黑龙江省绥化市第九中学11-12学年高二数学上学期 空间向量与立体几何 理

用心 爱心 专心1 空间向量与立体几何训练题集萃 含答案 空间向量与立体几何训练题集萃 含答案 一选择题 1 下列说法中正确的是 B A 若 则 的长度相同 方向相反或相同 a b a b B 若与是相反向量 则 a b a b C 空间向量的减法满足结合律 D 在四边形 ABCD 中 一定有 ABADAC 2 已知向量 是两个非零向量 是与 同方向的单位向量 那么下列各式正a b 00 a b a b 确的是 D A B 或 00 ab 00 ab 00 ab C D 0 1a 0a 0b 3 在四边形 ABCD 中 若 则四边形是 D ACABAD A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 平行四边形 4 下列说法正确的是 D A 零向量没有方向 B 空间向量不可以平行移动 C 如果两个向量不相同 那么它们的长度不相等 D 同向且等长的有向线段表示同一向量 5 以下四个命题中正确的是 C A 空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B 若 为空间向量的一组基底 则 构成空间向量的另一组 a a b b c c a a b b b b c c c c a a 基底 C ABC 为直角三角形的充要条件为 0 AB AB AC AC D 任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 6 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 与向量模相等的向量有 C A1B1 A1B1 A 7 个 B 3 个 C 5 个 D 6 个 7 如图所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 下列各式中运算结果为向量的是 D AC1 AB BC CC1 AA1 A1D1 D1C1 AB BB1 B1C1 AA1 A1B1 B1C1 A B C D 8 对于向量 和实数 下列命题中的真命题是 B a b c A 若 0 则 0 或 0 B 若 0 则 0 或 0 a b a b a a C 若 2 2 则 或 D 若 则 a b a b a b a b a c b c 9 P 为正六边形 ABCDEF 外一点 O 为 ABCDEF 的中心则 等于 PA PA PB PB PC PC PD PD PE PE PF PF C 用心 爱心 专心2 A B 3 C 6 D PO PO PO PO PO PO 0 0 10 下列说法正确的是 A A 与非零向量共线 与共线 则与共线a b b c a c B 任意两个相等向量不一定共线 C 任意两个共线向量相等 D 若向量与共线 则a b ab 11 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿角线 BD 折成直二面角 若点 P 满足 则 BP BP 1 2 BA BA 1 2 BC BC BD BD 的值为 D BP BP A B 2 C D 3 2 9 4 12 已知平行六面体 M 是 AC 与 BD 交点 若 则 ABCDA B C D ABa ADb AAc 与相等的向量是 A B M A B C D 11 22 ab c 11 22 ab c 11 22 abc 11 22 abc 13 下列等式中 使 M A B C 四点共面的个数是 B OMOAOBOC 111 532 OMOAOBOC 0 MAMBMC 0OMOAOBOC A 1 B 2 C 3 D 4 14 在下列命题中 若 共线 则 所在的直线平行 若 所在的直线是a b a b a b 异面直线 则 一定不共面 若 三向量两两共面 则 三向量一a b a b c a b c 定也共面 已知三向量 则空间任意一个向量总可以唯一表示为a b c p x y z 其中正确命题的个数为 A p a b c A 0 B 1 C 2 D 3 15 下列命题中 若 则 中至少一个为0a b a b 0 若且 则a 0 a bac bc a bcab c 22 32 32 94ababab 正确有个数为 B A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 16 已知和是两个单位向量 夹角为 则下面向量中与垂直的是 C 1 e 2 e 3 21 2ee A B C D 12 ee 12 ee 1 e 2 e 17 若 a b 则是的 A 123 a a a 123 b b b 312 123 aaa bbb ab 用心 爱心 专心3 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不不要条件 18 已知 与的夹角为 