河南省安阳县高中数学最新学案 第2章 第12课时 等比数列的前n项和（1）（教师版） 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 第第 1212 课时课时 等比数列的等比数列的 前前n n项和项和 1 1 学习导航学习导航 知识网络知识网络 学习要求学习要求 1 掌握用 错位相减 的方法推导等比数列的前 n 项和公式 掌握等比数列的前 n 项和公式 2 会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 自学评价自学评价 1 等比数列 an 的前n项和为Sn 当时 1 q q qa S n n 1 1 1 或 q qaa S n n 1 1 当 q 1 时 1 naSn 当已知 q n 时用公式 1 a 当已知 q 时 用公式 1 a n a 2 若数列 an 的前n项和Sn p 1 qn 且p 0 q 1 则数列 an 是等比数列 精典范例精典范例 例 1 在等比数列 an 中 已知 4 12 求 1 aq 10 S 已知 243 1 a k a 3 求 q k S 解 1 根据等比数列的前 项和公式 得 用心 爱心 专心2 听课随笔 2 根据等比数列的前 项和公式 得 例 2 在等比数列 an 中 求an 2 63 2 7 63 SS 解 若 则 这与已知是矛盾的 所以 从而 2 63 2 7 63 SS 将上面两个等式的两边分别相除 得 所以 由此可得 因此 2 1 1 a 点评点评 等比数列中五个基本量a1 q an n Sn 知三可求二 例 3 在等比数列 an 中 a1 an 66 a2 an 1 128 且前n项和Sn 126 求n及公比q 解 a1an a2an 1 128 又a1 an 66 a1 an是方程x2 66x 128 0 的两根 解方程得x1 2 x2 64 a1 2 an 64 或a1 64 an 2 显然q 1 若a1 2 an 64 由 126 q qaa n 1 1 得 2 64q 126 126q q 2 由an a1qn 1得 2n 1 32 n 6 若a1 64 an 2 同理可求得q n 6 2 1 综上所述 n的值为 6 公比q 2 或 2 1 点评点评 等比数列中五个基本量a1 q an n Sn 知三可求二 列方程组是求解的常用方法 解 本题的关键是利用a1an a2an 1 进而求出a1 an 要注意a1 an是两组解 追踪训练一追踪训练一 1 某厂去年的产值记为 计划在今后五年内每年的产值比上年增长 则从今年起 到第五年 这个厂的总产值为 4 1 1 5 1 1 用心 爱心 专心3 11 1 11 5 11 1 10 6 2 求下列等比数列的各项和 2187 2 1 4 1 8 1 512 1 答案 1 3280 2 512 341 3 等比数列 an 的各项都是正数 若a1 81 a5 16 则它的前 5 项和是 B A 179 B 211 C 243 D 275 4 若等比数列 an 的前n项之和Sn 3n a 则a等于 D A 3 B 1 C 0 D 1 5 已知等比数列的公比为 2 若前 4 项之和等于 1 则前 8 项之和等于 B A 15 B 17 C 19 D 21 选修延伸选修延伸 例 4 是等比数列 是其前 n 项和 数列 是 n a n S kkkkk SSSSS 232 Nk 否仍成等比数列 解 设首项是 公比为 q n a 1 a 当q 1 且k为偶数时 不是等比数列 kkkkk SSSSS 232 此时 0 kkkkk SSSSS 232 例如 数列 1 1 1 1 是公比为 1 的等比数列 S2 0 46242 SSSSS 当q 1 或k为奇数时 k S k aaaa 321 0 kk SS 2 321k k aaaaq 0 kk SS 23 321 2 k k aaaaq 0 成等比数列 kkkkk SSSSS 232 Nk 追踪训练二追踪训练二 1 在等比数列 an 中 Sn表示前n项和 若a3 2S2 1 a4 2S3 1 则公比q等于 A A 3 B 3 C 1 D 1 2 等比数列 an 中 a3 7 前 3 项之和S3 21 则公比q的值为 C A 1 B 2 1 用心 爱心 专心4 听课随笔 C 1 或 D 1 或 2 1 2 1 3 在公比为整数的等比数列 an 中 已知a1 a4 18 a2 a3 12 那么a5 a6 a7 a8 等于 A A 480 B 493 C 495 D 498 4 在 14 与之间插入n个数 使这n 2 个数组成等比数列 若各项的和为 则此数列 8 7 8 77 的项数为 B A 4 B 5 C 6 D 7 5 在等比数列 an 中 公比q 2 log2a1 log2a2 log2a10 25 则a1 a2 a10 4 1023 6 已知等比数列 an 的各项均为正数 Sn 80 S2n 6560 且在前n项中最大项为 54 求此数列的公比q和项数n 解 由S2n 2Sn知 q 1 得 1 qn 82 即qn 81 q 1 则a1qn 1 54 得 即a1 q 2 3 1 a q 3 2 将 代入 得q 3 n 4 7 一个有穷等比数列的首项为 1 项数为偶数 其奇数项之和为 85 偶数项之和为 170 求这个数列的公比及项数 解 设此数列的公比为q 项数为 2n 由题意得 q