数学分析第四学期试题

试题 试题 1 卷 卷 一 填空 每小题 3 分 共 15 分 1 若平面曲线L由方程 0 yxF 给出 且 yxF 在点 000 yxP 的某邻域内满足隐函数定理 的条件 则曲线L在点 0 P 的切线方程为 2 含参量积分 xd xc dyyxfxF 的求导公式为 xF 3 函数的表达式为 s 0 s 4 二重积分的中值定理为 若 yxf 在有界闭区域D上连续 则存在 D 使 D dyxf 5 当 0 zyxf 时 曲面积分 S dSzyxf 的物理意义是 二 完成下列各题 每小题 5 分 共 15 分 1 设 5422 222 zyxzyx 求 y z x z 2 设 cos sin vuey vuex u u 求 x v x u 3 求积分 0 ln 1 0 abdx x xx ab 三 计算下列积分 每小题 10 分 共 50 分 1 L xyzds 其中L为曲线 10 2 1 2 3 2 23 ttztytx 的一段 2 L yx xdxydy 22 其中L为圆 taytaxsin cos 在第一象限的部分 并取逆时针方向 3 作适当变换计算 D dxdyyxyx sin 其中D yxyxyx 0 0 4 V yx dxdydz 22 其中V是由 xyzxx 0 2 1 与 yz 围成的区域 5 dSyx S 22 其中S为圆锥面 222 zyx 被平面 1 0 zz 截取的部分 四 应用高斯公式计算 dxdyzdzdxydydzx S 333 其中S为球面 2222 azyx 的外侧 10 分 五 求全微分 dzxyzdyxzydxyzx 2 2 2 222 的原函数 10 分 试题 试题 2 卷 卷 一 填空 每小题 3 分 共 15 分 1 若曲面 S 由方程 0 zyxF 给出 且 zyxF 在点 0000 zyxP 的某邻域内满足隐函数定理的条件 则曲面 S 在点 0 P 处的切平面方程为 2 若 yxf 在 cba 上 且含参量反常积分 c dyyxfxI 在 ba 上 则 xI 在 ba 上连续 3 函数的表达式为 qp 0 0 qp 4 二重积分的中值定理为 若 yxf 在有界闭区域D上连续 则存在 D 使得 D dyxf 5 曲线积分 L dyyxQdxyxP 的物理意义是 二 完成下列各题 每小题 5 分 共 15 分 1 设 02 zxy eze 求 y z x z 2 设 0 0 2 2 xuvy yvux 求 x v x u 3 设 dyexF x x xy 2 2 求 x F 三 计算下列积分 每小题 10 分 共 50 分 1 dszyx L 222 其中L为螺旋线 0 sin cos tbtztaytax 的一段 2 L dydxya 2 其中L为摆线 cos1 sin tayttax 从 0 t 到 2 t 的一段 3 作适当变换计算 dxdye D yx yx 其中D是由 1 0 0 yxyx 所 围区域 4 V dxdydzzxy cos 其中V是由 0 0 zyxy 及2 zx 所 围区域 5 S dSzyx 其中S为上半球面 0 2222 zazyx 四 应用高斯公式计算 dxdyzdzdxydydzx S 222 其中S为立体 hzyx 22 的边 界曲面的外侧 10 分 五 应用斯托克斯公式计算 dzxydyzxdxyz L 其中L为平 面 0 aazyx 与三坐标面的交线 并取逆时针方向 10 分 分析试题 三 分析试题 三 一 一 填空题 每题填空题 每题 3 分 共分 共 30 分 分 1 已知 2 2 x xy x F xedy 则 F x 2 2 0 lim 1 1 n n dx x n 3 含参量积分 C f x y dy 在 a b 上不一致收敛的一个充要条件是 4 若 0 1 0 1 D 则 22 max xy D edxdy 5 若D为圆域 22 1xy 则 22 1 D d xy 6 写出斯托克斯 Stokes 公式 7 已知 1 2 则 3 2 2 B 8 若L为平面上封闭曲线 l为任意方向向量 n为曲线L的外法线方向 则 cos L l n ds A 9 空间有界区域V可求体积的一个充要条件是 10 V是椭球体 222 222 1 xyz abc 则 222 222 V xyz dxdydz abc 二 二 计算题 每题计算题 每题 8 分 共分 共 40 分 分 1 计算第一型曲线积分 222 C xyzds 其中C为螺旋线 cosxat sinyat zbt 02 t 的一段 2 计算第二型曲线积分 22 L ydxxdy I xy A 其中L为 22 21xy 方向取逆时针 3 计算二重积分 4 2 D xy Idxdy x 其中D为x轴 y x 1xy 和 3xy 围成的有界闭区域 4 计算第一型曲面积分 222 S dS xyz 其中 