成都一诊数学试题(含答案)高三2013届

成都石室中学高三成都石室中学高三 2013 届一诊模拟试题届一诊模拟试题 数数 学学 试试 题题 理科 一 选择题 本题共有 12 小题 每题 5 分 共 60 分 每题恰有一个答案 1 已知 则等于 1zi 2 1z 1z A B C i D i 43 55 i 43 55 i 2 下列函数中 周期为 且在上为减函数的是 4 2 A B C D sin 2 yx cos 2 2 yx sin 2 2 yx cos 2 yx 3 展开式中不含项的系数的和为 8 1x 4 x A 1 B 0 C 1 D 2 4 若函数 其中满足 则的值为 logaf xx 0 1 aa 5 2f 1 5 2log 2 f A B C 4 D 2 5 log 2 2 log 5 5 将 4 名新来的同学分配到 A B C 三个班级中 每个班级至少安排 1 名学生 其中甲同 学不能分配到 A 班 那么不同的分配方案有 A 18 种 B 24 种 C 54 种 D 60 种 6 设 分别为等差数列与等比数列 且 则以下结论一定 n a n b 11 4ab 44 1ab 成立的是 A B C D 22 ab 33 ab 55 ab 66 ab 7 已知函数 若 则函数 f x 的解析式为 cos f xxR 0 lim1 x fxf x A B C D sinf xx cosf xx sinf xx cosf xx 8 设随机变量 服从标准正态分布 0 1N 在某项测量中 已知 1 96P 0 950 则 在 1 96内取值的概率为 A 0 025 B 0 050 C 0 950 D 0 975 9 设为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量 且满足与不共线 a b c a b ac 则的值一定等于 ac b c A 以为邻边的平行四边形的面积 B 以为两边的三角形面积 a b b c C 为两边的三角形面积 D 以为邻边的平行四边形的面积 a b b c 10 已知是 的充分条件而非必要条件 是 的充分条件 是 的必要条件 是 的必prqrsrqs 要条件 现有下列命题 是的充要条件 是的充分非必要条件 是的必要非充分条件 sqpqrq 的必要非充分条件 是 的充分条件而不是必要条件 ps 是rs 则正确命题序号是 A B C D 11 某学校要召开学生代表大会 规定各班每 10 人推选一名代表 当各班人数除以 10 的余 数大于 6 时再增选一名代表 那么各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关 系用取整函数 y x x 表示不大于 x 的最大整数 可以表示为 A y 10 x B y 3 10 x C y 4 10 x D y 5 10 x 12 如图 在长方形 ABCD 中 AB BC 1 E 为线段 DC 上一动点 现将AED 沿 AE 折3 起 使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上 当 E 从 D 运动到 C 则 K 所形成轨迹的长 度为 A B C D 3 2 2 3 32 3 B D C A E B C D A D E K 二 填空题 每题 4 分 共 16 分 13 设存在反函数 且函数的图象过点 1 2 则函数 yf x 1 yfx yxf x 的图象一定过点 1 yfxx 14 已知函数的导函数为 且满足 则 f x fx 2 32 2 f xx xf 5 f 15 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 对折成的二面角 则 B D 在四面体 A BCD120 的外接球球面上的距离为 16 已知定义域为 0 的函数f x 满足 对任意x 0 恒有 f 2x 2f x 成立 当x 1 2时 f x 2 x 给出如下结论 对任意mZ 有 m f 2 0 函数f x 的值域为 0 存在nZ 使得 n f 2 1 9 函数f x 在区间 a b上单调递减 的充要条件是 存在Zk 使得 1 2 2 kk a b 其中所有正确结论的序号是 成都石室中学高成都石室中学高 20122012 届一诊模拟数学答题卷届一诊模拟数学答题卷 理科 13 14 15 16 三 解答题 本题共有 6 小题 共 74 分 写出必要的解答或证明过程 17 满分 12 分 在 ABC 中 A B C 的对边分别为a b c 且 cos cos cosaC bB cA 成等 差数列 求 B 的值 求 2 2sincos AAC 的范围 18 满分 12 分 某地区试行高考考试改革 在高三学年中举行 5 次统一测试 学生如果 通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习 不用参加其余的测试 而每 个学生最多也只能参加 5 次测试 假设某学生每次通过测试的概率都是 1 3 每次测 试通过与否互相独立 规定 若前 4 次都没有通过测试 则第 5 次不能参加测试 1 求该学生考上大学的概率 2 记该生参加测试的次数为 求 的分布列及 的 数学期望 19 满分 12 分 如图 五面体 ABCDE 中 正ABC 的边长为 1 AE平面 ABC CD AE 且 CD AE 1 2 I 设 CE 与平面 ABE 所成的角为 AE 若求的取值范围 0 k k 6 4 k 在 I 和条件下 当取得最大值时 求平面 BDE 与平面 ABC 所k 成角的大小 20 满分 12 分 设数列满足 n a 123 23 2 n n aaananN I 求数列的通项 II 设求数列的前 n a 2 nn bn a n b 项和 n n S 21 满分 