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初等数学复习一、 实数系统及实数的绝对值：1、实数系统表：实数*实数集是稠密的即任两实数间都有实数；任意一个实数数轴上的点。2、实数的绝对值：（1）定义：，（2）几何意义：实数的绝对值在数轴上表示与对应的一点到原点的距离。（3）几个关系式： 设则 。 。 二、 初等代数中的一些知识：1、应熟记的公式：一些等式 (1) （2） （3） (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1+2+3+ (10) 1+3+5+ (11) (12) 一些不等式：基本性质：1）如果则。2）如果则。3）如果则。4）如果则。重要不等式：设，则，一般地：，即算术平均值不小于几何平均值。2、一元二次方程(1) 一般形式: ()(2) 求根公式: (3) 根的判别式: 有不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根(4) 根与系数的关系:设是一元二次方程的两个根,则 , 3、集合代数初步：（1）集合的基本概念：集合：（描述定义）把具有某种属性的一些对象看成一个整体，就形成一个集合。一般用大写字母等表示集合。元素：集合里的各个对象.一般用小写字母等表示元素.对于一个集合和确定的元素,它们之间有以下两种关系中的一种:1) 是集合中的元素,则说属于,用表示,或2) 不是集合中的元素,则说不属于,用表示. 集合的表示方法有两种: 列举法:把集合中的元素一一列举出来.如由元素组成集合.则可表示为:.描述法:若集合是由具有某种性质的元素的全体组成的,则可表示为:如:设都是实数,且, , ,设是任一正数,点的邻域记为, .(点称为邻域的中心, 称为邻域的半经)点的去心邻域记为, (即点的邻域中去掉中心)(2) 特殊的和常用的集合空集:不含任何元素的集合.记为.全体非负整数的集合(自然数)记作,即.全体正整数的集合记作,即.全体整数的集合记作,即全体有理数的集合记作即全体实数的集合记作即,集合为全集或基本集即,一般地取=（3）集合间的关系集合是集合的子集记为(表示任意):显然有: 若,则称集合是集合的真子集,记作,例如若(4) 集合的运算集合的并(集) : 集合的交(集) : 集合的差(集) : 集合的余集(补集): . 如集合设、为任意三个集合，则有下列式子成立： 1）， 2）， 3），；， 4）交换律：， 5）结合律：， 6）分配律： 7）对偶律：， 四、 函数 1、函数的定义： 设是两个变量，是一个给定的数集，如果对于每一个，变量按照一定的法则总有唯一确定的数值与之对应，那么称是的函数，记为。称为自变量，称为因变量。数集即自变量的取值范围称为这个函数的定义域，与对应的值叫做函数值。函数值的全体称为这个函数的值域。练一练：求：的定义域 2、函数的表示方法：（1）解析法：用一个等式表示两个变量间的函数关系的方法。（2）列表法：用列表表示两个变量间的函数关系的方法。（3）图像法：用图形表示两个变量间的函数关系的方法。3、函数的性质（1）单调性在某区间上，对于自变量的任意两个值，当时，都有称函数是在此区间上的增函数（减函数）。增函数的图形是沿轴的正向上升的。减函数的图形是沿轴的正向下降的。如果函数在某区间上是增函数或减函数，就称在此区间上是单调函数。这个区间叫做函数的单调区间。（2）奇偶性定义对于函数的定义域内任意一个值都有，则称函数是奇函数。奇函数若在=0有定义，则对于函数的定义域内任意一个值都有 ，则称函数是偶函数。练一练：证明：是奇函数。图形特征：奇函数的图形关于轴对称，偶函数的图形关于轴对称。任何一个函数均能表示为一个偶函数和一个奇函数的和。（为什么？）（2）有界性定义设函数在区间内有定义(可以是函数的定义域,也可以是定义域的一部分).如果存在一个正数,对于所有的,恒有,则称在区间内有界.如果不存在这样的正数,则称在区间内无界.在定义域内有界的函数称为有界函数.想一想:你学过那些有界函数.4、反函数定义设有函数，如果对于其值域中的每一个值，都有确定的值和它对应，这样就有为的函数，这个函数叫做原来函数的反函数。记作。习惯上都用表示自变量，表示函数。因此把函数的反函数记作。的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。函数与反函数的图像关于直线对称。练一练：求的反函数。5、基本初等函数（1）正比例函数、反比例函数及一次函数正比例函数函数常数）叫做正比例函数，它的图像是经过原点（0，0）和点的一条直线。定义域为。当，它的图像在 象限内，且是 函数；（请填充）当，它的图像在第二、四象限内，且是减函数。反比例函数函数常数）叫做反比例函数，它的定义域为 ，它的图像是 。（请填充）当，它的图像分别在 象限，且每个分支，随的增大而减小；当，它的图像分别在 象限，且每个分支，随的 而 。（请填充）注意：图像的每个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴。一次函数函数为常数）叫做一次函数，定义域为。它的图像是经过且平行于直线的一条直线。二次函数函数为常数）叫做二次函数，定义域为，图像是一条抛物线。