S 222 x y zxyR 0zH 5 计算 222 x dydzy dzdxz dxdy 其中 为圆锥曲面 22 zxy 被平面0z 2z 所截部分的外侧 三 三 证明题 每题证明题 每题 10 分 共分 共 30 分 分 1 利用二重积分证明 2 0 2 x edx 并由此导出 1 2 2 设函数 y 具有连续导数 在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上 曲线积分 24 2 2 L y dxxydy xy A 的值恒为常数 1 证明 对上半平面 0y 内任意分段光滑简单闭曲线C 有 24 2 0 2 C y dxxydy xy A 2 求 y 的表达式 3 证明含参量非正常积分 2 0 xy xedy 对任意0 在 上一致收敛 而在 0 上不是一致收敛的 试题试题 3 参考答案和评分标准参考答案和评分标准 四 四 填空题 每题填空题 每题 3 分 共分 共 30 分 分 1 2 532 2 2 x xxxy x xeey edy 2 2 2 2 ln 1 e e 3 0 0 NC MN 0 xa b 有 00 M f xy dy 注注 此题解答不唯一 4 1e 5 2 6 L S RQ PdxQdyRdzdydz yz PRQP dzdxdxdy zxxy A 7 4 15 8 0 9 V的边界V 的体积为 0 注注 此题答案不唯一 10 4 5 abc 五 计算题 每题计算题 每题 8 分 共分 共 40 分 分 222 2 22222 222222 0 2 22 222 0 32 222 1 cossin sincos 8 2 3 C xyz ds atatb tatatb dt ab tab dt b aba 解 第一个等号 4 分 后面两个等号各 2 分 2 解 解 2222 yx P x yQ x y xyxy 于是有 QP xy 2 分 作圆 222 1 0 2 xyrr 方向取逆时针 有格林公式知 2222 0 LC ydxxdyydxxdy xyxy AA 4 分 从而 22222 1 LCC ydxxdyydxxdy ydxxdy xyxyr AAA 2 22 11 222 D dxdyr rr 8 分 3 解 解 令 0 xyu yvx 则 2 2 2 1 1 uvu xy vv 由题意知 1 3 0 1 u v 2 分 2 23 3 42 23 2 1 1 2 1 2 1 1 uu vvvx yu u vv uvu vv 4 分 故 4 43 4 24 4 13 33 01 2 1 1 2240 DD D xy uu Idxdyvdudv xuv u dudvdvu du 8 分 4 解 解 考虑到被积函数在曲面上积分 被积函数关于 x y 都为偶函数 又曲面关于 xoz yoz 平面对称 则 2 22222 4 SS dSdS xyzRz 其中2 S 为S中 0 0 xy 的部分 曲面2 S 的方程为 22 xRy 0zH 将2 S 向 yoz 平面投影得矩形区域 D y z 0 y R 0 z H 4 分 故由计算公式有 22 2222 22 22 2200 11 414 42 arctan8 yz DD RH R Ixx dydzdydz RzRz Ry dydzH RzR Ry 分 5 解 解 设S为圆锥的底面 由高斯公式知 222 222 8 S V x dydzy dzdxz dxdyxyz dxdydz 分 令 cos sin xryrzz 则0 2 02 0zrz 22 000 333 22 00 2 3 0 222 2 cossin cossin 2 332 284 z V xyz dxdydzdzdr rrz dr zzz dzd z dz 分 而 222 44166 SSD x dydzy dzdxz dxdydxdydxdy 分 故 222 8168x dydzy dzdxz dxdy 8 分 六 六 证明题 每题证明题 每题 10 分 共分 共 30 分 分 1 证 证 22222 000 RRR xxyxy D edxedxedyedxdy A 令 222 0 0 R Dx yxyRxy 222 2 2 0 0 R Dx yxyRxy 显然 2 R R DDD 2 分 2222 2 00 1 4 R R xyrR D edxdydredre 2222 2 2 2 2 00 1 4 R R xyrR D edxdydredre 从而 222222 2 R R xyxyxy DDD edxdyedxdyedxdy 取极限得 2 0 42 x edx 6 分 在 函数中 令 2 xy 则有 2 121 00 2 sxsy sxedxyedy 令 1 2 s 即得 2 0 1 2 2 y edy 10 分 2 证证 在C上任意取两点 