2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.2.1 指数函数及其图象性质学案 新人教A版必修第一册

1 第第 1 1 课时课时 指数函数及其图象性质指数函数及其图象性质 1 通过实例理解指数函数的概念 了解指数函数在生活中的应用 2 掌握指数函数图象和性质 3 会应用指数函数的性质求函数的定义域 值域 1 指数函数的定义 一般地 函数y ax a 0 且a 1 叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域为 r r 温馨提示 指数函数解析式的 3 个特征 1 底数a为大于 0 且不等于 1 的常数 2 自变量x的位置在指数上 且x的系数是 1 3 ax的系数是 1 2 指数函数的图象和性质 温馨提示 1 底数a与 1 的大小关系决定了指数函数图象的 升 与 降 当a 1 时 指数函数的图象是 上升 的 当 0 a0 且a 1 的图象恒过点 0 1 1 a 只要确定了 1 1 a 这三个点的坐标 即可快速地画出指数函数y ax a 0 且a 1 的大致图象 1 观察下列从数集a到数集b的对应 a r r b r r f x y 2x a r r b 0 f x y x 1 2 1 这两个对应能构成函数吗 2 这两个函数有什么特点 答案 1 能 2 底数为常数 指数为自变量 2 函数y x的图象与y 2x的图象有何关系 1 2 答案 关于y轴对称 3 判断正误 正确的打 错误的打 1 y x2是指数函数 2 指数函数的图象位于x轴的上方 3 函数y ax 1 的图象过定点 0 1 4 函数y x的值域是 0 1 3 答案 1 2 3 4 题型一指数函数的概念 典例 1 1 下列函数 y 2 3x y 3x 1 y 3x y x3 其中 指数函数的个数是 a 0b 1 c 2d 3 2 函数y a 2 2ax是指数函数 则 a a 1 或a 3b a 1 c a 3d a 0 且a 1 思路导引 形如 y ax a 0 且a 1 的函数为指数函数 解析 1 形如 y ax a 0 且a 1 的函数为指数函数 只有 符合 选 b 2 由指数函数的概念可知 error 得a 3 答案 1 b 2 c 3 判断一个函数是指数函数的方法 1 看形式 只需判断其解析式是否符合y ax a 0 且a 1 这一结构特征 2 明特征 看是否具备指数函数解析式具有的三个特征 只要有一个特征不具备 则 该函数不是指数函数 针对训练 1 函数f x m2 m 1 ax a 0 且a 1 是指数函数 则m 解析 函数f x m2 m 1 ax是指数函数 m2 m 1 1 解得m 0 或 1 答案 0 或 1 2 若函数f x 是指数函数 且f 2 9 则f 2 f 1 解析 设f x ax a 0 且a 1 f 2 9 a2 9 a 3 即f x 3x f 2 3 2 f 1 3 1 9 答案 3 1 9 题型二指数函数的图象 典例 2 1 函数f x ax b的图象如图所示 其中a b为常数 则下列结论正 确的是 a a 1 b1 b 0 c 0 a0 d 0 a 1 b0 且a 1 的图象过定点 解析 1 从曲线的变化趋势 可以得到函数f x 为减函数 从而有 0 a 1 从曲线 位置看 是由函数y ax 0 a0 即 b0 且a 1 的图象过定点 0 1 所以在函数y ax 3 3 4 中 令x 3 0 得x 3 此时y 1 3 4 即函数y ax 3 3 的图象过定点 3 4 答案 1 d 2 3 4 处理指数函数图象问题的 3 个策略 1 抓住特殊点 指数函数的图象过定点 0 1 求指数型函数图象所过的定点时 只 要令指数为 0 求出对应的y的值 即可得函数图象所过的定点 2 巧用图象变换 函数图象的平移变换 左右平移 上下平移 3 利用函数的奇偶性与单调性 奇偶性确定函数图象的对称情况 单调性决定函数图 象的走势 针对训练 3 函数y 2 x 的大致图象是 解析 y 2 x error 画出图象 可知选 c 答案 c 4 函数y 2ax 3 2 a 0 且a 1 的图象过定点 解析 令x 3 0 得x 3 此时y 2a0 2 2 2 4 即函数y 2ax 3 2 a 0 且a 1 