北京师大附中2011-2012学年高二数学下学期期中考试试卷 理 北师大版

1 北京师大附中北京师大附中 20112011 20122012 学年度第二学期期中考试学年度第二学期期中考试 高二数学 理 试卷高二数学 理 试卷 第 卷 模块卷 本试卷分第 卷 模块卷 100 分 和第 卷 综合卷 50 分 两部分 共 150 分 考试时间 120 分钟 一 选择题 4 10 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 复数 i 1 1 2 i 等于 A 2 1i B 2 1i C 2 1 D 2 1 2 已知命题 p x 2x 0 那么命题 p 为 A x 2x 0 B x 2x0 的解集是 A 2 1 2 1 B 2 1 2 1 C 1 3 D 1 3 8 凸 n 边形有 f n 条对角线 则凸 n 1 边形有对角线条数 f n 1 为 A f n n 1 B f n n C f n n 1 D f n n 2 9 已知 f n 2n 7 3n 9 存在自然数 m 使得对任意 n N 都能使 m 整除 2 f n 则最大的 m 的值为 A 6B 26C 30D 36 10 已知函数 f x 的导函数 f x 的图象如图所示 那么函数 f x 的图象最有 可能的是 二 填空题 4 5 20 分 11 函数 y sinx 0 x 的图象与 x 轴围成图形的面积为 12 已知 f x x x 1 设 f1 x f x fn x fn 1 fn 1 x n 1 n 则 f3 x 的表达式为 猜想 fn x n N 的表达式为 13 根据计数原理 排列数 A m n 有如下性质 A m n 1 A m n mA 1 m n 据此类比 组合数 C m n 具有的相应性质是 C m n 1 14 有一块边长为 6 的正方形铁板 现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形 做 成一个长方形的无盖容器 为使其容积最大 则截下的小正方形的边长为 15 已知函数 y f x 是定义在 R 上的奇函数 且当 x 0 时不等式 f x xf x b 1 x y 求证 ax x by y 18 本小题满分 14 分 已知函数 f x x3 mx 5 x R 在 x 2处取得极 值 过点 A 1 0 作曲线 y f x 的切线 求切线方程 若关于 x 的方程 f x a 有 3 个不同实根 求实数 a 的取值范围 已知当 x 1 时 f x k x 1 恒成立 求实数 k 的取值范 围 3 第 卷 综合卷 四 填空题 5 2 10 分 19 设函数 f x x 1 ln x 1 若对所有的 x 0 都有 f x ax 成立 则实数 a 的取值范围是 20 已知 Li i 1 2 m n m 2 n 2 为平面上的直线 其中 L1 L2 Lm Lm 1 Lm 2 Lm n 且 Lm与 Lm 1既不平行也不重合 若记这些直线所 围成的平行四边形个数为 f m n 则 f 3 3 设 an 4 1 nmf mm 记 Sn a2 a3 an 则 Sn 五 解答题 共 40 分 21 本小题满分 13 分 数列 an 满足 Sn 2n an n N 1 计算 a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式 an 2 用数学归纳法证明 1 中的猜想 22 本小题满分 13 分 已知函数 f x eax x a a 1 其中 a 1 1 当 a 1 时 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求 f x 的单调区间 23 本小题满分 14 分 已知函数 f x ln 2 1 2 1 ax x2 ax a 为常数 a 0 1 若 x 2 1 是函数 f x 的一个极值点 求 a 的值 2 求证 当 0m 1 a2 成 立 求实数 m 的取值范围 4 试卷答案试卷答案 1 D2 C3 C4 B5 B 6 A7 D8 C9 D10 A 11 2 12 f3 x x x 2 21 fn x x x n 1 21 n N 13 C m n C 1 m n 14 1 15 c a b 16 a 2 b 1 或 a 4 b 2 17 用比较法或分析法较适合 18 y 3x 3 或 y 4 21 x 4 21 a 5 42 5 42 k 3 综合卷答案 19 a 1 20 9 n n1 21 a1 1 a2 2 3 a3 4 7 8 15 4 a an 1 2 12 n n 22 1 2ex y e 0 2 当 a 1 时 单调减区间 1 单调增区间 1 0 0 当 1 a0 时 单调减区间 1 0 0 1 1 a 单调增区间 1 1 1 a 23 解 f x ax a 2 1 2 1 2 1 2x a ax a a xax 1 2 2 2 2 1 由已知 得 f 2 1 0 且 a a 2 2 2 0 a2 a 2 0 a 0 a 2 2 当 00 f x 0 故 f x 在 2 1 上是增函数 3 a 1 2 时 由 知 f x 在 2 1 1 上的最大值为 f 1 ln 2 1 2 1 a 1 a 于是问题等价于 对任意的 a 1 2 不等式 ln 2 1 2 1 a 1 a m a2 1 0 恒成立 记 g a ln 2 1 2 1 a 1 a m a2 1 1 a 2 则 g a a 1 1 1 2ma a a 1 2ma 1 2m 当 m 0 时 g a a a 1 0 g a 在区间 1 2 上递减 此时 g a g 1 0 故 m 0 g a a ma 1 2 a m2 1 1 当 m 0 时 a 1 2 g a 0 g a 在区间 1 2 上递减 此时 g a 0 若 m2 1 1 1 可知 g a 在区间 1 min 2