平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高1

坐标的应用 讲义 坐标的应用 讲义 知识点睛知识点睛 y xO 平面直角坐标系知识回顾 平面直角坐标系知识回顾 1 1 数轴是规定了原点 正方向和单位长度的一条直线 当我们把两条数轴是规定了原点 正方向和单位长度的一条直线 当我们把两条 数轴如图放置 就能构成平面直角坐标系 它们有共同的原点 水数轴如图放置 就能构成平面直角坐标系 它们有共同的原点 水 平方向的数轴我们叫平方向的数轴我们叫x x轴或横轴 铅直方向的数轴我们叫轴或横轴 铅直方向的数轴我们叫y y轴或纵轴 轴或纵轴 2 我们用有序实数对 我们用有序实数对 a ba b 来表示平面直角坐标系内的坐标 数轴 来表示平面直角坐标系内的坐标 数轴 把平面直角坐标系分成四个部分 分别是第一象限 第二象限 第把平面直角坐标系分成四个部分 分别是第一象限 第二象限 第 三象限 第四象限 每一个象限内的符号 三象限 第四象限 每一个象限内的符号 3 每一个点 每一个点 a ba b 的坐标由两部分组成 的坐标由两部分组成 A A 它的符号 由它在坐标 它的符号 由它在坐标 系中的位置决定 系中的位置决定 B B 它的长度 它的长度 a a的绝对值表示点到纵轴的距离 的绝对值表示点到纵轴的距离 b b的绝对值表示点到横轴的距离 一般需做横平竖直的垂线 的绝对值表示点到横轴的距离 一般需做横平竖直的垂线 4 关于关于x x轴对称的两个点 轴对称的两个点 x x相同 相同 y y相反 关于相反 关于y y轴对称的两个点 轴对称的两个点 x x 相反 相反 y y相同 关于原点对称的两个点 相同 关于原点对称的两个点 x x y y都相反 于都相反 于x x轴平行的轴平行的 直线 直线 y y相同 相同 x x不同 可表示为不同 可表示为y by b 于 于y y轴平行的直线 轴平行的直线 x x相同 相同 y y 不同 可表示为不同 可表示为x ax a 坐标系中求线段长的方法 如果两个点的连线平行于坐标系中求线段长的方法 如果两个点的连线平行于x x轴或轴或y y轴 则其轴 则其 线段长等于大坐标 小坐标 如果不平行 则运用两点之间的距离线段长等于大坐标 小坐标 如果不平行 则运用两点之间的距离 公式 公式 L L 122 22 1 xxyy 5 5 牢记中点坐标公式 牢记中点坐标公式 1212 22 xxyy 6 6 平面直角坐标系中坐标的处理原则 平面直角坐标系中坐标的处理原则 A 过点做平行于 过点做平行于x x轴 轴 y y轴的垂线 轴的垂线 B 坐标转线段长 线段长转坐标坐标转线段长 线段长转坐标 4 点的存在性问题 3 平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标 4 等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标 精讲精练精讲精练 1 如图所示 在平面直角坐标系中 正方形ABCD的顶点A 1 0 B 0 4 顶点C D在第二象限内 则C D两点的坐标分别是 y xO D C A B 分别过 分别过C C D D两点构造双垂直模型 正方形四边均相等 因此所构造两点构造双垂直模型 正方形四边均相等 因此所构造 的双垂直模型都是全等三角形 的双垂直模型都是全等三角形 在平面直角坐标系中 四边形ABCD各顶点的坐标分别是A 2 3 B 5 2 C 2 4 D 2 2 求四边形ABCD的周长和面 积 y xO 构造直角三角形 将坐标转化为线段长 利用勾股定理求出各边长 构造直角三角形 将坐标转化为线段长 利用勾股定理求出各边长 即可 