二次根式的知识点汇总

二次根式的知识点汇总二次根式的知识点汇总 知识点一 知识点一 二次根式的概念二次根式的概念 形如形如 的式子叫做二次根式 的式子叫做二次根式 注 在二次根式中 被开放数可以是数 也可以是单项式 多项式 分式等代 数式 但必须注意 因为负数没有平方根 所以是为二次根式的前提 条件 如 等是二次根式 而 等都不 是二次根式 知识点二 取值范围知识点二 取值范围 1 二次根式有意义的条件 由二次根式的意义可知 当 a 0 时 有意 义 是二次根式 所以要使二次根式有意义 只要使被开方数大于或等 于零即可 2 二次根式无意义的条件 因负数没有算术平方根 所以当 a 0 时 没有意义 知识点三 二次根式知识点三 二次根式 的非负性 的非负性 表示 表示 a a 的算术平方根 也就是说 的算术平方根 也就是说 是一个非负数 是一个非负数 即即0 0 注 因为二次根式 表示 a 的算术平方根 而正数的算术平方根是 正数 0 的算术平方根是 0 所以非负数 的算术平方根是非负数 即 0 这个性质也就是非负数的算术平方根的性质 和绝对值 偶 次方类似 这个性质在解答题目时应用较多 如若 则 a 0 b 0 若 则 a 0 b 0 若 则 a 0 b 0 知识点四 二次根式 知识点四 二次根式 的性质的性质 文字语言叙述为 一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数 知识点五 二次根式的性质知识点五 二次根式的性质 知识点六 知识点六 与与的异同点的异同点 1 不同点 与表示的意义是不同的 表示一个正数 a 的算术 平方根的平方 而表示一个实数 a 的平方的算术平方根 在中 而中 a 可以是正实数 0 负实数 但与都是非负数 即 因而它的运算的结果是有差别的 而 2 相同点 当被开方数都是非负数 即时 时 无意义 而 知识点七 二次根式的运算知识点七 二次根式的运算 1 因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方 那么 就可以用它的算术根代替而移到根号外面 如果被开方数是代数和的形式 那 么先分解因式 变形为积的形式 再移因式到根号外面 反之也可以将根号外 面的正因式平方后移到根号里面 2 二次根式的加减法 先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次 根式 3 二次根式的乘除法 二次根式相乘 除 将被开方数相乘 除 所得的积 商 仍作积 商 的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab a b a 0 b 0 bb aa b 0 a 0 4 有理数的加法交换律 结合律 乘法交换律及结合律 乘法对加法 的分配律以及多项式的乘法公式 都适用于二次根式的运算 例题精选例题精选 二次根式有意义的条件 例例 1 求下列各式有意义的所有 求下列各式有意义的所有 x 的取值范围 的取值范围 2 1 312231 3 x x xx 解 解 1 要使有意义 必须 由得 32 x320 x320 xx 3 2 当时 式子在实数范围内有意义 x 3 2 32 x 2 要使有意义 为任意实数均可 x 1 3 x 1 当 x 取任意实数时均有意义 x 1 3 3 要使有意义 必须 x x 1 2 x x 10 20 的范围内 xxxx 1221且 但不在 当时 式子在实数范围内有意义 xx 12且 x x 1 2 小练习 1 当 x 是多少时 在实数范围内有意义 31x 2 当 x 是多少时 在实数范围内有意义 23x 1 1x 3 当 x 是多少时 x2在实数范围内有意义 23x x 4 当时 有意义 21 2xx 2 使式子有意义的未知数 x 有 个 2 5 x A 0 B 1 C 2 D 无数 3 已知 y 5 求的值 2x 2x x y 4 若 有意义 则 3x 3x 2 x 5 若有意义 则的取值范围是 1 1 m m m 最简二次根式 例例 2 把下列各根式化为最简二次根式 把下列各根式化为最简二次根式 19600 22 47 50 3 25 121 00 3 23 4 a b ab a b c ab 分析 分析 依据最简二次根式的概念进行化简 1 被开方数的因数是整数 因式是整式 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 解 解 1961664600 32 a baabaab ab 00 11 5 121 25 121 25 3 6 10 7 22 23 5 7 2 3 5 7 225 349 50 147 50 47 22 24 22 4 32 bab c ab c bba c ba 同类根式同类根式 例例 3 判断下列各组根式是否是同类根式 判断下列各组根式是否是同类根式 4 3 85 3 2 16 15 31751 分析 分析 几个二次根式化成最简二次根式以后 如果被开方数相同 那么这 几个二次根式就叫做同类二次根式 所以判断几个二次根式是否为同类二次根 式 首先要将其化为最简二次根式 解 解 11752575 7 是同类二次根式 4 3 85 3 2 16 15 3175 7 3 7 4 749 3 2 4 343 3 2 4 3 85 3 2 7 4 3 16 79 16 63 16 15 3 分母有理化分母有理化 例例 4 把下列各式的分母有理化 把下列各式的分母有理化 232 5 2 2 3 2 1 1 分析 分析 把分母中的根号化去 