2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 20112011 年温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷年温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷20112011 年年 4 4 月月 1010 日日 本卷满分为 150 分 考试时间为 120 分钟 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 某同学使用计算器求 50 个数据的平均数时 错将其中的一个数据 150 输入为 15 那 么由此求出的平均值与实际平均值的差是 A B C 3 D 72 72 0 3 2 设集合 则等于 1 2 log 1 2 Axx 2 21 x x Bx AB A B 0 13 x xx 或 3 x x C D 10 13 xxx 或 01 xx 3 已知 则与的关系是 sinsin A 或 B 2 kkZ C D 21 kkZ 1 k kkZ 4 下列函数中在区间上单调递增的是 0 4 A B 2 1 logsin 62 yx 2 1 logsin 2 62 yx C D 1 sin 2 62 yx 3 sin 6 yx 5 若则 sin50tan50sin50tan50 y xxy A B C D 0 xy 0 xy 0 xy 0 xy 6 函数的零点个数为 ln 1 3f xxx A B C D 0123 7 记为坐标原点 已知向量 又有点 满足 则O 3 2 OA 0 2 OB C 5 2 AC ABC 的取值范围为 A B C D 0 6 或0 3 或0 2 或 3 或 6 8 已知 则是直角三角形的概率是 kZ 2 2 AC 2 ABk 5AB ABC 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 A B C D 1 9 2 9 1 8 1 4 9 设 其中 则的最小值为 22 2221Sxxyyx xR yR S A B C D 11 3 4 0 10 点在轴上 若存在过的直线交函数的图象于两点 满足 QxQ2xy A BQAAB 则称点为 点 那么下列结论中正确的是 Q A 轴上仅有有限个点是 点 B 轴上所有的点都是 点 xx C 轴上所有的点都不是 点 x D 轴上有无穷多个点 但不是所有的点 是 点 x 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 7 分 共 49 分 11 同时抛掷三枚均匀的硬币 出现两个正面一个背面的概率是 12 如图执行右面的程序框图 那么输出的值为 S 13 函数的值域是 其中表示不超过实数 sin 3 x f x x 的 x 最大整数 14 已知定义域为的函数对任意都满足条件 R yf x xR 与 则对函数 4f xfx 或或 或或 022f xf x 或或或或 0 yf x 下列结论中必定正确的是 填上所有正确结论的序号 是奇函数 是偶函数 yf x yf x 是周期函数 的图象是轴对称的 yf x yf x 15 若为整数 关于的方程有整数根 则 www nx 2011 2011 10 xxn n 16 是定义域为的函数 若函数有且仅有 yf x R 1 5g xf xfx yg x 4 个不同的零点 则这 4 个零点之和为 17 求值 sin6sin78sin222sin294 开 始 0 1Si 2 1 3 SSi 2ii 10 i S输出 否 是 12 题图 结 束 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 2011 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛答题卷 2011 年 4 月 10 日www 本卷满分为 150 分 考试时间为 120 分钟 三 题号一二 181920 总分 得分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 www 题号 12345678910 答案 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 7 分 共 49 分 11 12 13 14 15 16 17 得分评卷人 得分评卷人 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 三 解答题 本大题共 3 小题 共 51 分 18 本题满分 16 分 已知函数 2 sin2 3sin cossinsin 44 f xxxxxx 求的最小正周期和的值域 www f x f x 若为的一个零点 求的值 0 xx 0 0 2 x f x 0 2 fx 得分评卷人 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 19 本题满分 17 分 设函数 对于给定的实数 2 3f xxbx b 在区间上有最大值和最小值 f x 2 2bb M b m b 记 g bM bm b 求的解析式 g b 问为何值时 有最小值 并求出的最小值 b g b g b 得分评卷人 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 20 本题满分 18 分 定义在正实数集上的函数满足下列条件 f x 存在常数 使得 a 10 a1 af 对任意实数 当时 有 mxR m f