将此四边形补成正方形 通过即可 将此四边形补成正方形 通过 补形以做差补形以做差 利用大正方 利用大正方 形面积减去三个小直角三角形面积即可 形面积减去三个小直角三角形面积即可 9 如图 在平面直角坐标系中 已知A 0 2 B 3 0 C 3 4 三点 y x 4 3 O C P A B 3 2 1 21 1 求 ABC的面积 2 如果在第二象限内有一点P m 是否存在点P 使四边形 1 2 ABOP的面积与 ABC的面积相等 若存在 求出点P的坐标 若不 存在 请说明理由 总结提升 总结提升 1 1 此题需将坐标转化为线段长 方法是 如果两个点的连线平行于 此题需将坐标转化为线段长 方法是 如果两个点的连线平行于x x 轴或轴或y y轴 则其线段长等于大坐标 小坐标 如果不平行 则运用两轴 则其线段长等于大坐标 小坐标 如果不平行 则运用两 点之间的距离公式 点之间的距离公式 L L 122 22 1 xxyy 2 2 平面直角坐标系中 我们常使用 平面直角坐标系中 我们常使用 分割以求和分割以求和 或或 补形以作差补形以作差 来计算面积 比如此题就可以来计算面积 比如此题就可以OAOA为共同的底边分割成两个小三角形为共同的底边分割成两个小三角形 求四边形的面积 求四边形的面积 18 如图 在平面直角坐标系中 A x1 y1 B x2 y2 取线段AB 的中点M 分别作A B到x轴的垂线段AE BF 取EF的中点N 则 MN是梯形AEFB的中位线 故MN x轴 利用梯形中位线的知识 我们可以得到点M的坐标是 用x1 y1 x2 y2表示 y xN M FE A B O 牢记中点坐标公式 牢记中点坐标公式 已知点M 4 2 将坐标系向下平移3个单位长度 再向左平移3个单 位长度 则点M在新坐标系内的坐标为 总结提升 牢记点的平移和坐标系的平移不同 坐标系的平移相当 总结提升 牢记点的平移和坐标系的平移不同 坐标系的平移相当 于把点向反方向平移 于把点向反方向平移 34 如图 35 将 ABC绕点C 0 36 1 旋转180 得到 A B C 37 设点A的坐标38 为 a 39 b 40 则点A 的坐标41 为 A a b B a b 1 C a b 1 D a b 2 y x B B A O C A 总结提升 由于旋转 总结提升 由于旋转180 180 根据旋转的性质 对应点到旋转中 根据旋转的性质 对应点到旋转中 心的距离相等 且又在一条直线上 所以我们可以利用中点坐标公心的距离相等 且又在一条直线上 所以我们可以利用中点坐标公 式直接求出 式直接求出 42 如图 已知A 0 B 0 2 把 AOB绕点A顺时针旋转60 2 3 后得到 AO B 则点B 的坐标是 A 4 B 4 2 32 3 C 3 D 32 3 22 3 y x B O B AO 总结提升 首先把坐标转化为线段长 可以得出三角形 总结提升 首先把坐标转化为线段长 可以得出三角形AOBAOB是一是一 个含有个含有30 30 角的直角三角形 又由于旋转角是角的直角三角形 又由于旋转角是60 60 所以 所以A A B 垂直于垂直于 横轴 再把线段长转化为坐标即可 横轴 再把线段长转化为坐标即可 50 如图 在平面直角坐标系中 已知A 4 1 B 0 3 请在x轴 上找一点P 使得点P到点A B两点距离之和最小 则点P的坐标是 3 A B x y 1 234 2 1 5 4 3 2 1 O 总结提升 这是一个典型的奶站问题 做点 总结提升 这是一个典型的奶站问题 做点B关于横轴的对称点 连关于横轴的对称点 连 接此对称点和接此对称点和A点 于横轴的交点就是所求的点 求出直线的表达式 点 于横轴的交点就是所求的点 求出直线的表达式 然后求出和横轴的交点即可 