第19章第06课时矩形的性质.doc

人教版八年级学案 41 董耀波第6课时 矩形的性质（1）【目标导航】1理解矩形定义，掌握矩形的性质，能用矩形的性质解决简单的实际问题2经历探究矩形性质的过程，通过直观操作和简单推理发展学生的推理论证能力，培养学生的主动探究习惯3通过探究括动，激发学生的学习兴趣，渗透转化思想，学会类比的研究方法体会矩形的内在美和应用美【要点梳理】1有一个角是 的平行四边形叫矩形2（1）矩形的四个角都是 （2）矩形的对角线 【问题探究】例1：如图1，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少? 图1变式：已知矩形的周长是14 cm，相邻两边的差是1 cm，那个矩形的面积是 例2已知：如图2，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOD120，AB4cm（1）判断AOB的形状；（2）求矩形对角线的长 图2变式：如图3，在矩形ABCD中，对角线交于点O，DE平分ADC，AOB60，则COE 图3 例3如图4，在矩形ABCD中，AB3， BC4， BEAC于E试求出BE的长 图4图5变式：（2010青海西宁）如图5,矩形ABCD中，E、F、M为AB、BC、CD边上的点，且AB6，BC7，AE3，DM2，EFFM，则EM的长为（ ）A5 B C6 D【课堂操练】1 矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）A对边相互平行 B对角线相等C对角线相互平分 D对角相等2如果矩形的两条对角线所称的钝角是120，那么对角线与矩形短边的长度之比为（ ）A32 B21 C1.51 D113 如图6，E为矩形ABCD的边BC的中点，且BAE30，AE2，则AC等于（ ）A3 B C D 图6 图74 在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AOB110，则OAB_5 已知矩形ABCD，E是DC上一点，AEB90，CBE30，BE4，则矩形周长_6 如图7，矩形ABCD中，E为AD上一点，EFCE交AB于F，若DE2，矩形的周长为16，且CEEF，则AE_7如图8，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AEAD，DFAE，垂足为F。线段DF与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即DF_。(写出一条线段即可) ABCDEF 图88如图9，矩形ABCD中，AEBD，DAEBAE31，求BAE、EAO的度数图9【每课一测】一、选择题（每题5分，共25分）1在矩形中，对角线具有的性质是（ ）A相等且互相垂直B相等且互相平分C互相垂直且互相平分D互相垂直且平分内角2如果矩形两条对角线所成的钝角为120，那么对角线与矩形短边的长度之比为（ ）A32B21C43D113形的面积是12 cm2，一边与一条对角线的比为35，则这个矩形的对角线的长为（ ）A3cm B4cm C5cm D6cm 4如图10，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的 （ ）A B C D图10 图11 图125如图11,在矩形ABCD中，AB1，AD，AF平分DAB，过C点作CEBD于E于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：AFFH；BOBF；CACH；BE3ED，正确的（ ）AB CD二、填空题（每题5分，共25分）6如图12，在矩形ABCD中，AB3，BC2，E为BC中点，F在AB上，且BF2AF，则四边形AFEC的面积为 7矩形ABCD的对角线交于点O，过点A作AEBD交CB的延长线于点E，若BOC60，则ACE的周长为 8矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，AOB4BAO，若对角线AC18cm，则AD_9在矩形ABCD中，E为CD上一点，AEAB，若EBC15，则ABBC_10矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AEBD于E，若OEED13，AE，则BD_ 三、解答题（每题10分，共50分）11如图13，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，若CAE15，求BOE的度数 图1312如图14，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分BED（1）BEC是否为等腰三角形？