A B 将C分成两部分1 C 和2 C 以 A B 为两端点绕原点作分 段光滑简单闭曲线3 C 使得3 C 与C不相交 由题意得 13 24 2 2 CC y dxxydy C xy A 23 24 2 2 CC y dxxydy C xy A 2 分 于是 12 2424 2 2 22 cc y dxxydyy dxxydy xyxy 从而 24 2 0 2 C y dxxydy xy A 5 分 令 24 2 y p x y xy 24 2 2 xy Q x y xy 则 243 242 2 4 2 Pyxyyy yxy 242 242 2 2 8 2 Qyxyx y xxy 于是 243242 242242 2 42 2 8 2 2 yxyyyyxyx y xyxy 化简得 2yy 于是 2 yyC 代入上式得 0C 于 是 2 yy 10 分 3 证证 作变量替换u x y 则 22 xyu AAx xedyedu 因 2 0 x edx 收敛 故0 0M 当AM 时 有 2 x A edx 取 M M 当A M 时 有A xAM 从而 22 xyu AAx xedyedu 5 分 所以 2 0 xy xedy 对任意0 在 上一致收敛 因 2 0 0 0 0 2 xy x xedy x 不连续 故 2 0 xy xedy 在 0 上不是一致收敛的 10 分 分析试题 分析试题 4 4 一一 简述题 简述题 每小题 10 分 共 30 分 1 含参变量反常积分 a dxyxf 一致收敛的 Cauchy 收敛定理 2 Green 公式的内容及意义 3 n 重积分的概念 二二 计算题计算题 每小题 10 分 共 50 分 1 计算积分 C yx ydxxdy I 22 43 其中 C 为椭圆 132 22 yx 沿逆时针方向 2 已知 yzxzfz 其中 vuf 存在着关于两个变元的二阶连续偏导数 求z关于 yx 的二阶偏导数 3 求椭球体 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的体积 4 若l为右半单位圆周 求 l dsy 5 计算含参变量积分 0 2 cos21ln dxaxaaI 1 a 的值 三 三 讨论题讨论题 每小题 10 分 共 20 分 1 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛 则称此积分对参数的已知值一致收敛 试讨 论积分 0 22 1xa adx I 在每一个固定的a处的一致收敛性 2 讨论函数 dx yx xyf yF 1 0 22 的连续性 其中 xf 在 1 0 上是正的连续函数 附 参考答案附 参考答案 4 4 一 一 叙述题叙述题 每小题 10 分 共 30 分 1 含参变量反常积分 a dxyxf 关于y在 dc 上一致收敛的充要条件为 对于任意给定的 0 存在与y无关的正数 0 A 使得对于任意的 0 AAA dcydxyxf A A 成立 2 Green 公式 设D为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域 如果函数 yxQyxP 在D上具有连续偏导数 那么 DD dxdy x P x Q QdyPdx 其中D 取正向 即诱导正向 Green 公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系 3 设 为 n R上的零边界区域 函数 xfu 在 上有界 将 用曲面网分成n个小区域 n 21 称为 的一个分划 记 i V 为 i 的体积 并记所有的小区域 i 的最大 直径为 在每个 i 上任取一点 i x 若 趋于零时 和式 i n i i VxfI 1 的极限存在且与区域的分法和点 i x 的取法无关 则称 xf 在 上可积 并称此极限为 xf 在 有界闭区域 上的n重积分 记为 i n i i VPffdVI 1 0 lim 二二 计算题 计算题 每小题 10 分 共 50 分 1 解 令 sin 2 1 cos 3 3 tytxl 则 3 3 sin cos 6 3 4343 22 2 0 2222 dttt yx ydxxdy yx ydxxdy I lC 2 解 令 yzvxzu 则 x z xz x u x z x v y z x y u 1 y z y v x v v f x u u f x z y v v f y u u f y z 故 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x v v f x v v f x u u f x u u f x z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y v v f