式训练变式训练 1 设 f x 在 x0处可导 f x0 0 则 nlimnf x0 n 1 答案 f x0 解析 1 lim 0 n xnf n 1 1 lim 0 00 xf n xf n xf x 2 12 1 lim 2 2 1 xx x n A 2 1 B 3 2 C 0 D 2 答案 B 解析 略 3 已知 2 2 lim 2 2 x cxx x a 且函数 y aln2x x b c 在 1 e 上存在反函数 则 A b 0 B b 2e C b 0 2e D b 0 2e 答案 C 解析 略 4 设 f x 是 x 的三次多项式 已知 ax xf ax2 lim 2 ax xf ax4 lim 4 1 试求 ax xf ax3 lim 3 的值 a 为非零常数 答案 解 由于 ax2 lim 1 2 ax xf 可知 f 2a 0 同理 f 4a 0 可知 f x 必含有 x 2a 与 x 4a 有因式 由于 用心 爱心 专心 13 f x 是 x 的三次多项式 故可设 f x A x 2a x 4a x C 这里 A C 均为选定的常数 由 1 2 lim 2 ax xf ax 即 1 2 42 1 4 lim 2 4 2 lim 22 CaaaCxaxA ax CxaxaxA axax 得 即 4a2A 2aCA 1 同理 由于 1 4 24 1 4 lim 4 CaaaA ax xf ax 得 即 8a2A 2Aca 1 由 得 C 3a A 3 4 2 2 1 2 1 22 axaxax a xf a 因而 2 1 2 1 4 2 2 1 lim 3 lim 22 33 aa a axax a ax xf axax 易错点易错点 4 4 函数的连续性函数的连续性 1 2012 精选模拟 极限 0 lim xx f x 存在是函数 f x 在点 x x0处连续的 A 充分而不必要的条件 B 必要而不充分的条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要的条件 错误解答 C 0 lim xx f x 存在 f x 在点 x x0处连续 错解分析 0 lim xx f x f x0 时 则 f x 在点 x x0处不连续 用心 爱心 专心 14 111 1 3 1 110 xx x x xf 或 f x 的定义域为 1 1 而在定域内 x 1 时 1 lim xf x 0 1 lim xf x 1 1 lim xf x 不存在 故 f x 在 x 1 处不连续 f x 在定义域内不连续 特别提醒特别提醒 1 在判断函数的连续性时 充分运用它的重要条件 即 0 lim xx f x f x0 前提是 f x 在 x0处的极限要存在 2 在求函数的不连续点时 或不连续区间 首先是定义之外的点或区域一定不连续 往往只须考虑定义域内的不连续部分 变式训练变式训练 1 f x 在 x 1 处连续 且 1 lim 1 x xf x 2 则 f 1 等于 A 1 B 0 C 1 D 2 答案 B 解析 略 2 1 lim xx xx arctan4 2ln 2 用心 爱心 专心 15 4 求函数 f x 1 2 1 log 1 2 xx xx 的不连续点和连续区间 答案 解 不连续点是 x 1 连续区间是 1 1 知识导学知识导学 难点难点 1 1 数学归纳法在数列中的应用数学归纳法在数列中的应用 1 已知数列 an 满足条件 n 1 an 1 n 1 an 1 且 a2 6 设 bn an n n N 1 求 bn 的通项公式 2 求 n lim 2 1 2 1 2 1 2 1 432 n bbbb 的值 解析 1 运用归纳 猜想 证明 2 裂项法先求数列的和 再求和的极限 答案 1 1 当 n 1 时 代入已知式子中 得 a1 1 当 n 2 时 得 a3 6 同理可得 a4 28 k i 1 f 2k f 2i 2 1 kk 解析 运用数学归纳法证明 答案 1 当 k 1 时 左 0 右 命题成立 2 假设 k n 时 不等式成立 即 n i 1 f 2k f 2i 2 1 nn 则 k n 1 时 1 1 n i f 2k 1 f 2i 1 1 n i f 2k 1 f 2i f 2n f 2i 1 1 n i f 2k 1 f 2i 2 1 nn n i 1 f 2k 2n f 2i 2 1 nn n 2 1 nn 2 1 nn 故当 k n 1 时 命题也成立 