120 则的值为 C 1 0 0 0 1 1AB OAOB OB A B C D 6 6 6 6 6 6 6 19 若 且的夹角为钝角 则的取值范围是 A 2 2 0 3 2 axbx x a b x A B 4x 40 x C D 04x 4x 20 已知 且 则 B 1 2 1 2aybx 2 2 abab A B C D 1 1 3 xy 1 4 2 xy 1 2 4 xy 1 1xy 21 已知两非零向量 e1 e2不共线 设 a e1 e2 R 且 2 2 0 则 D A a e1 B a e2 C a 与 e1 e2共面 D 以上三种情况均有可能 22 正方体 ABCD A B C D 中 向量与的夹角是 C A 30 AB BC B 45 C 60 D 90 23 设 A B C D 是空间不共面的四点 且满足 A A 0 A A 0 A A 0 则 BCD 是 B B C C D B D A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 不确定 24 平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 AB 1 AD 2 AA1 3 BAD 90 BAA1 DAA1 60 则 AC1的长为 D A B C D 13433323 25 已知 a 2 1 3 b 1 4 2 c 7 5 若 a b c 三向量共 面 则实数 D A B C D 62 7 63 7 64 7 65 7 26 若 a b 均为非零向量 则是 a 与 b 共线的 A a ba b A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 27 已知 ABC 的三个顶点为 A 3 3 2 B 4 3 7 C 0 5 1 则 BC 边上的中 线长为 B A 2 B 3 C 4 D 5 28 已知 2 3 则向量与之间的夹角为a b c 0 a b c 19a b a b C A 30 B 45 C 60 D 以上都不对 29 已知且与互相垂直 则的值是 D 1 1 0 1 0 2 ab kab 2ab k A 1 B C D 1 5 3 5 7 5 30 若 A B 当取最小值时 的值等于 C 12 5 xxx 2 2 1 xx BA x 用心 爱心 专心4 A B C D 19 7 8 7 8 14 19 31 空间四边形中 则的值是OABCOBOC 3 AOBAOC cos OA BC D A B C D 2 1 2 2 2 1 0 32 已知 点 Q 在直线 OP 上运动 则当 1 2 3 OA 2 1 2 OB 1 1 2 OP 取得最小值时 点 Q 的坐标为 C QA QB A B C D 1 3 1 2 4 3 1 2 3 2 3 4 4 4 8 3 3 3 4 4 7 3 3 3 二填空题 33 已知 顶点 A 1 0 0 B 0 1 0 C 0 0 2 则顶点 D 的坐标为 1 ABCDA 1 2 34 ABC 中 BAC 90 A 2 1 1 B 1 1 2 C x 0 1 则 x 2RtA 35 已知 A 3 5 7 B 2 4 3 则 AB 在坐标平面 yoz 上的射影的长度为 101 36 已知正方形 ABCD 的边长为 1 a b c 则 a b c 等于 AB BC AC 3 37 已知 O 是空间任一点 A B C D 四点满足任三点均不共线 但四点共面 且 2x 3y 4z OA BO CO DO 则 2x 3y 4z 1 38 已知 A B C 三点共线 则对空间任一点 O 存在三个不为 0 的实数 m n 使 m n 0 那么 m n 的值为 1 OA OB OC 39 已知矩形 ABCD P 为平面 ABCD 外一点 M N 分别为 BC PD 的中点 且满足 M x y z则实数 x y z 的值分别为 1 0 N AB AD AP 1 2 40 在空间四边形 ABCD 中 A C B A C B B D C D A D 0 0 41 已知 a 3 b 4 a 与 b 的夹角为 135 m a b n a b 则 m n 2 则 11 6 42 若向量 则 2 3 6 4 2 4 ba 118 23 2 abab A 43 若向量 则这两个向量的位置关系是 94 2kjibkjia ab 用心 爱心 专心5 y z N B C C1 1 B1 1 A A1 1 M x 44 已知向量 若 则 若则 2 4 3 1 2 xba a b x 10 3 a b 6 x 45 已知向量若则实数 3 5krjibkjima a b 15 m r 1 5 46 若 是平面内的三点 设平面的法向量 19 0 2 8 A 5 1 1 8 B 5 2 1 8 C 则 2 3 4 zyxa zyx 47 已知关于 x 的方程有两个实根 且 22 2350 xtxtt catb 1 1 3 1 