（6年真题推荐）2008-2013年江苏省高考数学 真题分类汇编 选做题

1 十四 选做题十四 选做题 1 1 2 2008008 江苏卷江苏卷 2121 选做题 从 A B C D 四个中选做 2 个 每题10 分 共 20 分 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 设 ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E BAC的平分线与BC交于点 D 求证 2 EDEB EC A B 选修 4 2 矩阵与变换 在平面直角坐标系中 设椭圆在矩阵 A 对应的变换作用下得到曲线xOy 22 41xy 2 0 0 1 F 求F的方程 C 选修 4 4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系中 点是椭圆上的一个动点 求的最xOy P xy 2 2 1 3 x y Sxy 大值 D 选修 4 5 不等式证明选讲 设a b c为正实数 求证 333 111 2 3abc abc 答案 BCED A 2 2 2 20092009 江苏卷江苏卷 2121 选做题选做题 在 A B C D 四小题中只能选做两题只能选做两题 每小题 10 分 共计 20 分 请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 在四边形 ABCD 中 ABC BAD 求证 AB CD 解析 本小题主要考查四边形 全等三角形的有关知识 考查推理论证能力 满分 10 分 证明 由 ABC BAD 得 ACB BDA 故 A B C D 四点共圆 从而 CBA CDB 再由 ABC BAD 得 CAB DBA 因此 DBA CDB 所以 AB CD B 选修4 2 矩阵与变换 求矩阵 32 21 A 的逆矩阵 解析 本小题主要考查逆矩阵的求法 考查运算求解能力 满分 10 分 解 设矩阵 A 的逆矩阵为 xy zw 则 3210 2101 xy zw 即 323210 2201 xzyw xzyw 故 321 320 20 21 xzyw xzyw 解得 1 2 2 3xzyw 3 从而 A 的逆矩阵为 1 12 23 A C 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 1 1 3 xt t yt t t为参数 0t 求曲线 C 的普通方程 解析 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识 考查转化问题的能力 满分 10 分 解 因为 2 1 2 xt t 所以 2 1 2 3 y xt t 故曲线 C 的普通方程为 2 360 xy D 选修 4 5 不等式选讲 设a b 0 求证 33 32ab 22 32a bab 解析 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法 考查代数式的变形能力 满分 10 分 证明 33222222 32 32 3 2 32 aba babaabb baabab 因为a b 0 所以ab 0 22 32ab 0 从而 22 32 abab 0 即 33 32ab 22 32a bab 3 3 20102010 江苏卷江苏卷 2121 选做题选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题请选定其中两题 并在相应的并在相应的 答题区域内作答答题区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 AB 是圆 O 的直径 D 为圆 O 上一点 过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长 线于点 C 若 DA DC 求证 AB 2BC 解析 本题主要考查三角形 圆的有关知识 考查推理论证能力 方法一 证明 连结 OD 则 OD DC 又 OA OD DA DC 所以 DAO ODA DCO DOC DAO ODA 2 DCO 所以 DCO 300 DOC 600 B O C A D 4 所以 OC 2OD 即 OB BC OD OA 所以 AB 2BC 方法二 证明 连结 OD BD 因为 AB 是圆 O 的直径 所以 ADB 900 AB 2 OB 因为 DC 是圆 O 的切线 所以 CDO 900 又因为 DA DC 所以 DAC DCA 于是 ADB CDO 从而 AB CO 即 2OB OB BC 得 OB BC 故 AB 2BC B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 0 0 B 2 0 C 2 1 设 k 为非零实数 矩阵 M 10 0k N 01 10 点 A B C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1 B1 C1 A1B1C1的面积是 ABC 面积的 2 倍 求 k 的值 解析 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点 考查运算求解能力 满分 10 分 解 由题设得 0010 011010 kk MN 由 002200 10001022 kk 可知 A1 0 0 B1 0 2 C1 k 2 计算得 ABC 面积的面积是 1 A1B1C1的面积是 k 则由题设知 2 12k 所以 k 的值为 2 或 2 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在极坐标系中 已知圆 2cos 与直线 3 cos 4 sin a 0 相切 求实数 a 的值 解析 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识 考查转化问题的能力 满分 10 分 解 2 2 cos 圆 2cos 的普通方程为 2222 2 1 1xyx xy 直线 3 cos 4 sin a 0 的普通方程为 340 xya 5 又圆与直线相切 所以 22 3 14 0 1 34 a 解得 2a 或8a D 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 设a b 是非负实数 求证 3322 abab ab 解析 本题主要考查证明不等式的基本方法 考查推理论证的能力 满分 10 分 方法一 证明 332222 abab abaaabbbba 55 abab 2432234 abaabababb 因为实数 a b 0 2432234 0 0abaabababb 所以上式 0 即有 3322 abab ab 方法二 证明 由 a b 是非负实数 作差得 332222 abab abaaabbbba 55 abab 当ab 时 ab 从而 55 ab 得 55 0abab 当ab 时 ab 从而 55 ab 得 55 0abab 所以 3322 abab ab 4 4 20112011 江苏卷江苏卷 2121 选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题 并在答题卡 指定区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 圆与圆内切于点 其半径分别为与 1 O 2 OA 1 r 212 r rr 圆的弦交圆于点 不在上 1 OAB 2 OC 1 OAB 求证 为定值 AB AC 证明 连结AO1 并延长分别交两圆于点 和点 连结 BD CE 因为圆 O1与圆 O2内切于点 A 所以点 O2在 AD 上 故 AD AE 分别为圆 O1 圆 O2的直径 从而 所以 BD CE 2 ABDACE 于是 11 22 2 2 rrABAD ACAErr 21 A第图 6 所以 AB AC 为定值 B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵 向量 求向量 使得 11 21 A 1 2 2 A 解 2 111132 212143 A 设 从而 2 321 432 xx A yy 由得 321 432 xy xy 解得 1 1 2 2 xy 所以 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系中 求过椭圆 为参数 的右焦点且与直线xOy 5cos 3sin x y 为参数 平行的直线的普通方程 42 3 xt yt t 解 由题设知 椭圆的长半轴长 短半轴长 从而 所以右焦5a 3b 22 4cab 点为 4 0 将已知直线的参数方程化为普通方程 220 xy 故所求直线的斜率为 因此其方程为 1 2 1 4 240 2 yxxy 即 D 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 解不等式 21 3xx 解 原不等式可化为 210 210 21 3 21 3 xx xxxx 或 解得 141 2 232 xx 或 所以原不等式的解集是 4 2 3 xx 5 5 20132013 江苏卷江苏卷 2121 选做题 选做题 第 21 题 本题包括 A B C D 四小题 请选定 其中两题 并在相应的答题区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 21 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 和分别与圆相切于点 经过圆心 且ABBCOD C ACO2BCOC 7 求证 2ACAD 21 A 证明 连接 OD AB 与 BC 分别与圆 O 相切于点 D 与 C 又 0 90 ACBADOAA ADORT ACBRT 又 BC 2OC 2OD AC 2AD AD AC OD BC 6 20132013 江苏卷江苏卷 2121 选做题 21 B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵 求矩阵 1 01 2 020 6 AB BA 1 答案 21 B 解 设矩阵 A 的逆矩阵为 则 即 dc ba 20 01 dc ba 10 01 dc ba 22 10 01 故 a 1 b 0 c 0 d 矩阵 A 的逆矩阵为 2 1 2 1 0 01 1 A BA 1 2 1 0 01 60 21 30 21 7 7 20132013 江苏卷江苏卷 2121 选做题 21 C 选修4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 1