第十六章 分式

第十六章 分式 知识点 1 分式 1 分式的概念 形如 A B 是整式 且 B 中含有字母 B 0 的式子叫做分式 其中 A 叫分式 B A 的分子 B 叫分式的分母 2 分式有意义的条件 因为两式相除的除式不能为零 即分式的分母不能为零 所以 分式有意义的 条件是 分式的分母必须不等于零 即 B 0 分式有意义 B A 3 分式的值为零的条件 分子等于 0 分母不等于 0 二者缺一不可 知识点 2 有理式 有理式的分类 有理式 分式 整式 知识点 3 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以 或除以 同一个不等于零的整式 分式的值不变 用式子表示为 其中 M 0 MB MA B A MB MA B A 知识点 4 约分和通分 1 分式的约分 把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分 2 分式的通分 把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分 知识点 5 最简分式与最简公分母 约分后 分式的分子与分母不再有公因式 我们称这样的分式 为最简分式 取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母 这样的公分母称为最简公分母 知识链接 1 分数的意义 2 分数的基本性质 3 分数基本性质的作用 中考考点 本节的常考知识点有 1 分式的有关概念 分式的意义 分式的值等于零 2 分式的约分 分式的分子 分母的系数化整化正 3 求分式的值以及分式与其它题的综合 分式方程 学习目标 1 理解分式方程的定义 会解可化为一元一次方程的分式方程 了解产生增根的原因 并会验根 2 列出分式方程 解简单的应用题 重点难点 重点 把分式方程转化为整式方程求解的化归思想及具体的解题方法 难点 1 了解产生增根的原因 并有针对性地验根 2 应用题分析题意列方程 知识概要 1 分式方程的概念 2 解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤 去分母 即在方程的两边都乘以最简公分母 把原方程化为整式方程 解这个整式方程 验根 把整式方程的根代入最简公分母 看结果是不是零 使最简公分母为零的根是原方程的增 根 必须舍去 3 列分式方程解应用题的一般步骤 1 审 审清题意 2 设 设未知数 3 找 找出等量关系 4 列 列出分式方程 5 解 解这个分式方程 6 验 既要验证根是否为原分式方程的根 又要检验根是否符合题意 7 答 写出答案 知识链接 解分式方程主要是将其转化成整式方程来解 解完方程要注意验根即是否使最简公分母为零 中考视点 本节内容在中考中经常出现 通常是以计算题或应用题的形式出现 并且多与其它章节 如函数 方程等知识结合 因此 一定要注意含有字母系数的方程的解法以及可化为一元一次方程的分 式方程的解法和应用 切记一定要验根 第二节 教材解读 一 约分的根据 实质与关键 约分的根据是分式的基本性质 约分的实质是将一个分式化成最简分式 分子与分母没有公因式 的分式 约分的关键是确定一个分式的分子与分母的公因式 二 确定分子 分母公因式的方法 分子与分母的公因式是 分子 分母的系数的最大公约数与相同因式的最低次幂的积 三 约分时应防止的三类错误 1 有关分式的概念辨析 字母或分式的取值等问题 一般不用约分 否则会造成错误 2 约分时 分子的整体与分母的整体都要除以同一个 公 因式 当分子或分母是多项式时 要用分 子 分母的公因式去除整个多项式 不能只除某一项 更不能减去某一项 例如 1 2 等都是错误的 其中 1 中的分式已是最简分式 不 n m xn xm nm nm nm 1 22 需再约分 2 的正确答案是 为此 必须牢记 只有当分子 分母都是乘积形式时才能约分 nm 1 3 分式的分子与分母是同底数的幂做因式时 应约去最低次幂 切不可对指数进行约分 例如 就犯了用指数 6 与 2 约分的错误 正确的结果是 2 6 112 18 x x 3 12 4 x 四 掌握解分式方程的步骤 解分式方程的一般步骤是 一是方程两边同乘最简公分母 化分式方程为整式方程 二是解这个整 式方程 三是检验 如 解方程 6 6090 xx 第一步 方程两边都乘以 x x 6 得 90 x 540 60 x 