xmf x 求证 对于任意正数 x y f xyf xf y 证明 在正实数集上单调递减 f x 若不等式恒成立 求实数的取值范围 28 log42log 4 3 aa fxfx a 得分评卷人 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 2011 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 某同学使用计算器求 50 个数据的平均数时 错将其中的一个数据 150 输入为 15 那 么由此求出的平均值与实际平均值的差是 A B C 3 D 72 72 0 3 解 求出的平均值实际平均值 选 B 725015015 2 设集合 则等于 1 2 log 1 2 Axx 2 21 x x Bx AB A B 0 13 x xx 或 3 x x C D 10 13 xxx 或 01 xx 解 可得 所以 13 Axx 0 1 Bx xx 或AB 选 C 10 13 xxx 或 3 已知 则与的关系是 sinsin A 或 B 2 kkZ C D 21 kkZ 1 k kkZ 解 由于 与的终边位置相同或关于轴对称 所以sinsin y 或 合并得 选2 kkZ 21 kkZ 1 k kkZ D 4 下列函数中在区间上单调递增的是 0 4 A B 2 1 logsin 62 yx 2 1 logsin 2 62 yx C D 1 sin 2 62 yx 3 sin 6 yx 解 将选择支中各函数用区间逐一检验知 只有 C 中函数满足要求 选 C 0 4 5 若则 sin50tan50sin50tan50 y xxy A B C D 0 xy 0 xy 0 xy 0 xy 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 y C C B A Ox 解 因为 可知函数单调递减 0sin501 tan501 sin50tan50 tt f t 已 知不等式即 所以 选 A f xfy xy 6 函数的零点个数为 ln 1 3f xxx A B C D 0123 解 所以的零 0ln 1 3f xxx f x 点 个数即函数与函数的交ln 1 yx 3yx 点的个数 作图可知有 个交点 选 D 3 7 记为坐标原点 已知向量 O 3 2 OA 0 2 OB 又有点 满足 则 的取值范围为 C 5 2 AC ABC A B C D 0 6 或0 3 或0 2 或 3 或 6 解 点在以点为圆心 为半 5 2 AC CA 5 2 径的圆周上 可得 如图可知 当 5AB 直 线与圆周相切时 有最BCABC 大值为 当三点共线时有最小 6 ABC或或ABC 值为 所以的取值范围ABC 为 选 A 0 6 或 8 已知 则是直角三角形的概率是 kZ 2 2 AC 2 ABk 5AB ABC A B C D 1 9 2 9 1 8 1 4 解 由与构成三角形及知 可得5AB ABCkZ 4 3 2 1 0 1 3 4k 与垂直 则 若与垂直 则 2 0 BCk AC AB 2k AC BC 舍去 若与垂直 或 舍去 综上知 满足要求2k BC AB 0k 2k 3 2 1 1 2 3 4 4 2246 O x y 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 的有 个 所求概率为 故选 D k 1 4 9 设 其中 则的最小值为 22 2221Sxxyyx xR yR S A B C D 11 3 4 0 解 1 由 22 22 21 0 xyxyS 2 2 224 210yyS 得 当且仅当时 选 B 2 2Syy 2 111y 1 2yx min 1S 解 2 22 2221Sxxyyx 222 2 1 1 2xyxyyy 22 1111xyy 当且仅当时 选 B 1 2yx min 1S 10 点在轴上 若存在过的直线交函数的图象于两点 满足 QxQ2xy A BQAAB 则称点为 点 那么下列结论中正确的是 Q A 轴上仅有有限个点是 点 B 轴上所有的点都是 点 xx C 轴上所有的点都不是 点 x D 轴上有无穷多个点 但不是所有的点 是 点 x 解 1 设 因为 所以 0Q a 1 12 x A x 2 22 x B x QAAB 21 2xxa 得 即对于轴上任意点 总有 21 222 xx 12 1 2xaxa x0Q a 满足题设要求 故选 B 1 1 2aA a 2 2 2aB a 解 2 动态想象 任取轴上点 将直线 由轴位置开始绕点逆时针旋转xQlxQ 与函数的图象的位置关系必将经历从不交到相切再到交于两个点 2 l2xy 由下至上 直到最后只交于一个点 当交于两个点时 在由 A B QAAB 正到负的过程中必将经历零点 当时 即有 所以轴 0QAAB QAAB x 上所有的点都是 点 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 7 分 共 49 分 11 同时抛掷三枚均匀的硬币 出现两个正面一个背面的概率是 解 同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有 种 其 中两个正面一个背面的情况有 正 正 背 正 背 正 与 背 正 正 三种 故所求概率为 3 8 12 如图执行右面的程序框图 那么输出的值为 S 解 22222 1 1357955 3 S 13 函数的值域是 其中表示不超过实数 sin 3 x f x x 开 始 0 1Si 2 1 3 SSi 2ii 10 i S输出 否 是 12 题图 