的图象过定点 3 4 答案 3 4 题型三指数函数的定义域与值域 典例 3 求下列函数的定义域和值域 思路导引 利用整体换元的方法求解 解 1 要使函数式有意义 则 1 3x 0 即 3x 1 30 因为函数y 3x在 r r 上是增函数 所以x 0 故函数y 的定义域为 0 1 3x 因为x 0 所以 0 3x 1 所以 0 1 3x0 1 2 函数y x2 2x 3的值域为 0 16 1 2 课堂归纳小结 1 判断一个函数是不是指数函数 关键是看解析式是否符合y ax a 0 且a 1 这 一结构形式 即ax的系数是 1 指数是x且系数为 1 2 指数函数y ax a 0 且a 1 的性质分底数a 1 0 a0 且a 1 的定义域为 r r 即x r r 所以函数y af x a 0 且a 1 与函数f x 的定义域相同 4 求函数y af x a 0 且a 1 的值域的方法如下 1 换元 令t f x 并求出函数t f x 的定义域 2 求t f x 的值域t m 7 3 利用y at的单调性求y at在t m上的值域 1 下列各函数中 是指数函数的是 a y 3 xb y 3x c y 3x 1d y x 1 3 解析 由指数函数的定义知a 0 且a 1 故选 d 答案 d 2 y x的图象可能是 3 4 解析 0 0 1 2 1 2 8 函数值域为 0 2 答案 0 2 课后作业 二十七 复习巩固 一 选择题 1 下列函数中 指数函数的个数为 y x 1 y ax a 0 且a 1 y 1x y 2x 1 1 2 1 2 a 0 个b 1 个 c 3 个d 4 个 解析 由指数函数的定义可判定 只有 正确 答案 b 2 函数y 的定义域是 2x 1 a 0 b 0 c 0 d 0 解析 由 2x 1 0 得 2x 20 x 0 答案 c 3 当a 0 且a 1 时 函数f x ax 1 1 的图象一定过点 a 0 1 b 0 1 c 1 0 d 1 0 解析 当x 1 时 显然f x 0 因此图象必过点 1 0 答案 c 4 函数f x ax与g x x a的图象大致是 解析 当a 1 时 函数f x ax单调递增 当x 0 时 g 0 a 1 此时两函数的 图象大致为选项 a 答案 a 5 若函数y ax b 1 a 0 且a 1 的图象经过第二 三 四象限 则一定有 a 0 a0b a 1 且b 0 c 0 a 1 且b1 且b0 且a 1 的图象是由函数y ax的图象经过向上或向 下平移而得到的 因其图象不经过第一象限 所以a 0 1 若经过第二 三 四象限 则需将函数y ax 0 a 1 的图象向下平移至少大于 1 个单位长度 即b 1 1 b0 且a 1 经过点 1 5 0 4 则f 2 的值为 解析 由已知得error 解得error 所以f x x 3 所以f 2 2 3 4 3 7 1 2 1 2 答案 7 8 若函数f x error 则函数f x 的值域是 解析 由x 0 得 0 2x0 x 0 0 2 x 1 1 2 x0 且a 1 2 1 2 1 求a的值 2 求函数y f x x 0 的值域 解 1 f x 的图象过点 2 1 2 a2 1 则a 1 2 1 2 2 由 1 知 f x x 1 x 0 1 2 由x 0 得x 1 1 于是 0 x 1 1 2 1 2 1 2 所以函数y f x x 0 的值域为 0 2 10 2 令u x2 2x 2 则y u 1 2 又u x2 2x 2 x 1 2 1 0 x 3 当x 1 时 umin 1 当x 3 时 umax 5 故 1 u 5 5 y 1 1 2 1 2 故所求函数的值域为 1 32 1 2 综合运用 11 下列函数值域为 0 的是 a y 4b y 1 2 x1 2x c y d y 1 x 3x 1 1 3 解析 1 x r r 1 x 0 故选 d 1 3 答案 d 12 已知 0 m n 1 则指数函数 y mx y nx的图象为 11 解析 由于 0 m n0 时 3x 3 x f x 3 x f x 0 1 当x 0 时 f x 3x 3 x 1 当x 0 时 3x 3 x f x 3x f x 0 1 综上 f x 的值域是 0 1 答案 0 1 14 方程 2x 1 a有唯一实数解 则a的取值范