叫做分母有理化 两个含有二次根式的代数 式相乘 如果它们的积不含有二次根式 我们说 这两个代数式互为有理化因 子 如与 均为有理化因式 225353 与 解 解 1 1 2 3 2 1 2 32 22 1 4 6 2 5 2 32 5 2 32 2 32 2 32 2 1510 10 求值求值 例 例 5 计算 计算 3 1 2 1 152 3 3 23 1 2 1 4181 分析 分析 迅速 准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容 必 须掌握 要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律 寻求合理的运算步骤 得到正确的运算结果 解 解 1 原式 3 22 232 3 3 33 3 56303 2323 23103 23 6 15 6 23 15 32 23 152 原式 化简化简 例例 6 化简 化简 baba ba ba 44 2 4 1 分析 分析 应注意 1 式 2 所以ab 00 a 0 可看作可利用乘法公式来进行化简 aabb 22 ab 4 ab 22 4 使运算变得简单 解 解 原式1 22 2 2 2 abab ab ab ba ba ba baba 4 2 2 1 22 2 例例 7 化简练习 化简练习 解 解 2 3 36262 01 sst 10 3 st sts tt stttsttstt 3 3 2 00 00 0 而 即 原式 而 原式 2263 620630 6263 6263 62632 65 化简求值化简求值 例例 8 已知 已知 求 求 的值 的值 2 23 2 23 ba aba b 33 分析 分析 如果把 a b 的值直接代入计算的计算都较为繁琐 应另辟蹊ab 33 径 考虑到互为有理化因子可计算 然后将求值3232 与abab 式子化为的形式 abab 与 解 解 abab 3232 2 3 32 2 32 2 1 4 aba bab ba ab abab abab 3322 2 2 2 1 4 32 1 4 1 4 3 1 2 1 4 5 2 5 8 将与 的值代入 得 小结 小结 显然上面的解法非常简捷 在运算过程中我们必须注意寻求合理的 运算途径 提高运算能力 类似的解法在许多问题中有广泛的应用 大家应有 意识的总结和积累 例例 9 9 在实数范围内因式分解在实数范围内因式分解 来源来源 学学 科科 网网 Z X X K Z X X K 2x2 4 提示 先提取 2 再用平方差公式 答案 2 x 2 x 2 x4 2x2 3 提示 先将x2看成整体 利用x2 px q x a x b 其中 a b p ab q分解 再用平方差公式分解x2 3 答案 x2 1 x 3 x 3 例例 1010 综合应用 如图所示的 Rt ABC 中 B 90 点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米 秒的速度向点 A 移动 同时 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米 秒的速度 向点 C 移动 问 几秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 PQ 的距离是多少厘米 结果用最简二次根式表示 专项训练专项训练 一 选择题 在以下所给出的四个选择中 只有一个是正确的 一 选择题 在以下所给出的四个选择中 只有一个是正确的 1 成立的条件是 aa 11 2 A B C D a 1a 1a 1a 1 BA C Q P 2 把化成最简二次根式 结果为 2 27 A B C D 2 3 3 2 9 6 9 3 9 3 下列根式中 最简二次根式为 A B C D 4xx 2 4 x 4 x 4 2 4 已知 t 1 化简得 121 2 ttt A B C 2D 022 t2t 5 下列各式中 正确的是 A B 77 2 0707 2 C D 77 2 2 0707 2 6 下列命题中假命题是 A 设B 设 xxx 0 2 则x x x 01 2 则 C 设D 设xxx 0 2 则 xxx 0 2 2 2 则 7 与是同类根式的是 2 3 A B C D 503 21875 8 下列各式中正确的是 A B 235 232 3 C D 3434a xxax 1 27 3 9 0 三 三 1 化简 a aa 3 2 44 2 已知 求 xy 1 23 1 23 xxyy 22 5 拓展训练拓展训练 一 一 分式 平方根 绝对值 分式 平方根 绝对值 1 成立的条件是成立的条件是 22 aa 2 当当 a 时 时 当 当 a 时 时 1 2 a a 1 2 a a 3 3 若若 则 则 若 若 则 则 aa 2 aaa 2 a 4 把把根号外的因式移入根号内 结果为根号外的因式移入根号内 结果为 1 1 1 x x 5 把把 3 3根号外的因式移到根号内 结果为根号外的因式移到根号内 结果为 3 a 6 6 x y y 那么化简 那么化简为为 2 yxxy 10 若若与与是同类二次根式 则是同类二次根式 则 a b a b 4b3a b 11 求使求使为实数的实数为实数的实数的值为的值为 a1 2 a 二 根式 绝对值的和为二 根式 绝对值的和为 0 1 若 0 则 22 32 5 ba2 ab 2 如果求的算术平方根 aabba 22 230 ba 2 6 6 在在 ABC ABC 中 中 a a b b