然后求出和横轴的交点即可 62 如图 把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中 其中 A 2 0 B 2 2 连接OB 将纸片OABC沿OB折叠 使点 3 A落在A 的位置上 则点A 的坐标为 A O C A B x y 总结提升 欲求点总结提升 欲求点A 的坐标 我们可以向横轴做垂线并交横轴于的坐标 我们可以向横轴做垂线并交横轴于G G点 点 根据折叠的轴对称性质 折叠是一种全等变换 则根据折叠的轴对称性质 折叠是一种全等变换 则 BOA BO BOA BOA 60 60 则 则 A OG OG也也 60 60 则我们构造的小直角三角 则我们构造的小直角三角 形是一个含有形是一个含有30 30 角的直角三角形 根据三边关系比 可求出相应线角的直角三角形 根据三边关系比 可求出相应线 段的长 然后转化为点的坐标即可 段的长 然后转化为点的坐标即可 74 如图 在平面直角坐标系中 四边形OABC是正方形 A点坐标为 0 2 E是线段BC上一点 且 AEB 60 沿AE折叠后B点落在 点F处那么F点的坐标是 F xO E C BA y 总结提升 此题道理同上 我们过 总结提升 此题道理同上 我们过F F点做横轴的平行线 与点做横轴的平行线 与BCBC相交与相交与 点点H H 根据折叠的轴对称性质 根据折叠的轴对称性质 BEA AEF 60 BEA AEF 60 则角 则角FEH 60 FEH 60 我们构造的是一个含有我们构造的是一个含有30 30 角的直角三角形 根据其三边关系比 角的直角三角形 根据其三边关系比 分别求出三边的长度 然后用分别求出三边的长度 然后用2 2 BHBH即是即是F F的纵坐标 的纵坐标 2 2 HFHF的相反的相反 数就是数就是F F的横坐标 的横坐标 86 已知A 2 0 B 3 0 C 0 1 以A B C三点为顶点 作平行四边形 则第四个顶点的坐标为 O y x 2 1 1 2 123456 6 5 4 3 2 1 总结提升 总结提升 1 1 这是一个典型的这是一个典型的 三个定点 一个动点三个定点 一个动点 平行四边形的存在性平行四边形的存在性 的问题 常用的处理模式是选择其中的一边既做边也做对角线 的问题 常用的处理模式是选择其中的一边既做边也做对角线 以便不重不漏 由于在平面直角坐标系中 我们选择横轴或纵以便不重不漏 由于在平面直角坐标系中 我们选择横轴或纵 轴上的线段 以方便计算 轴上的线段 以方便计算 2 若以若以ABAB为边 根据平行四边形的对边平行且相等 我们过点为边 根据平行四边形的对边平行且相等 我们过点C C做做 ABAB的平行线 则有两种情况 分别过两个的平行线 则有两种情况 分别过两个D D点做此平行线的垂线 点做此平行线的垂线 则可以构造两个小直角三角形 与相应的三角形对应全等 借则可以构造两个小直角三角形 与相应的三角形对应全等 借 助于其三边的关系即可求出点助于其三边的关系即可求出点D D的坐标 的坐标 3 若以若以AB为对角线 根据平行四边形的对边平行且相等 分别做为对角线 根据平行四边形的对边平行且相等 分别做 两边的平行线相交与两边的平行线相交与D点即可 然后再过点即可 然后再过D点做横轴的垂线构造点做横轴的垂线构造 直角三角形解题即可 直角三角形解题即可 97 如图 在平面直角坐标系中 已知A 2 2 在y轴上确定点P 使 AOP为等腰三角形 则符合条件的点P坐标为 A x 1 23 2 1 3 2 1O y 4 3 总结提升 这是一个典型的 总结提升 这是一个典型的 两个定点 一个动点两个定点 一个动点 求等腰三角形求等腰三角形 的存在性的题目 我们常用的处理模式是 的存在性的题目 