y v v f y u u f y u u f y z 2 22 2 222 y v x v v f yx v v f y u x u u f yx u u f yx z 即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x z v f x z v f x z xz u f x z x x z u f x v v f x v v f x u u f x u u f x z 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y z v f y z v f y z x u f y z x u f y v v f y v v f y u u f y u u f y z y v x v v f yx v v f y u x u u f yx u u f yx z 2 22 2 222 1 2 2 2 2 22 y z x z v f yx z v f y z x x z xz u f yx z x y z u f 3 解 由于对称性 只需求出椭球在第一卦限的体积 然后再乘以 8 即可 作广义极坐标变换 sin cosbryarx 20 0 0 0 rba 这时椭球面化为 2 2 2 2 2 1 sin cos 1rc b br a ar cz 又 abr brb ara yy xx rD yxD r r cossin sincos 于是 drd rD yxD rzdyxzV xyxy xy 8 1 drrrabcabrdrrcd 1 0 2 1 0 2 2 0 1 2 1 1 0 22 1 1 2 1 2 rdrabc abcrabc 6 1 3 2 22 1 1 0 2 3 2 所以椭球体积 abcV 3 4 4 解 l的方程为 0 1 22 xyx 由 y x y y dx dx y yx dxyds 2 22 2 1 符号的选取应保证 0 ds 在圆弧段AC上 由于 0 dx 故 y dx ds 而在圆弧段CB上 由于 0 dx 故 y dx ds 所以 dx y y y dx ydsyI CBACl 1 2 0 1 1 0 dxdx 5 解 0 2 cos21ln dxaxaaI 当 1 a 时 由于 22 21cos21aaaxa 2 1 a 0 故 cos21ln 2 axa 为连续函数且具有连续导数 从而可在积分号下求导 0 2 cos21 2cos2 dx axa ax aI 0 2 2 cos21 1 1 1 dx axa a a 0 2 2 cos2 1 1 xaa dx a a a 0 2 2 2 cos 1 2 1 1 1 x a a dx aa a a 0 21 12 x tg a a arctg aa 0 2 2 aa 于是 当 1 a 时 CaI 常数 但是 0 0 I 故 0 C 从而 0 aI 三三 讨论题讨论题 每小题 10 分 共 20 分 1 解 设 0 a 为任一不为零的数 不妨设 0 0 a 取 0 使 0 0 a 下面证明积分I在 00 aa 内一致收敛 事实上 当 a 00 aa 时 由于 22 1 0 xa a 22 0 0 1xa a 且积分 dx xa a 0 22 0 0 1 收敛 故由 Weierstrass 判别法知积分 dx xa a 0 22 1 在 00 aa 内一致收敛 从而在 0 a 点一致收敛 由 0 a 的任意性知积分I在每一个 0 a 处一致收敛 下面说明积分I在 0 a 非一致收敛 事实上 对原点的任何邻域 有 0 A 有 0 11 2 0 22 a t dt dx xa a aA 由于 0 22 0 211 lim t dt t dt aAa 故取2 0 在 中必存在某一个 0 0 a 使有 1 2 aA t dt 即 1 2 2 0 0 A xa dxa 因此 积分I在 0 a 点的任何邻域 内非一致收敛 从而积分I在 0 a 时非一致收敛 2 解 当 0 y 时 被积函数是连续的 因此 yF 为连续函数 当 0 y 时 显然有 0 0 F 当 0 y 时 设m为 xf 在 1 0 上的最小值 则 0 m 由于 y arctgmdx yx y myF 1 1 0 22 及 2 1 lim 0 y arctg y 故有 0 2 lim 0 m yF y 所以 yF 当 0 y 时不连续 分析试题分析试题 5 5 一 填空题一 填空题 每小题 5 分 共 20 分 1 若平面区域D由曲线 2 0 3yx yxy 围成 则D d 2 设L为任一条不含原点在内的闭曲线 则 22 L xdyydx xy A 3 曲面积分 2222 xyzR xdydzydzdxzdxdy A 指向外侧 4 设曲线L是 2222 xyzaxy 与 的交线 则 22 2 L yz ds 二二 