为什么？（2）若AB=1，ABE=45，求BC的长 图1413如图15，四边形ABCD是矩形，过A点作AEBD，交CB的延长线于E点 （1）猜想：图中的ACE是_三角形； （2）证明你的猜想图1514如图16，四边形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内求证：（1）PBA=PCQ=30；（2）PA=PQ 图1615如图17，ABCD是矩形纸片，翻折B、D，使BC、AD恰好落在AC上设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB4cm，BC3cm，求线段EF的长 图17【参考答案】【要点梳理】1直角2（1）直角；（2）相等【问题探究】例1解：AOB、BOC、COD和AOD四个小三角形的周长和为86cm，又ACBD13cm（矩形的对角线相等），AB+BC+CD+DA86-2(AC+BD) 86-4（cm)，即矩形ABCD的周长等于34cm变式：解：设矩形的一边为xcm，另一边为ycm，根据题意得，解得，S3412 cm2例2解：（1）四边形ABCD是矩形，ACBD（矩形的对角线相等）OAOCAC，OBODBD（平行四边形的对角线互相平分），OAOBOCODAOD120，AOB60，AOB是等边三角形（2）AB4 cm，ACBD2AB8 cm变式：提示：由DE平分ADC及矩形的对边平行知DCCE，又COD是等边三角形，因此OCCE，再由ACB30可得COE75例3：解：在矩形ABCD中，ABC90，AC5(勾股定理)又SABCABBCACBE，BE2.4变式：B解析：过点E作ENDC，垂足为N在RtEMN中，MN1，EN7，根据勾股定理即可求出EM的长【课堂操练】1 答案：B解析：对角线相等和四个角等于90是矩形的特征2 答案：B3 答案：D解析：由AE2，BAE30，B90，可知AB，BE1，BC2，在RtABC中运用勾股定理可知：AC4 答案：35解析：矩形ABCD被两条对角线分成的四个三角形是等腰三角形5 答案：6答案：3解析：四边形ABCD是矩形，AD90，ADBC，ABDCCEEF，AEFDEC90，又AEFAFE90，AFEDEC，又EFCE，AEFDCE，AEDC又ABBCDCAD16，ADDC8，AE2AE8，AE37答：DFAB 理由：四边形ABCD为矩形，DAFAEB，B90AEAD，BAFDADFEAB，DFAB8四边形ABCD是矩形DAB90，AOAC，BOBD，ACBDBAEDAE90，AOBO又DAEBAE31，BAE22.5，DAE67.5AEBD，ABE90BAE67.5OABABO67.5EAO67.522.545【每课一测】1答案：B2答案：B解析：如图，在矩形ABCD中，AOB是等边三角形3 答案：C解析：设这边和这条对角线长分别为3x和5x，则另一条矩形边长为4x，根据矩形的面积可求得：x5cm4答案：B解析：矩形是一个中心对称图形，因此DOF与BOE全等，图中阴影部分面积等于AOB的面积，而三角形AOB的等于矩形面积的一半5答案：D解析：先由AB1，AD得出AOB是等边三角形，ABF是等腰直角三角形6答案：27答案：58答案：9解析：由AOB4BAO和矩形的对角线相等且互相平分，可证明OAB30，即可证明AOD为等边三角形9答案：2110答案：4或解析：分ABAD和ABAD两种情况讨论11分析：由矩形的性质知AOBOCODO，因此可证得AOB是等边三角形，BOE是等腰三角形解： 四边形ABCD是矩形， DABABC90，AOOB， AE平分BAO， BEABAD45， BABE CAE15， BAC60， ABO为等边三角形 OBABBE，ABO60， OBE30， BOE（180OBE）7512解：（1）BEC是等腰三角形EC平分BED，BECDEC又四边形ABCD是矩形，ADBC，BCEDEC，BECBCE，BEBC（2）ABE=45，AEB=45，AEAB1,BE，又由（1）知BCBE，BC13（1）猜想：图中的ACE是等腰三角形（2）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，ACBDAEBD，四边形AEBD是平行四边形AEBD，AEACACE是等腰三角形14（1）四边形ABCD是矩形，ABC=BCD=90PBC和QCD是等边三角形，PBC=PCB=QCD=60，PBA=ABCPBC=30，PCD= BCDPCB=30PCQ=QCDPCD=30PBA=PC