我们常用的处理模式是 一条线 两个圆一条线 两个圆 也就 也就 是先做定线段是先做定线段OA的垂直平分线 与纵轴的交点即是其中的一个点 然的垂直平分线 与纵轴的交点即是其中的一个点 然 后分别以两个定点为圆心 定长线段为半径画圆 与纵轴的交点即是后分别以两个定点为圆心 定长线段为半径画圆 与纵轴的交点即是 其他的点 当然最终还要排除上述各点中有可能重合的点 其他的点 当然最终还要排除上述各点中有可能重合的点 如图 O为坐标原点 四边形OABC为矩形 A 6 0 C 0 2 点 M是OA的中点 点P在线段BC上运动 当 OMP是腰长为3的等腰 三角形时 则P点的坐标为 O M P C B A y x 总结提升 总结提升 1 1 根据根据 两个定点 一个动点两个定点 一个动点 求等腰三角形的存在性的解题模型 求等腰三角形的存在性的解题模型 我们先判断谁是定点 谁是动点 然后按照我们先判断谁是定点 谁是动点 然后按照 一条线 两个圆一条线 两个圆 的的 模型解题 模型解题 2 由于此题的特殊性 一条线不再使用 我们只考虑分别以两个定点由于此题的特殊性 一条线不再使用 我们只考虑分别以两个定点 为圆心 定长线段为半径做圆 然后过这两个圆与为圆心 定长线段为半径做圆 然后过这两个圆与BCBC的交点向横轴的交点向横轴 做垂线 构造直角三角形 运用勾股定理解题即可 总共三个点 做垂线 构造直角三角形 运用勾股定理解题即可 总共三个点 113 如图 方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形 A B两点在 小方格的顶点上 位置分别用 2 2 4 3 来表示 请在小方 格的顶点上确定一点C 连接AB AC BC 使 ABC的面积为2个 平方单位 则点C的位置有 个 B A 总结提升 总结提升 1 此题首先需要通过点的坐标确定原点的位置 此题首先需要通过点的坐标确定原点的位置 2 由于 由于A B两点是定点 而两点是定点 而C是动点 我们先随意确定一个是动点 我们先随意确定一个C点的位点的位 置 使得由此构成的三角形的面积是置 使得由此构成的三角形的面积是2 3 根据平行线间的距离处处相等 为此我们过确定的 根据平行线间的距离处处相等 为此我们过确定的C的位置做线段的位置做线段 AB的平行线 这条平行线上的格点即是我们所求的点 的平行线 这条平行线上的格点即是我们所求的点 4 同时在线段 同时在线段AB的另一侧 也一定存在着另一条等距离的平行线 的另一侧 也一定存在着另一条等距离的平行线 我们再看看有几个格点 两项相加 即是全部的点 我们再看看有几个格点 两项相加 即是全部的点 三 回顾与思考三 回顾与思考 参考答案参考答案 一 知识点睛一 知识点睛 1 坐标转线段长 线段长转坐标 过点作横平竖直的线 2 平移线段 一线两圆 二 精讲精练二 精讲精练 1 4 5 5 1 2 5 55 25 65 2 3 1 6 2 存在 3 1 2 4 1212 22 xxyy 5 1 5 6 D 7 B 8 3 0 9 1 3 10 1 23 11 1 1 5 1 5 1 12 0 0 2 0 0 4 2 22 2 13 2 3 2 3 2 555 14 7 坐标的应用 随堂测试 坐标的应用 随堂测试 1 如图 平面直角坐标系中有一矩形OABC 其中A 4 0 3 C 0 4 若将 AOB沿OB所在直线翻折 点A落在点D处 则D点的 坐标是 C AO B D y x 2 如图 在平面直角坐标系中 其中A 2 0 ABO 30 在y轴 上取一点P 使 PAB是等腰三角形 则符合条件的点P坐标为 y x B AO 参考答案参考答案 1 6 2 3 2 0 0 0 0 42 3 2 3 3 42 3 