计算题 计算题 每小题 10 分 共 50 分 1 求球面 50 222 zyx 与锥面 222 zyx 所截出的曲线的点 5 4 3 处的切线与法平面方 程 2 求平面 0 z 圆柱面 xyx2 22 锥面 22 yxz 所围成的曲顶柱体的体积 3 计算三重积分 V dxdydzzyxI 其中 10 10 10 zyxV 4 利用含参变量积分的方法计算下列积分 dxe x 2 5 计算 M dxdyzdzdxydydzx 333 其中M为上半椭球面 0 0 1 2 2 2 2 2 2 cbaz c z b y a x 定向取上侧 三 三 证明题证明题 每小题 15 分 共 30 分 1 若 1 n 及 0 0 yx 证明不等式 22 n nn yxyx 2 证明 dx x xy 0 sin 关于y在 0 baba 上一致收敛 但在 0 上非一致收敛 试题试题 5 5 答案答案 一 填空题一 填空题 每小题 5 分 共 20 分 1 3 2 0 3 4 3 R 4 2 2 a 二 计算题二 计算题 每小题 10 分 共 50 分 解 设 50 222 zyxzyxF 222 zyxzyxG 它们在 5 4 3 处的偏导数和雅可比行列式之值为 6 x F 8 y F 10 z F 6 x G 8 y G 10 z G 和 160 zy GF 120 xz GF 0 yx GF 所以曲线在 5 4 3 处的切线方程为 0 5 120 4 160 3 zyx 即 5 0 4 4 3 3 z yx 法平面方程为 0 5 0 4 3 3 4 zyx 即 034 yx 2 解 其体积 D dxdyyxV 22 xyxD2 22 9 32 sin sin1 3 8 cos 3 8 2 2 2 2 2 3 cos2 0 2 2 2 22 d d drrddxdyyxV D 3 解 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 2 3 1 2 2 1 2 1 2 dxxdx y yxdyyxdx dy z zyxdxdzzyxdydxdxdydzzyx V 4解 首先 令 dxeI x 2 则 dxeI x 0 2 2 在积分 dxe x 0 2 中 再令 utx 其中u为任意正数 即得 2 00 222 dxeudxeI tux 再对上式两端乘以 due u2 然后对u从0到 积分 得 00 2 4 222 dtuedueI tuu 注意到积分次序可换 即得 1 2 4 4 0 2 00 1 00 2 22 222 t dt uduedt dtuedueI ut tuu 由于 0 I 故 I 5 利用广义球面坐标代入曲面方程就可得曲面的参数方程为 2 0 2 0 cos cossin cossin czbyax 易得 cossin 2 bc zy sinsin 2 ac xz cossin 2 ba yx 因此 5 2 cossinsinsincossin 222 3453 2 0 2 0 453 333 cbaabc dabcacbbcad dxdyzdzdxydydzx M 三 证明题三 证明题 每小题 10 分 共 20 分 1 证明 考虑函数2 nn yx z 在条件 0 0 0 yxaayx 下的极值问题 设 2 1 ayxyxyxF nn 解方程组 0 0 2 0 2 1 1 ayx F y n y F x n x F n n 可得 2 a yx 从而 222 nn nn yxayx 如果 0 yx 时 则结论显然成立 2 证明 首先证 dx x xy 0 sin 在 ba 上一致收敛 由于 0 22 cos 1 sin 0 bayA ayy Ay xydx A 因而一致有界 而 x 1 是x的单调减少函数且 0 1 lim x x 由于 x 1 与y无关 因此这个极限关于 y是一致的 于是由 Dirichelt 判别法知 dx x xy 0 sin 在 bay 上一致收敛 再证 dx x xy 0 sin 在 0 上非一致收敛 对于正整数n 取 ny 1 这时 3 2 sin 3 2 sin sin 2 32 32 3 n n n n n n dx n x n dx x nx dx x xy 只要取 3 2 0 则对于任意 0 A 总存在正整数n满足 0 An 取 ny 1 这时成立 3 2sin 0 2 3 n n dx x xy 由 Cauchy 收敛原理知 dx x xy 0 sin 在 0 上非一致收敛 分析试题分析试题 6 6 一一 选择题 选择题 每小题 6 分 共 30 分 1 设D是第二象限内的一个有界必区域 而且0 1y 记 1 D Iyxd 2 2 D Iy xd 1 2 3 D Iy xd 则 123 I II 的大小顺序是 A 123 III B 213 III