第二步 解这个整式方程 得 x 18 第三步 检验 把 x 18 代入原方程的左 右两边有左边 右边 即 18 是原分式方程的解 五 列分式方程解简单的实际应用问题 列分式方程解简单的实际应用题的步骤简单地可分为 审 设 找 列 解 检 答七个步骤 其中 关键是 列 难点是 找 如 如图 小明家到王老师家的路程为 3km 王老师家到学校的路程为 0 5km 为了使他能按时到校 王老师每天骑自行车接小明上学 已知王老师骑自行车的速度是步行速度的 3 倍 每天比平时步行上班多 用了 20min 问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少 解 第一步 审清题意 第二步 设王老师的步行速度为 xkm h 则骑自行车的速度为 3xkm h 第三步 王老师现在骑车所用的时间 原来步行所用时间 20min 第四步 根据题意 得 60 205 0 3 5 033 xx 第五步 解这个方程 去分母 得 3 3 0 5 1 5 x 即 x 5 第六步 经检验 x 5 是原方程的解 所以 3x 15 第七步 答 王老师的步行速度及骑自行车的速度分别为 5km h 和 15km h 列分式方程解应用题一定要验根 还要保证其结果符合实际意义 第三节 错题剖析 分式概念是本章学习的基础 由于学生的认知水平和经验的不足 特别容易出现一些常见的通病 下 面将通过举例讲解 让同学们少走弯路 更快地学好分式的基础知识 同学们在学习过程中可能会犯以下 错误 一 分式概念理解偏差 例 1 下列各式是分式的是 A B C D 14 2 x 2 2 1 x a a23 2 1 x 错解 1 显然 B 式分母中含有字母 又是的形式 所以选 B B A 错解 2 显然 A D 都是整式 经过同底数的幂相除化为 3a 也是整式 故选 B a a23 错解分析 前者误认为 是字母 其实 是常数 后者先约分再判断是不行的 正解 选 C 反思 1 把握判断分式的唯一标准是看分母中是否含有字母 分母中不含字母的是整式 分母中含 有字母的是分式 2 分式的判断是看形式 数的判断是看结果 如数的结果是 3 所以是有理数不99 是无理数 二 分式的值为零的条件混乱 例 2 当 x 取何值时 的值为 0 2 4 2 x x 错解 1 因为 x 无论等于 2 还是 2 分式的值为 0 均无意义 故 x 没有值可取 错解 2 x 2 错解分析 前者误认为分式的值为 0 属于无意义 后者却忽视分式的值为 0 的前提条件是分式有意义 正解 x 2 反思 弄清分式的值为零的条件有两个 1 分子的值为零 2 分母的值不为零 这两个条件必须 同时具备才可 三 分式无意义的条件不清 例 3 当 x 时 分式无意义 1 x x 错解 因为当 x 1 时 分母的值为 0 故 x 1 错解分析 这个答案只考虑了分母为零时 x 1 忽视了 0 时 x 1 都使分母为零 属于思维习惯1 x 上的问题 正解 x 1 四 分式基本性质理解错误 例 4 不改变分式的值 把分式的分子 分母中的各项系数都化为整数 ba ba 3 1 2 1 4 1 3 1 错解 ba ba ba ba ba ba 23 34 6 3 1 2 1 12 4 1 3 1 3 1 2 1 4 1 3 1 错解分析 错解的分子 分母所乘的不是同一个数 而是两个不同的数 虽然把各项系数化成了 整数 但分式的值改变了 违背了分式的基本性质 正解 ba ba ba ba ba ba 46 34 12 3 1 2 1 12 4 1 3 1 3 1 2 1 4 1 3 1 五 去分母时常数漏乘公分母 例 5 解方程2 3 1 3 2 xx x 错解 方程两边都乘以 x 3 得 2 x 1 2 解这个方程 得 x 5 错解分析 解分式方程需要去分母 根据等式的性质 在方程两边同乘以 x 3 时 应注意乘以方 程的每一项 错解在去分母时 2 这一项没有乘以 x 3 另外 求到 x 5 没有代入原方程中检验 正解 方程两边都乘以 x 3 得 2 x 1 2 x 3 解得 x 3 检验 将 x 3 代入原方程 可知原方程的分母等于 0 所以 x 3 是原方程的增根 所以原方程无解 六 去分母时 分子是多项式不加括号 例 6 解方程0 1 1 1 3 2 x x 错解 方程化为 0 1 1 11 3 xxx 方程两边同乘以 x 1 x 1 得 3 x 1 0 解得 x 2 