2 3 坐标的应用 作业 坐标的应用 作业 4 在平面直角坐标系中 ABC三个顶点的坐标分别为 2 3 5 2 2 0 求 ABC的周长和面积 y xO 分割以求和 补形以作差 分割以求和 补形以作差 10 如图 已知A 0 4 B 2 0 把线段AB绕点A逆时针旋转90 点B落在点B 处 则点B 的坐标是 A 6 4 B 4 6 C 6 5 D 5 6 OB A B x y 构造双垂直模型解题即可 构造双垂直模型解题即可 15 如图 图形关于点D 0 2 成中心对称 若点A的坐标是 2 3 则点 的坐标为 D O A M y x 运用中点坐标公式解题即可 运用中点坐标公式解题即可 22 在平面直角坐标系中 点C坐标为 0 点E坐标为 3 1 0 将 COE沿直线CE折叠 点O落在点D处 则点D的坐 为 y x C D EO 过点 过点D D做横轴的垂线 构造含做横轴的垂线 构造含30 30 角的直角三角形 利用其三边关角的直角三角形 利用其三边关 系比解题即可 系比解题即可 30 在平面直角坐标系中 A B C三点的坐标分别为 0 0 0 3 2 1 以这三点为平行四边形的三个顶点 则第 四个点的坐标为 1 4 3 2 O1 2 3 4 1 2 32 1 y x 3 按照 按照 三个定点 一个动点三个定点 一个动点 求平行四边形的村庄行解题模型解求平行四边形的村庄行解题模型解 题即可 题即可 36 如图 在平面直角坐标系中 已知点P 2 1 点T是x轴上的一 个动点 当 PTO是等腰三角形时 点T的坐标为 P x 1 23 1 3 2 1O y 2 3 1 4 根据 根据 两个定点 一个动点两个定点 一个动点 求等腰三角形的存在性解题模型解题求等腰三角形的存在性解题模型解题 即可 即可 41 如图 在平面直角坐标系中 四边形OABC是矩形 点B的坐标为 5 4 点P为线段BC上动点 当 POA为等腰三角形时 点P 的坐标为 y x P C B A O 47 把 ABC放在平面直角坐标系中 点A的坐标为 0 1 点B的 坐标为 2 1 点C的坐标为 4 3 如果要使 ABD与 ABC全等 则点D的坐标为 1 2 3 4 56 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 6 5 4321x y O 总结提升 由于待求全等三角形和已知三角形有共同的边 总结提升 由于待求全等三角形和已知三角形有共同的边ABAB 因此 因此 此题实质上是一个轴对称性质的题 由于此题实质上是一个轴对称性质的题 由于ABAB平行于横轴 所以我们以平行于横轴 所以我们以 ABAB为折痕 把原三角形翻折过去 对应的点就是为折痕 把原三角形翻折过去 对应的点就是D D点的一个位置 再做点的一个位置 再做 出线段出线段ABAB的垂直平分线 以之为折痕 把原三角形再翻折过去 对应的垂直平分线 以之为折痕 把原三角形再翻折过去 对应 点则是另一个点则是另一个D D点的位置 最后把翻折得到的两个三角形中的任意一个点的位置 最后把翻折得到的两个三角形中的任意一个 再翻折一次就可以得到第三个再翻折一次就可以得到第三个D D点的位置 利用中点坐标公式求即可 点的位置 利用中点坐标公式求即可 参考答案参考答案 1 34535 29 2 2 B 3 2 7 4 33 22 5 2 3 2 7 2 3 6 0 0 4 0 0 5 4 55 7 4 3 4 2 4 5 2 8 2 3 4 1 2 1 坐标的应用坐标的应用 每日一题每日一题 1 如图所示 已知边长为1 的正方形OABC在直角坐标系中 B C两点 在第二象限内 OA与x轴的夹角为60 求点B的坐标 注意到此题中出现了含有 注意到此题中出现了含有30 30 