c c 为三角形的三边 则为三角形的三边 则 baccba 2 2 7 已知 22 2 1 1881 x y y x x y y x xxy 8 8 如果如果 则 则 三 分式的有理化三 分式的有理化 1 已知 x y 求 x2 y2的值 5 已知已知 求下列各式的值 求下列各式的值 23 23 23 23 yx yx yxyx 2 23 22 33 yx 2 2 四 整数部分与小数部分四 整数部分与小数部分 1 的整数部分是的整数部分是 小数部分是 小数部分是 4 已知已知 的整数部分为的整数部分为 小数部分为 小数部分为 求 求的值 的值 32 1 xxab ab ab 2 五 五 根式 分式的倒数 根式 分式的倒数 1 已知 x 4 求 x 的值 1 x 1 x 3 若若的值 的值 2 19 2 1 0 求 4 1 4 六 转换完全平方公式 六 转换完全平方公式 1 已知 求的值 abab 22 4250 ab ba 32 3 已知已知 x y 是实数 是实数 若 若 axy 3x y 求 求 a 的值 的值 3 4 2 6 9 0 5 已知 已知 0 x 1 化简 化简 4 1 2 x x4 1 2 x x 6 化简 化简 1 2 52 522 74 3 七 技巧性运算七 技巧性运算 1 1 98 1 43 1 32 1 21 1 2 计算 计算的结果是的结果是 1 13 1 35 1 57 1 2121 nn 4 已知 已知 那么 那么的值是的值是ab 23bc 23abcabbcac 222 5 已知 已知那么那么的值是的值是 xyxy 9 529 25 xy 6 已知 已知 求 求的值的值xyxy 5 1 2 xxyy 22 附 中考类型附 中考类型 1 在实数范围内 x有意义 则 x 的取值范围是 A x 0 B x 0 C x 0 D x 0 2 使二次根式有意义的 x 的取值范围是 2x A B C D 2x 2x 2x 2x 3 一个自然数的算术平方根为a 则和这个自然数相邻的下一个自然数是 A 1a B 2 1a C 2 1a D 1a 4 在电路中 已知一个电阻的阻值 R 和它消耗的电功率 P 由电功率计算公式 可得它两端的电压 U 为 R U P 2 P R U R P U PRU PRU 5 使代数式有意义的 x 的取值范围是 4 3 x x A B C D 且 3x 3x 4x 3x 4x 6 函数的自变量x的取值范围是 1 2 y x A 0 x B 2x C 2x D 2x 函数 中自变量的取值范围是 y x 2 3 1 x x A B C 且 D 且 2x 3x 2x 3x 2x 3x 二 二次根式的运算问题 7 09 武汉市 二次根式 2 3 的值是 A 3 B 3或3 C 9D 3 8 衡阳市 2009 年 下面计算正确的是 A 3333 B 3327 C 532 D 24 9 09 年安顺市 下列计算正确的是 A 822 B 321 C 325 D 2 36 10 09 太原市 计算 2 2的结果等于 11 黔东南州 2009 年 2 x 12 09 山西省 计算 123 13 09 年襄樊市 计算 11 82 32 备用题 09 绥化市 计算 1227 三 二次根式与绝对值 0 指数幂等的混合运算 14 09 黔东南州 方程 当时 m 的取值范围是 0 84 myxx0 y A B C D 10 m2m 2 m2m 15 09 嘉兴市 当2 x时 代数式135 2 xx的值是 16 09 嘉兴市 计算 2009 8 1 2 17 09 台州市 计算 20 6 15 3 四 二次根式与整式的化简求值问题 18 09 广州市 先化简 再求值 其中 6 3 3 aaaa 2 1 5 a 19 09 孝感市 已知 3131xy 求下列各式的值 1 22 2xxyy 2 22 xy 20 09 威海市 先化简 再求值 22 2 3abababa 其 中2332ab 1 已知 求 的值 23 23 x 23 23 y 22 3xxyy 2 已知 计算 1 2 1515 2222 xy 22 3123xxyy 22 7327xxyy 五 二次根式与分式的化简求值问题 21 09 黔东南州 先化简 再求值 其中 1 1 2 12 2 22 x x x xx x x 23 x 22 09 恩施 求代数式的值 其中22x 2 2 224 2 42 xxx x xx 23 09 泰安市 先化简 再求值 33 2 2 5 42 3 aa aa a 其中 24 09 黔东南州 先化简 再求值 其中 1 1 2 12 2 22 x x x xx x x 23 x 六 二次根式的探究规律问题 25 我们看几个等式 1 4 1 5 2 5 1 11 1 23 41 23 451 3 6 1 19 仔细观察上面几道题及其结果 你能发现什么规律 3 45 61 能解释这一规律吗 并用你发现的规律猜想下面的结果 45 671 20062007200820091 1 2 3 1nnnn 2011 安徽 4 4 分 设a 1 a在两个相邻整数之间 则这两个整数是 19 A 1 和 2B 2 和 3 C 3 和 4 D 4 和 5 2011 山东烟台 5 4 分 如果 2 21 12aa 则 A a 1 2 B a 1 2 C a 1 2 D a 1 2 2011 安徽芜湖 14 5 分 已知a b为两个连续的整数 且28ab 则 ab 2011 四川内江 加试 1 6 分 若 2011 20121 m 则 543 22011mmm 的值是 2011 山东德州 1