用心 爱心 专心 16 由 1 2 可知原不等式成立 难点难点 2 2 数列的极限数列的极限 1 已知 x x x 1 6的展开式的第五项等于2 15 则 n lim x 1 x 2 x n 等于 A 0 B 1 C 2 D 1 解题思路 利用二项式的通项公式求出 x 的值 再求数列和的极限 答案 B T5 C46 x 1 4 2 3 x 2 15x 1 2 15 x 1 2 1 lim x 1 x 2 x n lim n 2 1 8 1 4 1 2 1 1 2 1 1 2 1 选 B 2 设 xn 1 nnn 求数列 xn 的极限 解析 由于 1 nn 的极限都不存在 所以应先将 xn 变形 使之变成极限可求的 数列 答案 因为 xn 1 nnn nn n nn nnnn n 11 1 1 用 n除分子和 分母 得 xn 1 1 1 1 n 而 1 1 1 1 1 nn 由 1 1 1 n 得知 1 1 1 n n 再应用除法运算 即求得 n lim xn n lim 2 1 1 1 1 1 n 3 已知 a b 是不相等的正数 若 n lim nn nn ba ba 11 2 则 b 的取值范围是 A 0 b 2 B 0 b2 解析 B 讨论 a 与 b 的大小后 分子 分母同除以 11 nn ba或 后再求由极限值求范 围 答案 当 a b 时 n lim nn na ba ba 11 n lim 2 11 1 1 a a b aa a b n n 0 b 2 当 a b 时 n lim nn na ba ba 11 n lim bb a b b a n n 1 1 1 1 b 0 不可能为 2 故 a b 不成立 b 的范围是 0 2 故选 B 用心 爱心 专心 17 难点难点 3 3 函数的极限函数的极限 1 1 1sin sinlim 1sin 1sin2sin lim 2 2 3 2 xx x xx nn 2 求 4 2 lim 4 x x n 解析 将分子有理化 使分子分母极限存在 答案 4 2 lim 4 x x x 4 1 2 1 2 4 4 lim 2 4 2 2 lim 44 xxx x xx xx xx 难点难点 4 4 函数的连续性函数的连续性 1 函数 f x 在 x0处有定义是 0 lim xx fx 存在的 A 充分不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 利用极限在某点存在性判断 答案 D 函数在 x0处有定义 但在此点处 极限不一定存在 反之也不一定 如图 1 2 2 设 f x 0 0 11 xbxa x x x 当 a 取何值时 函数 f x 是连续的 解析 利用连续的存在性的充要条件 即 0 lim xx x f x0 以及连续的定义 答案 x0 连续 只须判断 当 x 0 时 函数也连续时 从而求 a 的值 f x 在 x 0 处有定义 且 0 lim xf x 2 1 0 lim xf x a 只有当 a 2 1 时 0 lim xx f x 才存在 且值为2 1 又 f 0 a 当 a 2 1 时 f x 是连续函数 特别提醒特别提醒 1 深刻理解函数 f x 在 x0处连续的概念 即函数 f x 在 x0处有定义 f x 在 x0处有 极限 0 lim xx f x f x0 函数 f x 在 x0处连续反映在图像上是 f x 在 x0处是不间断的 2 由连续的定义 可以得到计算极限的一种方法 如果 f x 在定义区间内是连续的 用心 爱心 专心 18 则 0 lim xx f x f x0 只要求出函数值 f x0 即可 典型习题导练典型习题导练 1 已知 f n 2n 7 3n 9 存在自然数 m 使得对任意 n N 都能使 m 整除 f n 则最大 的 m 的值为 A 30 B 26 C 36 D 6 答案 C 解析 f 1 36 f 2 108 3 36 f 3 360 10 36 f 1 f 2 f 3 能 被 36 整除 猜想 f n 能被 36 整流器除 证明 n 1 2 时 由上得证 设 n k kl 2 时 f k 2k 7 3k 9 能被 36 整除 则 n k 1 时 f k 1 f k 2k 9 3k 1 2k 7 3k 6k 27 3k 2k 7 3k 4k 20 3k 36 k 5 3k 2 k 2 1 kf 能被 36 整除 f 1 不能被大于 36 的数整除 所求最大的 m 的值等于 