12 分 已知函数 ln 1 x f x x 1 试判断函数的单调性 f x 2 设 求在上的最大值 0m f x 2 mm 3 试证明 对任意 不等式都成立 其中 是自然对数的底数 n N 11 ln e nn nn e 22 满分 14 分 已知数列中 且 n a 1 1a 2 1 4 a 1 1 n n n na a na 2 3 4 n 1 求 的值 3 a 4 a 2 求数列的通项公式 n a 3 求证 对一切且 有 Nn 2n 222 23 1 6 n aaa E A D C B 成都石室中学高成都石室中学高 20122012 届一诊模拟届一诊模拟 数数 学学 试试 题题 理科 答案 一 选择题 本题共有 12 小题 每题 5 分 共 60 分 每题恰有一个答案 1 已知 则等于 1zi 2 1z 1z B A B C i D i 43 55 i 43 55 i 2 下列函数中 周期为 且在上为减函数的是 4 2 C A B C D sin 2 yx cos 2 2 yx sin 2 2 yx cos 2 yx 3 展开式中不含项的系数的和为 8 1x 4 x A A 1 B 0 C 1 D 2 4 若函数 其中满足 则的值为 logaf xx 0 1 aa 5 2f 1 5 2log 2 f D A B C 4 D 2 5 log 2 2 log 5 5 将 4 名新来的同学分配到 A B C 三个班级中 每个班级至少安排 1 名学生 其中甲同 学不能 分配到 A 班 那么不同的分配方案有 B A 18 种 B 24 种 C 54 种 D 60 种 6 设 分别为等差数列与等比数列 且 则以下结论一定 n a n b 11 4ab 44 1ab 成立的是 A A B C D 22 ab 33 ab 55 ab 66 ab 7 已知函数 若 则函数 f x 的解析式为 cos f xxR 0 lim1 x fxf x A A B C D sinf xx cosf xx sinf xx cosf xx 8 设随机变量 服从标准正态分布 0 1N 在某项测量中 已知 1 96P 0 950 则 在 1 96内取值的概率为 A A 0 025 B 0 050 C 0 950 D 0 975 9 设为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量 且满足与不共线 a b c a b ac ac 则的值一定等于 b c A A 以为邻边的平行四边形的面积 B 以为两边的三角形面积 a b b c C 为两边的三角形面积 D 以为邻边的平行四边形的面积 a b b c 10 已知是 的充分条件而非必要条件 是 的充分条件 是 的必要条件 是 的必prqrsrqs 要条件 现有下列命题 是的充要条件 是的充分非必sqpq 要条件 是的必要非充分条件 的必要非充分条件 rqps 是 是 的充分条件而不是必要条件rs 则正确命题序号是 B A B C D 11 某学校要召开学生代表大会 规定各班每 10 人推选一名代表 当各班人数除以 10 的余 数大于 6 时再增选一名代表 那么各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整 函数 y x x 表示不大于 x 的最大整数 可以表示为 B A y 10 x B y 3 10 x C y 4 10 x D y 5 10 x 12 如图 在长方形 ABCD 中 AB BC 1 E 为线段 DC 上一动点 现将AED 沿 AE 折3 起 使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上 当 E 从 D 运动到 C 则 K 所形成轨迹的长度为 D A B C D 3 2 2 3 32 3 B D C A E B C D A D E K 二 填空题 每题 4 分 共 16 分 13 设函数存在反函数 且函数的图象过点 1 2 则函数 yf x 1 yfx yxf x 的图象一定过点 1 2 1 yfxx 14 已知函数的导函数为 且满足 则 6 f x fx 2 32 2 f xx xf 5 f 15 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 对折成的二面角 则 B D 在四面体 A 120 BCD 的 外接球球面上的距离为 2 3 16 已知定义域为0 的函数f x 满足 对任意x0 恒有f 2x 2f x 成 立 当x 1 2时 f x 2 x 给出如下结论 对任意mZ 有 m f 2 0 函数f x 的值域为 0 存在nZ 使得 n f 2 1 9 函数f x 在区间 a b上单调递减 的充要条件是 存在Zk 使得 1 2 2 kk a b 其中所有正确结论的序号是 成都石室中学高成都石室中学高 20122012 届一诊模拟数学答案届一诊模拟数学答案 理科 BCADB AAAAB BD 13 1 2 14 6 15 16 2 3 三 解答题 本题共有 6 小题 共 74 分 写出必要的解答或证明过程 17 在 ABC 中 A B C 的对边分别为a b c 且 cos cos cosaC bB cA 成等差数 列 求 B 的值 求 2 2sincos AAC 的范围 解 2 coscoscosbBaCcA 2sin cossincossincossin sinBBACCAACB 1 cos 2 B 3 B 222 22 2sincos 2sincos 2sincos 2 33 AACAAAAA 13 1cos2cos2sin2 22 AAA 13 13 sin2cos2 13sin 2 223 AAA 2 0 2 333 AA 3 sin 21 23 A 2 1 2sincos 13 