镇江市2017届高三期末数学

2016 2017 学年江苏省镇江市高三 上 期末数学试卷学年江苏省镇江市高三 上 期末数学试卷 一 填空题 共一 填空题 共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 70 分 分 1 已知集合 A 1 2 3 B 2 4 5 则集合 A B 中元素的个数为 2 复数 z 1 2i 3 i 其中 i 为虚数单位 则 z 是 3 若圆锥底面半径为 2 高为 则其侧面积为 4 袋中有形状 大小都相同的 5 只球 其中 3 只白球 2 只黄球 从中一次随 机摸出 2 只球 则这 2 只球颜色不同的概率为 5 将函数 y 5sin 2x 的图象向左平移 0 个单位后 所得函 数图象关于 y 轴对称 则 6 数列 an 为等比数列 且 a1 1 a3 4 a5 7 成等差数列 则公差 d 等于 7 已知 f x 是定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x x2 4x 则不等式 f x x 的解集为 8 双曲线的焦点到相应准线的距离等于实轴长 则双曲线的离心率 为 9 圆心在直线 y 4x 上 并且与直线 l x y 1 0 相切于点 P 3 2 的圆的方 程为 10 已知椭圆为常数 m n 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点 则 11 定义在 0 的函数 f x 8sinx tanx 的最大值为 12 不等式 logax ln2x 4 a 0 且 a 1 对任意 x 1 100 恒成立 则实 数 a 的取值范围为 13 已知函数 y 与函数 y 的图象共有 k k N 个公共点 A1 x1 y1 A2 x2 y2 Ak xk yk 则 xi yi 14 已知不等式 m n 2 m lnn 2 2 对任意 m R n 0 恒成立 则实数 的取值范围为 二 解答题 共二 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 90 分 分 15 14 分 已知向量 cos 1 2 sin 其中 m n 且 nm 1 求 cos2 的值 2 若 sin 且 求角 16 14 分 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB BC EC 求证 1 AC1 平面 BDE 2 A1E 平面 BDE 17 14 分 如图 某公园有三条观光大道 AB BC AC 围成直角三角形 其 中直角边 BC 200m 斜边 AB 400m 现有甲 乙 丙三位小朋友分别在 AB BC AC 大道上嬉戏 所在位置分别记为点 D E F 1 若甲 乙都以每分钟 100m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走 到大 道的另一端时即停 乙比甲迟 2 分钟出发 当乙出发 1 分钟后 求此时甲乙两 人之间的距离 2 设 CEF 乙丙之间的距离是甲乙之间距离的 2 倍 且 DEF 请将 甲乙之间的距离 y 表示为 的函数 并求甲乙之间的最小距离 18 16 分 已知椭圆 C 的离心率为 且点 在椭圆 C 上 1 求椭圆 C 的方程 2 直线 l 与椭圆 C 交于点 P Q 线段 PQ 的中点为 H O 为坐标原点且 OH 1 求 POQ 面积的最大值 19 16 分 已知 n N 数列 an 的各项为正数 前 n 项的和为 Sn 且 a1 1 a2 2 设 bn a2n 1 a2n 1 如果数列 bn 是公比为 3 的等比数列 求 S2n 2 如果对任意 n N Sn 恒成立 求数列 an 的通项公式 3 如果 S2n 3 2n 1 数列 anan 1 也为等比数列 求数列 an 的通项公 式 20 16 分 已知函数 f x xlnx g x x2 1 为常数 1 已知函数 y f x 与 y g x 在 x 1 处有相同的切线 求实数 的值 2 如果 且 x 1 证明 f x g x 3 若对任意 x 1 不等式 f x g x 恒成立 求实数 的取值 范围 2016 2017 学年江苏省镇江市高三 上 期末数学试卷学年江苏省镇江市高三 上 期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 共一 填空题 共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 