结 束 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 的x 最大整数 解 所以 的所有可能取值为 从而值域1sin1x sin x1 0 1 f x 为 1 1 3 3 14 已知定义域为的函数对任意都满足条件 R yf x xR 与 则对函数 4f xfx 或或 或或 022f xf x 或或或或 0 yf x 下列结论中必定正确的是 填上所有正确结论的序号 是奇函数 是偶函数 yf x yf x 是周期函数 的图象是轴对称的 yf x yf x 解 由知有周期 于是 22f xf x 或或或或 0 f x4T 4 f xfxfx 或或或或 知 为奇函数 填 f x 15 若为整数 关于的方程有整数根 则 nx 2011 2011 10 xxn n 解 设为方程的整数根 则 必有或 0 xx 2011 00 2011 1xxn 0 0 1 20111 xn x 得或 0 0 1 20111 xn x 2009n 2013n 16 是定义域为的函数 若函数有且仅有 yf x R 1 5g xf xfx yg x 4 个不同的零点 则这 4 个零点之和为 解 有对称轴 故 4 个零点和gxg x 4 yg x 2x 为 8 17 求值 sin6sin78sin222sin294 解 1 如图 构造边长为 的正五边形 使得1ABCDE 则依次可得 cos6 sin6 AB cos78 sin78 BC cos150 sin150 CD cos222 sin222 DE cos294 sin294 EA 图 17图 图 图 Y A E D C B O X 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 由于 0ABBCCDDEEA 所以 sin6sin78sin150sin222sin2940 从而 1 sin6sin78sin222sin294sin150 2 解 2 原式 sin6sin294sin78sin222 2sin150 cos1442sin150 cos72 2sin150cos144cos72 2cos108 cos36 2sin18 cos36 sin36 cos36 cos18 sin721 2cos182 三 解答题 本大题共 3 小题 共 51 分 18 本题满分 16 分 已知函数 2 sin2 3sin cossinsin 44 f xxxxxx 求的最小正周期和的值域 f x f x 若为的一个零点 求的值 0 xx 0 0 2 x f x 0 2 fx 解 2 sin2 3sin cossinsin 44 f xxxxxx 1cos22222 3sin2sincossincos 22222 x xxxxx 1 3sin2cos2 2 xx 4 1 2sin 2 62 x 分 所以的最小正周期 5 分 f xT 由 得的值域为 7 分1sin 21 6 x f x 3 5 2 2 由题设知 8 分 1 2sin 2 62 f xx 0 0f x 0 1 sin 2 64 x 由 结合知 00 5 02 2666 xx 0 sin 20 6 x 0 20 66 x 可得 10 分 0 15 cos 2 64 x 00 sin2sin2 66 xx 00 sin 2coscos 2sin 6666 xx 12 13151 4242 153 8 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 分 00 cos2cos2 66 xx 00 cos 2cossin 2sin 6666 xx 14 15311 4242 3 51 8 分 00000 sin 4sin2cos 2cos2sin 2 666 xxxxx 15315 84 3 511 84 73 5 16 16 分 00 1 2 2sin 4 62 fxx 73 51 2 162 113 5 8 19 本题满分 17 分 设函数 对于给定的实数 在区间 2 3f xxbx b f x 上有最大值和最小值 记 2 2bb M b m b g bM bm b 求的解析式 g b 问为何值时 有最小值 并求出的最小值 b g b g b 解 抛物线开口向上 其对称轴方程为 下面就对称轴与 2 2 3 24 bb f xx 2 b x 区间端点的相对位置分段讨论 1 分 2 2bb 当时 且 4 0 3 b 22 2 b bb 2 2 22 bb bb 此时 3 分 2 2 261M bf bbb 2 3 4 b m b 2 9 64 4 g bbb 当时 且 4 0 3 b 22 2 b bb 2 2 22 bb bb 此时 5 分 2 2 261M bf bbb 2 3 4 b m b 2 9 64 4 g bbb 当时 在区间上递增 4 3 b 2 2 b b f x 2 2bb 此时 7 分 2 2 261M bf bbb 2 2 261m bf bbb 12g bb 当时 在区间上递减 4 3 b 2 2 b b f x 2 2bb 此时 9 2 2 261M bf bbb 2 2 261m bf bbb 12g bb 分 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 综上所得 10 2 2 4 12 3 94 64 0 43 94 64 0 43 4 12 3 bb bbb g b bbb bb 分 当时 11 4 3 b 4 1216 3 g bbg 分 当时 递减 13 4 0 3 b 2 9 64 4 g bbb 0 4g bg 分 当时 递增