2 AAC 18 某地区试行高考考试改革 在高三学年中举行 5 次统一测试 学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习 不用参加其余的测试 而每个学生最多 也只能参加 5 次测试 假设某学生每次通过测试的概率都是 1 3 每次测试通过与否 互相独立 规定 若前 4 次都没有通过测试 则第 5 次不能参加测试 1 求该学生考 上大学的概率 2 如果考上大学或参加完 5 次测试就结束 记该生参加测试的次数为 求 的分布列及 的数学期望 解 1 记 该生考上大学 为事件 A 其对立事件为 则 P C 3 4 AA1 4 1 3 2 3 2 3 2 3 P A 1 P 1 64 243 16 81 112 243A 112 243 131 243 2 该生参加测试次数 的可能取值为 2 3 4 5 P 2 2 1 3 1 9 P 3 C P 4 C 2 4 1 2 1 3 2 3 1 3 4 271 3 1 3 2 3 1 3 2 3 4 27 16 81 28 81 P 5 C 3 故 的分布列为 1 4 1 3 2 3 32 81 2345 P 1 9 4 27 28 81 32 81 E 2 3 4 5 1 9 4 27 28 81 32 81 326 81 19 满分 12 分 如图 五面体 ABCDE 中 正ABC 的边长为 1 AE平面 ABC CD AE 且 CD AE 1 2 I 设 CE 与平面 ABE 所成的角为 AE 若求的取值范围 0 k k 6 4 k 在 I 和条件下 当取得最大k值时 求平面 BDE 与平面 ABC 所成角的大小 解 如图以 C 为坐标原点 CA CD 为 y z 轴 垂直于 CA CD 的直线 CT 为 x 轴 建立空间 直角坐标系 如图 则设 0 1 0 A 0 0 2 k D 0 1 Ek 3 1 0 22 B 取 AB 的中点 M 则 易知 ABE 的一个法向量为 由题意 3 3 0 44 M 3 3 0 44 CM 由 则 2 2 3 3 4 sin 39 2 1 1 1616 CE CM CECM k k 6 4 1 2 2 32 sin 2 2 1k 得 6 分 2 2 2 k 由 知最大值为 则当时 设平面 BDE 法向量为 则k22k x y z n 2 0 2 32 0 222 DEyz y BExz n n 取 又平面 ABC 法向量为 10 分n 3 1 2 m 0 0 1 E A D C B 所以 所以平面 BDE 与平面 ABC 所成角大小 12 分cos n m 23 323 1 3 arccos 3 20 满分 12 分 设数列满足 n a 123 23 2 n n aaananN I 求数列的通项 II 设求数列的前项和 n a 2 nn bn a n bn n S 解 I 当时 123 23 2 n n aaana 2n 1 1231 23 1 2 n n aaana 将 得在 中 令得 1 11 2 222 2 n nnn nn naan n 1 n 1 2 a 1 2 1 2 2 n n n a n n II 由得则当时 2 nn bn a 1 2 1 2 2 n n n b nn A 1n 1 2 S 当时 则 2n 121 22 23 2 2 n n Sn A 231 242 23 2 1 22 nn n Snn AA 又 231 2 222 2 1 22 2 nnn n Snnn A 1 2 S 1 22 n n SnnN 21 满分 12 分 已知函数 ln 1 x f x x 1 试判断函数的单调性 2 设 求在上的最大值 f x0m f x 2 mm 3 试证明 对任意 不等式都成立 其中 是自然对数的底数 n N 11 ln e nn nn e 解 1 函数的定义域是 由已知 令 得 f x 0 2 1 ln x fx x 0fx xe 因为当时 当时 0 xe 0fx xe 0fx 所以函数在上单调递增 在上单调递减 f x 0 e e 2 由 1 可知当 即时 在上单调递增 所以2me 2 e m f x 2 mm max ln2 2 1 2 m f xfm m 当时 在上单调递减 所以 当 即me f x 2 mm max ln 1 m f x m 2mem 时 综上所述 2 e me max 1 1f xf e e max ln2 1 0 22 1 1 2 ln 1 me m m e f xme e m me m 3 由 1 知当时 所以在时恒有 0 x max 1 1f xf e e 0 x 即 当且仅当时等号成立 因此对任意恒有 ln1 11 x f x xe ln1x xe xe 0 x 因为 所以 即 因此对任意 1 ln x e 1 0 n n 1n e n 11 1 ln nn nen 11 ln e nn nn 不等式 n N 11 ln e nn nn 22 满分 14 分 已知数列中 且 n a 1 1a 2 1 4 a 1 1 n n n na a na 2 3 4 n 1 求 的值 2 求数列的通项公式 3 a 4 a n a 3 求证 对一切且 有 Nn 2n 222 23 1 6 n aaa 解 1 3 1 7 a 4 1 10 a 2 当时 累乘得 2n 1 1 11 1 1 1 1 1 nn nnnn nan an ananana 12 11 1 1 n n aa 整理得当时 即 又时也成立 故 2n 1 1 31 n a n 1 32 n a n 1n 1 32 n a n Nn 3 当时 有 从而2k 2 2 11111 34 31 3 3431 32 k a kkkkk 显然 22 12 1 117 11 3 2316 nn kk kk aa n 2 1 7 6 a