高三之求解圆锥曲线离心率取值及范围方法归纳

1 2012 届高三之求解圆锥曲线离心率取值及范围方法归纳 18 一 直接根据题意建立不等关系求解 w w w k s 5 u c o m a c 例 1 若双曲线 a 0 b 0 上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左 22 22 1 xy ab 3 2 a 准线的距离 则双曲线离心率的取值范围是 A 1 2 B 2 C 1 5 D 5 解析 由题意可知即解得故选 B 22 33 22 aa aea cc 331 1 22 e e 2e 练习 1 椭圆的焦点为 两条准线与轴的交点分别为 22 22 1 0 xy ab ab 1 F 2 Fx 若 则该椭圆离心率的取值范围是 MN 12 MNFF 1 0 2 2 0 2 1 1 2 2 1 2 解析 由题意得 故选 D 2 2 2 2 a c c 2 2 e 二 借助平面几何关系建立不等关系求解 a c 例 2 设分别是椭圆 的左 右焦点 若在其右准线上存 12 FF 22 22 1 xy ab 0ab 在使线段的中垂线过点 则椭圆离心率的取值范围是 P 1 PF 2 F A B C D 2 0 2 3 0 3 2 1 2 3 1 3 分析 通过题设条件可得 求离心率的取值范围需建立不等关系 如何建立 2 2PFc 解析 线段的中垂线过点 又点 P 在右准线上 1 PF 2 F 2 2PFc 2 2 a PFc c 即 故选 D 2 2 a cc c 3 3 c a 3 1 3 e 点评 建立不等关系是解决问题的难点 而借助平面几何知识相对来说比较简便 三 利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解 a c 例 3 双曲线 a 0 b 0 的两个焦点为 F1 F2 若 P 为其上一点 且 22 22 1 xy ab PF1 2 PF2 则双曲线离心率的取值范围为 A 1 3 B C 3 D 1 3 3 分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系 题设是双曲线一点与两焦点之间关系应 想到用双曲线第一定义 如何找不等关系呢 解析 PF1 2 PF2 PF1 PF2 PF2 PF2 即 2aca 2aca 3ac 所以双曲线离心率的取值范围为 故选 B 13e 点评 本题建立不等关系是难点 如果记住一些双曲线重要结论 双曲线上任一点到其对 应焦点的距离不小于 则可建立不等关系使问题迎刃而解 ca 练习 1 已知双曲线的左 右焦点分别为 点 P 在双曲线的 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 F F 右支上 且 则此双曲线的离心率 e 的最大值为 12 4 PFPF A B C D 4 3 5 3 2 7 3 2 PF1 4PF2 PF1 PF2 3 PF2 PF2 即 2aca 2 3 aca 5 3 ac 所以双曲线离心率的取值范围为 故选 B 5 1 3 e 练习 2 已知 分别为 的左 右焦点 P 为双曲线右支上 1 F 2 F 22 22 1 xy ab 0 0 ab 任一点 若的最小值为 则该双曲线的离心率的取值范围是 2 1 2 PF PF 8a A B C D 1 2 1 3 2 3 3 解析 欲使最小值为 2 2 2 122 2 222 2 4 42 448 PFaPFa PFaaaa PFPFPF 8a 需右支上存在一点 P 使 而即所以 2 2PFa 2 PFca 2aca 13e 例 5 已知椭圆右顶为 A 点 P 在椭圆上 O 为坐标原点 且 OP 垂 22 22 1 0 xy ab ab 直于 PA 求椭圆的离心率 e 的取值范围 解 设 P 点坐标为 则有 00 xy 22 00 22 22 000 1 0 xy ab xaxy 消去得若利用求根公式求运算复杂 应注意到方程的 2 0 y 222322 00 0abxa xa b 0 x 一个根为 a 由根与系数关系知由得 222 00 2222 a bab axx abab 0 0 xa 2 1 2 e 例 6 椭圆 的两焦点为 椭圆上存在点G 22 22 1 0 xy ab ab 12 0 0 FcF c 使 求椭圆离心率的取值范围 M 12 0FM F M e 解析 设 222 12 0M x y FM F Mxyc 将代入 得 求得 2 222 2 b ybx a 22 22 2 a b xa 22 0 xa 2 1 2 e 点评 中 是椭圆中建立不等关系的重要依据 在求解参数 22 22 1 0 xy ab ab xa 范围问题中经常使用 应给予重视 四 运用数形结合建立不等关系求解 a c 例 7 已知双曲线的右焦点为 F 若过点 F 且倾斜角为的直 22 22 1 0 0 xy ab ab 60 线与双曲线的右支有且只有一个交点 则此双曲线离心率的取值范围是 A B C D 1 2 1 2 2 2 解析 欲使过点 F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则该直线的60 斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 即即 b a b a 33ba 222 3caa 即故选 C 22 4ca 2e 五 运用函数思想求解离心率 3 例 8 设 则双曲线的离心率 e 的取值范围是1 a 22 22 1 1 xy aa A B C D 2 2 5 2 5 2 5 2 解析 由题意可知 22 11 1 1 1 a e aa 1 a 1 1 12 a 故选 B 25e 六 运用判别式建立不等关系求解离心率 例 9 在椭圆上有一点 M 是椭圆的两个焦点 若 22 22 1 0 xy ab ab 12 F F 求椭圆的离心率 2 2 1 2MFMFb 解析 由椭圆的定义 可得 又 所以 2 1 2MFMFa 2 2 1 2MFMFb 是方程的两根 由 可得 2 1 MFMF 22 220 xaxb 22 2 4 20ab 即所以 所以椭圆离心率的取值范围是 22 2ab 222 2 aca 2 2 c e a 2 1 2 例 10 设双曲线 C 相交于两个不同的点 A B 求1 0 1 2 2 2 yxlay a x 与直线 双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 解析 由 C 与 相交于两个不同的点 故知方程组l 有两个不同的实数解 消去 y 并整理得 1 1 2 2 2 yx y a x 1 a2 x2 2a2x 2a2 0 所以解得 2 422 10 48 1 0 a aaa 021 aa 且 双曲线的离心率 2 2 11 1 a e aa 021 aa 且 6 2 2 ee 且 所以双曲线的离心率取值范围是 6 2 2 2 总结 在求解圆锥曲线离心率取值范围时 一定要认真分析题设条件 合理建立不等关系 把握好圆锥曲线的相关性质 记住一些常见结论 不等关系 在做题时不断总结 择优解 题 尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等 巩固练习例 1 设 则二次曲线的离心率的取值范围为 A B C D 4 解 由 知 故所给的二次曲线是双曲线 由双曲线的离心率 e 1 排除 A B C 故选 D 2 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合 则该双曲 线的离心率为 A B C D 解 抛物线的准线是 即双曲线的右准线 则 解得 故选 D 3 点 P 3 1 在椭圆的左准线上 过点 P 且方向为 a 2 5 的光线 经直线反射后通过椭圆的左焦点 则这个椭圆的离心率为 A B C D 解 由题意知 入射光线为 关于的反射光线 对称关系 为 则解得 则 故选 A 三 构造 a c 的齐次式 解出 e 5 根据题设条件 借助 a b c 之间的关系 沟通 a c 的关系 特别是齐二次式 进而得 到关于 e 的一元方程 从而解得离心率 e 4 已知 F1 F2是双曲线的两焦点 以线段 F1F2为边作正三角 形 MF1F2 若边 MF1的中点在双曲线上 则双曲线的离心率是 A B C D 解 如图 设 MF1的中点为 P