它的图像和性质如下： 图像开口方向顶点坐标 对称轴 直线 单调性最大值与 最小值 的解或（其中为的解） 的解 或（未填部分请同学们填完整）练一练：已知二次函数有最小值，且抛物线过原点，求二次函数的表达式。幂函数函数为常数）叫做幂函数。常用的幂函数有： ， ，它们的图像为：（请描绘）指数函数1）定义：函数，叫做指数函数。2）定义域： （请填上）。3）值域：。4）图像与性质：图形：图形：图象过（0，1）点为增函数。（请把表格填完整）。5）指数的性质：正整数指数幂：零指数幂：分数指数幂：负数指数幂：实数指数幂的运算法则：对数函数1）定义：函数，叫做对数函数。2）定义域： （请填上）。3）值域：。4）图像与性质：图形：图形：图象过（1，0）点为增函数。（请把表格填完整）。特别地：以无理数=2.7182818289045为底的对数函数记为：5）对数的性质：1的对数=0。即底数的对数=1。即零和负数没有对数。即当时，没有意义。6）对数恒等式：7）对数运算法测： 8）对数换底公式：注意：指数函数与对数函数互为反函数。练一练：求的反函数。判别函数的奇偶性。三角函数1）定义：设为任意一个角，它的始边与轴的正向重合，在角的终边任取一点，它与原点的距离为，那么角的六个三角函数定义如下：正弦函数， 余弦函数，正切函数， 余切函数，正割函数， 余割函数2）三角函数的符号：第一象限：全部正 ；第二象限：正，其余负；第三象限：正，其余负；第三象限：正，其余负。3）特殊角的三角函数值：020100100101不存在0不存在0不存在10不存在0不存在4）同角三角函数的基本关系：倒数关系： =1，=1，=1商的关系：，平方关系：，5）三角函数式的恒等变换：1两角和（差）的正弦、余弦、正切公式：，。2倍角公式：，。3半角公式：1+，1，。4积化和差公式：，。6和差化积公式：， ，。6）三角函数的图像与性质：1、图像：性质:定义域：.值域: -1,1, 最大值为1, 最小值为-1。周期性：周期为。奇偶性：奇函数，图形关于原点对称。2、图像：性质:定义域：.值域: 周期性：奇偶性： （类似于把它填完整 ）3、图像：性质:定义域：的一切实数。值域: 无最大值和最小值。周期性：周期为。奇偶性：奇函数，图形关于原点对称。4、图像：性质:定义域： 值域:周期性： 奇偶性： （类似于把它填完整 ）反三角函数（1）定义正弦函数在上的反函数叫做反正弦函数的主值。记作。余弦函数在上的反函数叫做反余弦函数的主值。记作。正切函数在上的反函数叫做反正切函数的主值。记作。余切函数在上的反函数叫做反余切函数的主值。记作。（2）性质反正弦函数定义域：-1，1，值域：。反余弦函数定义域：-1，1，值域：。反正切函数定义域：，值域：。反余切函数定义域：，值域：。：练一练：求函数的定义域。五、 平面解析几何1、两个基本公式：两点间的距离公式 设坐标平面内任意两点，则这两点间的距离为=线段的定比分点公式 设点把线段分成两条有向线段和，它们的比为常 数），点叫做的定比分点。设，点分所成的 定比为，则。当是的中点时，=1，从而得中点公式： 2、直线（1）直线的倾角与斜率倾角坐标面内一条直线的向上方向与轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾角。当直线平行于轴时，它的倾角为0度，因此倾角的取值范围为。斜率倾角的正切叫做这条直线的斜率。通常用表示。当直线垂直于轴时，倾角=，它的斜率不存在。已知两点是直线上任意两点，则这条直线的斜率为。（3）直线方程点斜式方程设直线的斜率为，且过点，则直线方程：斜截式方程直线在轴上截距为，斜率为，则直线方程：两点式方程设直线过两点，则直线方程：截距式方程设直线在轴、轴上截距分别为，则直线方程：一般式方程不同时为0）几条特殊直线方程平行于轴的直线方程：；平行于轴的直线方程：轴：；轴：（4）两条直线的位置关系：两条直线的斜率为，两条直线平行；两条直线垂直；（5）点到直线的距离公式点到直线的距离公式：练一练：已知三角形的顶点求：边上的中线所在的直线方程 边上的高所在的直线方程边上的高的长度。 2、二次曲线 (1)圆 定义：平面内到定点距离等于定长的动点的轨迹叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。圆的标准方程圆心，半径为的圆的方程圆心在原点，半径为的圆的方程 圆的一般方程练一练：求圆的圆心坐标和半径。（2）请写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。3、参数方程参数方程的概念 在平面坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标，都可以表示为某一个变量的函数且对于的每一个允许值，由这方程所确定的点的轨迹为一条曲线，那么这个方程组就叫该曲线的参数方程，变量叫作参数。几种常见的曲线的参数方程：圆心在原点，半径为的圆的参数方程：圆心在，半径为的圆的参数方程：中心在原点，焦点在轴上，长半轴为，短半轴为的椭圆的参数方程：摆线的参数方程：摆线也称为旋轮线。 4、极坐标（1）极坐标系在平面内取一个定点O,引一条射线OX，再选定一个单位长度和角度的正方向（取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系。定点O叫做极点，射线OX叫