所以方程的解为 x 2 错解分析 当分式的分子是一个多项式 去掉分母时 应将多项式用括号括起来 错解在没有用括号 将 x 1 括起来 出现符号上的错误 而且最后没有检验 正解 方程两边都乘以 x 1 x 1 得 3 x 1 0 解这个方程 得 x 4 检验 当 x 4 时 原方程的分母不等于 0 所以 x 4 是原方程的根 七 方程两边同除可能为零的整式 例 7 解方程 3 23 4 23 x x x x 错解 方程两边都除以 3x 2 得 3 1 4 1 xx 所以 x 3 x 4 所以 3 4 即方程无解 错解分析 错解的原因是在没有强调 3x 2 是否等于 0 的条件下 方程两边同除以 3x 2 结果 导致方程无解 正解 方程两边都乘以 x 4 x 3 得 3x 2 x 3 3x 2 x 4 所以 3x 2 x 3 3x 2 x 4 0 即 3x 2 x 3 x 4 0 所以 7 3x 2 0 解得 x 3 2 检验 当 x 时 原方程的左边 右边 0 所以 x 是原方程的解 3 2 3 2 第四节 思维点拨 例 1 已知且 a b 都不等于 0 求的值023 22 baba ba ba 思考与分析 从题目的条件可以得出 a b 的值代入要求的分式使得分式有意义即可求出分式值 解 由得 a b a 2b 0 023 22 baba 所以 a b 0 或 a 2b 0 当 a b 0 时 得 a b 0 所以 0 bb bb ba ba 当 a 2b 0 时 得 a 2b 0 所以 3 1 32 2 b b bb bb ba ba 综上可得 的值为 0 或 ba ba 3 1 反思 本题是求含字母的分式 利用因式分解 两个因式的积为零 则可转化为两个因式中至少有 一个为零 代入分式来求解 注意前提仍然是分式必须有意义 例 2 已知 求 的值 3 y x 22 22 736 243 yxyx yxyx 思考与分析 可以灵活运用这个条件 要求的分式也可以化成含的形式 整体代入即可 3 y x y x 由可得3 y x yx3 解法一 3 y x 52 17 73336 23433 736 243 736 243 2 2 2 2 22 22 y x y x y x y x yxyx yxyx 解法二 3 y x yx3 52 17 52 17 7996 21293 736 243 2 2 222 222 22 22 y y yyy yyy yxyx yxyx 反思 本题在求值过程中利用了分式的基本性质 并且采用多种方法来利用已知条件使问题简3 y x 化 例 3 供电局的电力维修工要到 30 千米远的郊区进行电力抢修 技术工人骑摩托车先走 15 分钟后 抢 修车装载着所需材料出发 结果同时到达 已知抢修车的速度是摩托车的速度的 1 5 倍 求这两种车的速 度 解题思路一 寻求时间上的相等关系建立方程 解法 1 设摩托车的速度为 x 千米 时 则抢修车的速度为 1 5x 千米 时 根据题意得 解得 x 40 经检验 x 40 是原方程的根 所以 1 5x 1 5 40 60 答 摩托车的速度为 40 千米 时 抢修车的速度为 60 千米 时 解题思路二 寻求速度之间的相等关系建立方程 解法 2 设摩托车行 30 千米所用的时间为 x 小时 则抢修车所用的时间为 x 小时 根据 4 1 抢修车的速度是摩托车速度的 1 5 倍 得 解题思路三 寻求路程之间的相等关系建立方程 解法 3 设摩托车行 30 千米所用的时间为 x 小时 则抢修车行驶 30 千米所用的时间为 x 4 1 小时 摩托车的速度为千米 时 抢修车的速度为 1 5 千米 时 根据 抢修车的速度 抢修车所用的 x 30 x 30 时间 总路程 30 千米 得 1 5 x 30 x 30 4 1 解题思路四 列方程组解答 解法 4 设摩托车与抢修车每小时分别行驶 x 千米 y 千米 根据题意得方程组 xy xy 5 1 4 13030 2 3 4 解答过程略 小结 题中含有多种关系时 列方程组可降低思维难度 前面的各种解法中 若把所推出的代数式 用新的未知数替换 则都能写成方程的形式 例 5 读下列一段文字 然后解答问题 已知 方程的解是 2 1 1 1 x x 2 1 2 21 xx 方程的解是 方程的解是 3 2 2 1 x x 3 1 3 21 xx 2 1 1 1 x x 方程的解是 2 1 1 1 x x 探究一 观察上述方程及其解 再猜想方程的解