0 2ab 当 t 时 的模取得最大值 c 4 3 48 已知矩形中 平面 且 若在边ABCD1 0 ABBCa aPA AC1PA BC 上存在一点 使得 则的取值范围是 a 2 QPQQD a 49 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动 并总保持 AP BD1则动 点 P 的轨迹为 A A 线段 B1C B 线段 BC1 C 线段 B1B 的中点与 CC1的中点连线段 D 线段 BC 的中点与 B1C1的中点连线段 解答题 50 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1的底面三角形 ABC 中 CA CB 1 BCA 900 棱 AA1 2 M N 分别是 A1B1 A1A 的中点 1 求的长 2 求的值 BN 11 cosCBBA 解 以 C 为原点建立如图空间直角坐标系 1 B 0 1 0 N 1 0 1 3 01 10 01 222 BN 2 2 1 0 0 0 0 2 0 1 11 BCA 5 6 11 CBBA 且 3 2 1 0 2 0 1 11 CBBA 10 30 11 11 11 cos CBBA CBBA CBBA 51 如图 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 M 是棱 AA1的中点 点 O 是对角线 BD1的 中点 1 求证 BD1 AC 2 求证 OM 是异面直线 AA1与 BD1的公垂线 证明 以 D 为原点 DC DA DD1所在的直线分别为 x y z 轴 建立如图所示空间 用心 爱心 专心6 F E M z y A DC B A1 1 B1 1 C1 1 D1 1 x N 直角坐标系 则 D 0 0 0 C 1 0 0 B 1 1 0 D1 0 0 1 M 0 1 O 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 BD 0 1 1 AC 001 1 1 1 1 1 ACBD 即 BD1 AC ACBD 1 2 1 1 1 1 0 0 0 112 1 2 1 BDAAOM 因为 所以 OM AA1 OM BD1 0 1 AAOM0 1 BDOM 即 OM 是异面直线 AA1与 BD1的公垂线 52 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别是棱 A1B1 A1D1的中点 E F 分别是棱 B1C1 C1D1的中点 求证 1 E F B D 四点共面 2 平面 AMN 平面 BDFE 证明 以 D 为原点 DC DA DD1所在的直线分别 为 x y z 轴 建立如图所示空间直角坐标系 设正方体棱长为 1 则 A 1 0 0 M 1 1 N 0 1 E 1 1 F 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 1 1 0 2 1 2 1 DBEF 即 E F B D 四点共面 EFDB2 2 1 0 0 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 MAMNDF 设是平面 BDFE 的一个法向量 则 zyxn 可取是平面 BDFE 的一个法向量 zy zx EFn DFn 2 2 0 0 1 2 2 n 易验证 0 MAnMNnMAnMNn 即也是平面 AMN 的一个法向量 平面 AMN 平面 BDFE 1 2 2 n 53 在棱长为 1 的正方体中 分别是和的中点 求直线 1111 ABCD A B C DMN 11 A B 1 BB 与所成夹角的余弦值 AMCN 解法一 11 AMAAAM CNCBBN 111 1 2 AM CNAAAMCBBNAA BN 用心 爱心 专心7 而 22 111111 15 1 42 AMAAAMAAAMAAAM 同理可得 如令为所求的角 则 5 2 CN 1 2 2 cos 5 5 4 AM CN AMCN 即直线与所成夹角的余弦值为 AMCN 2 5 解法二 以 D 点为坐标原点 分别以的方向向量为轴 轴 轴的正方向 1 DA DC DD xyz 建立如图所示的直角坐标系 则 11 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 22 AMCN 11 0 1 1 0 22 AMCN 故 111 0 10 1 222 AM CN 222 15 0 1 22 AM 222 15 10 22 CN 1 2 2 cos 5 55 22 AM CN AMCN 即直线与所成夹角的余弦值为 AMCN 2 5 54 已知矩形 ABCD 中 将 ABD 沿 BD 折起 使点 A 在平面 BCD 内的12 ADAB 射影落在 DC 上 E F G 分别为棱 BD AD AB 的中点 I 求证 DA