36 2 记二项式 1 2x n展开式的各系数和为 an 其二项系数为 b 则 nn nn nab ab lim 等于 A 2 3 B 3 2 C 1 D 0 答案 A 解析 略 f x 2 3 11 111 0 11 11 1 11 11 1 11 11 1 11 11 323 3332 332 f x xx xxxx xxxx 用心 爱心 专心 19 6 观察下列式子 4 7 4 1 3 1 2 1 1 3 5 3 1 2 1 1 2 3 2 1 1 22222 则可归纳出 答案 1 11 112 11 1 1 2 3 2 1 22 即 12 122 12 1 1 1 3 1 2 1 1 2222 n 归纳为 1 1 12 1 1 3 1 2 1 222 Nn n n n 7 x x x cos sin1 lim 2 答案 0 解析 略 8 an 是 3 x n 的展开式中 x 项的系数 n 2 3 4 则 n lim n n aaa 333 3 3 2 2 答案 18 解析 略 9 n lim 1 1 2 n n an b 3 则 a b 比较 Sn与3 1 logabn 1的大小 并证明你的结论 答案 证明 由 bn 3n 2 知 Sn loga 1 1 loga 1 4 1 loga 1 23 1 n loga 1 1 1 4 1 1 23 1 n 而 13 23 1 1 4 1 1 11 log 3 1 13loglog 3 1 3 1 3 1 的大小与比较的大小与于是比较 n n bSnnb nna a a 取 n 1 有 1 1 333 11348 用心 爱心 专心 20 取 n 2 有 1 1 1 4 1 333 12378 推测 1 1 1 4 1 1 13 23 1 3 n n 当 n 1 时 已验证 式成立 假设 n k k 1 时 式成立 即 1 1 1 4 1 1 3 13 23 1 k k 则当 n k 1 时 1 1 1 4 1 1 13 1 1 13 2 1 3 1 1 23 1 3 k k kk 3 13 13 23 k k k 1 1 3 13 1 1 23 1 1 4 1 1 11 1 1 34323 13 13 0 13 19 13 13 43 23 43 13 13k 23k 3 3 3 3 22 23 3333 k kk kkk k k k k k kkk kk 从而 即当 n k 1 时 式成立由 知 式任意正整数 n 都成立 于是 当 a 1 时 Sn 3 1 logabn 1 当 0 a 1 时 Sn0 且 a 1 若数列 2 f a1 f 2 f an 2n 4 n N 成等差数列 1 求数列 an 的通项 an 求 q 的取值范围 用心 爱心 专心 21 答案 解 a1 a2 q a1 2 a2 0 q 0 a2 2 9 anan 1 qn an 1 an 2 q an 于是 a1 2 a3 2 q a 2 qn 猜想 a2n 1 3 2 1 2 1 nqn 综合 猜想通项公式为 2 2 1 1212 Nkkqkn Nkknqk an 时 时 下证 1 当 n 1 2 时猜想成立 2 设 n 2k 1 时 a2k 1 2 qk 1则 n 2k 1 时 由于 a2k 1 q a2k 1 a2k 1 2 qk即 n 2k 1 成立 可推知 n 2k 1 也成立 设 n 2k 时 a2k 2 1 qk 则 n 2k 2 时 由于 a2k 2 q a2k 所以 a2k 2 2 1 qk 1 这说明 n 2k 成立 可推知 n 2k 2 也成立 综合所述 对一切自然数 n 猜想都成立 13 若 Sn和 Tn分别表示数列 an 和 bn 的前 n 项和 对任意正整数 an 2 n 1 Tn 3S 4n 求数列 bn 的通项公式 答案 an 2 n 1 a1 4 d 2 Sn n2 3n Tn 3Sn 4n 3n2 5n 当 n 1 时 T1 b1 3 5 8 当 n 2 时 bn Tn 用心 爱心 专心 22 Tn 1 6n 2 bn 6n 2 在平面直角坐标系内 直线 ln的斜率为 bn 且与曲线 y x2有且仅一个交点 与 y 轴交于 Dn 记 dn 3 1 1nn DD 2n 7 求 dn 答案 设 ln y bnx m 由 0 2 2 由于仅有一个公共点得 mxbx xy mxby n n 13 26 13 4 26 4 0 4 22 22 2 nxnyln nb mmb n n n