角的直角三角形 过点角的直角三角形 过点A A分别做横分别做横 轴和纵轴的垂线 构造双垂直模型即可 轴和纵轴的垂线 构造双垂直模型即可 2 慧慧在一次数学课上 将一副30 60 90 和45 45 90 的三角板如图放在直角坐标系中 发现点A的坐标刚好是 0 93 3 求图中两个三角板的交点P的坐标 注意到此题中出现了含有 注意到此题中出现了含有30 30 角和角和45 45 角的特殊直角三角形 角的特殊直角三角形 我们可以利用其三边关系比 先求出有关线段的长 然后过点我们可以利用其三边关系比 先求出有关线段的长 然后过点P P做做 横轴的垂线 设此垂线长为横轴的垂线 设此垂线长为a a 把 把OAOA表示为含有表示为含有a a的代数式 列方的代数式 列方 程解题即可 程解题即可 3 如图所示 A 0 B 0 1 分别为x轴 y轴上的点 3 ABC为等边三角形 点P 3 a 在第一象限内 且满足2S ABP S ABC 求a的值 总结提升 总结提升 1 1 首先根据题目中提供的条件 计算出等边三角形的面积 首先根据题目中提供的条件 计算出等边三角形的面积 2 2 我们利用 我们利用 坐标系中求三角形面积的模型坐标系中求三角形面积的模型 来求三角形来求三角形ABPABP的的 面积 先求出直线面积 先求出直线APAP的表达式 设其与纵轴的交点是的表达式 设其与纵轴的交点是H H 然后用 然后用 大坐标 小坐标大坐标 小坐标 求出求出BHBH的长 则三角形的长 则三角形ABPABP就被我们分隔成了就被我们分隔成了 分别以分别以BHBH为共同底边的两个小三角形 左边小三角形的高是为共同底边的两个小三角形 左边小三角形的高是A A点横点横 坐标的绝对值 右边小三角形的高是坐标的绝对值 右边小三角形的高是P P点横坐标的绝对值 据此列点横坐标的绝对值 据此列 方程解题即可 方程解题即可 4 如图 在平面直角坐标系中 点B在x轴正半轴上 点A在第一象限 OE是 AOB的中线 已知OB OE 5 S AOB 15 求A E两点的坐 标 总结提升 总结提升 1 1 为了求点 为了求点E E的坐标 我们过点的坐标 我们过点E E做横轴的垂线 根据等底同高的做横轴的垂线 根据等底同高的 两个三角形面积相等 则三角形两个三角形面积相等 则三角形OEBOEB的面积等于大三角形面积的一的面积等于大三角形面积的一 半 然后根据三角形面积公式求出高即是半 然后根据三角形面积公式求出高即是E E点的纵坐标 然后再用点的纵坐标 然后再用 勾股定理求出其横坐标即可 勾股定理求出其横坐标即可 2 2 为了求点 为了求点A A的坐标 注意到点的坐标 注意到点E E是是ABAB两点的中点 代入中点坐标两点的中点 代入中点坐标 公式求解即可 公式求解即可 5 如图 在平面直角坐标系中 四边形OABC为平行四边形 其中O为 坐标原点 且点B 4 4 C 1 3 OB AC相交于点D 求A D两点坐标 求四边形OABC的面积 总结提升 总结提升 1 根据平行四边形的性质 对角线互相平分 因此根据平行四边形的性质 对角线互相平分 因此D点是点是O B 两点的中点 先利用中点坐标公式求出点两点的中点 先利用中点坐标公式求出点D的坐标 再根据的坐标 再根据 点点D也是也是A C两点的中点 代入中点坐标公式求出点两点的中点 代入中点坐标公式求出点A的坐的坐 标即可 标即可 2 利用两点之间的距离公式 利用两点之间的距离公式 L L 分别求出分别求出 122 22 1 xxyy 有关线段的长 可以判定此平行四边形是菱形 根据菱形面有关线段的长 可以判定此平行四边形是菱形 根据菱形面 积公式积公式 两条对角线乘积的一半 分别计算出两条对角线的两条对角线乘积的一半 分别计算出两条对角线的