C 312 III D 123 III 2 设S是由平面 1xyz 与三个坐标面围成四面体V的表面并取外侧则曲面积分 S xdydzydzdxzdxdy A V的表面积 B V的体积 C 1 3 D 1 2 3 曲面 3 z ezxy 在点 2 1 0 处的切方程是平面 240 240 240 250AxyBxyzCxyDxy 4 积分 2 00 ay dyf x y dx 变换顺序后为 2222 22 00000 yaaaaaax xxa Adxf x y dyBdxf x y dyCdxf x y dyDdxf x y dy 5 设S为球 面 222 1 S xyzxyz ds 则 21 0 33 ABCD 二 二 计算题计算题 每小题 10 分 共 50 分 1 求 l dsyxI 此处l为联结三点 1 1 0 1 0 0 BAO 的直线段 2 计算二重积分 dxdyyxI 22 其中 是以 ayaxyxy 和 0 3 aay 为边的平行四边形 3 一页长方形白纸 要求印刷面积占 2 cmA 并使所留叶边空白为 上部与下部宽度之和为 cmh 左部与右部之和为cmr 试确定该页纸的长 y 和宽 x 使得它的总面积为最小 4 计算三重积分 V dxdydz c z b y a x I 2 2 2 2 2 2 其中V是椭球体 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 5 计算含参变量积分 0 0 abdx x ee bxax 的值 三三 讨论题讨论题 每小题 10 分 共 20 分 1 已 知 y x uarccos 试确定二阶偏导数 yx u 2 与 xy u 2 的关系 2 讨论积分 dx xx xx qp cos 的敛散性 分析试题分析试题 6 6 答案答案 一一 选择题选择题 每小题 6 分 共 30 分 1 C 2 D 3 C 4 B 5 0 二二 计算题计算题 每小题 10 分 共 50 分 1 解 dsyxdsyxI lBOABOA 在直线段OA上 dxdsy 0 得 2 1 1 0 OA xdxdsyx 在直线段AB上 dydsx 1 得 2 3 1 1 0 AB dyydsyx 在直线段BO上 dxdsxy2 得 222 1 0 BO dxxdsyx 所以 22 I 2 解 a a y ay adxyxdydxdyyx 3 42222 14 3 解 由题意 目标函数与约束条件分别为 xyS 与 Ahyrxhyrx 作 Lagrange 函数 AhyrxxyL 则有 0 0 0 AhyrxL rxxL hyyL y x 由此解得 1 1 1 r Ahh y r x 于是有 h r Ah yr h Ar x 并且易知它是极小值点 4 解 由于 dxdydz c z dxdydz b y dxdydz a x I VVV 2 2 2 2 2 2 其中 D a a V dydzdx a x dxdydz a x 2 2 2 2 这里D表示椭球面 2 2 2 2 2 2 1 a x c z b y 或 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 a x c z a x b y 它的面积为 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a x bc a x c a x b 于是 abcdx a x x a bc dxdydz a x a a V 15 4 1 2 2 2 22 2 同理可得 abcdxdydz b y V 15 4 2 2 abcdxdydz c z V 15 4 2 2 所以 abcabcI 5 4 15 4 3 5 计算含参变量积分 0 0 abdx x ee bxax 的值 解 因为 dye x ee b a xy bxax 所以 dyedxdx x ee b a xy bxax 00 注意到 xy e 在域 bya 0 x 上连续 又积分 dxe xy 0对 bya 是一致收敛的 事实上 当 bya 0 x 时 axxy ee 0 但积分 dxe ax 0收敛 故积分 dxe xy 0是一致收敛的 于是 利用对参数的积 分公式 即得 dxedydyedx xy b a b a xy 00 从而得 a b y dy dxedydx x ee b a b a xy bxax ln 00 三三 讨论题讨论题 每小题 10 分 共 20 分 1 当 yx 0 时 y x uarccos y x arccos y xx u 1 1 yx2 1 2 1 xyx y xy u 1 1 2 3 2y x 2 2 xyy x yx u 2 2 3 4 1 xyx xy u 2 4 1 2 xyyx 2 3 4xyy x 2 3 4 1 xyx 于是 当