70 分 分 1 已知集合 A 1 2 3 B 2 4 5 则集合 A B 中元素的个数为 5 考点 并集及其运算 分析 求出 A B 再明确元素个数 解答 解 集合 A 1 2 3 B 2 4 5 则 A B 1 2 3 4 5 所以 A B 中元素的个数为 5 故答案为 5 点评 题考查了集合的并集的运算 根据定义解答 注意元素不重复即可 属于基础题 2 复数 z 1 2i 3 i 其中 i 为虚数单位 则 z 是 5 考点 复数求模 分析 根据复数模长的定义直接求模即可 解答 解 复数 z 1 2i 3 i i 为虚数单位 则 z 1 2i 3 i 5 故答案为 5 点评 本题考查了复数求模长的应用问题 是基础题目 3 若圆锥底面半径为 2 高为 则其侧面积为 6 考点 棱柱 棱锥 棱台的侧面积和表面积 分析 首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长 然后直接利用圆锥 的侧面积公式代入求出即可 解答 解 圆锥的底面半径为 2 高为 母线长为 3 圆锥的侧面积为 rl 2 3 6 故答案为 6 点评 本题考查了圆锥的计算 正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之 间的关系是解决本题的关键 4 袋中有形状 大小都相同的 5 只球 其中 3 只白球 2 只黄球 从中一次随 机摸出 2 只球 则这 2 只球颜色不同的概率为 0 6 考点 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 分析 基本事件总数 n 10 这 2 只球颜色不同包含的基本事件个数 m 由此能求出这 2 只球颜色不同的概率 解答 解 袋中有形状 大小都相同的 5 只球 其中 3 只白球 2 只黄球 从中一次随机摸出 2 只球 基本事件总数 n 10 这 2 只球颜色不同包含的基本事件个数 m 这 2 只球颜色不同的概率为 p 故答案为 0 6 点评 本题考查概率的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意等可能事 件概率计算公式的合理运用 5 将函数 y 5sin 2x 的图象向左平移 0 个单位后 所得函 数图象关于 y 轴对称 则 考点 函数 y Asin x 的图象变换 分析 求得 y 5sin 2x 的图象向左平移 0 个单位后的解 析式 利用正弦函数的对称性可得 的值 解答 解 y 5sin 2x 的图象向左平移 0 个单位后得 g x f x 2sin 2x 2 g x 2sin 2x 2 的图象关于 y 轴对称 g x 2sin 2x 2 为偶函数 2 k k Z k k Z 0 故答案为 点评 本题考查函数 y Asin x 的图象变换 求得函数图象平移后的解 析式是关键 考查综合分析与运算能力 属于中档题 6 数列 an 为等比数列 且 a1 1 a3 4 a5 7 成等差数列 则公差 d 等于 3 考点 等比数列的通项公式 分析 设出等比数列的公比 由 a1 1 a3 4 a5 7 成等差数列求得公比 再 由等差数列的定义求公差 解答 解 设等比数列 an 的公比为 q 则 由 a1 1 a3 4 a5 7 成等差数列 得 即 q2 1 d 故答案为 3 点评 本题考查等差数列的通项公式 考查了等比数列的性质 是基础的计 算题 7 已知 f x 是定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x x2 4x 则不等式 f x x 的解集为 5 0 5 考点 函数奇偶性的性质 分析 根据函数奇偶性的性质求出当 x 0 的解析式 解不等式即可 解答 解 若 x 0 则 x 0 当 x 0 时 f x x2 4x 当 x 0 时 f x x2 4x f x 是定义在 R 上的奇函数 f x x2 4x f x 则 f x x2 4x x 0 当 x 0 时 不等式 f x x 等价为 x2 4x x 即 x2 5x 0 得 x 5 或 x 0 此时 x 5 当 x 0 时 不等式 f x x 等价为 x2 4x x 即 x2 5x 0 得 5 x 0 当 x 0 时 不等式 f x x 等价为 0 0 不成立 综上 不等式的解为 x 5 或 5 x 0 故不等式的解集为 5 0 5 故答案为 5 0 5 点评 本题主要考查不等式的解集的求解 根据函数奇偶性的性质求出函数 的解析式是解决本题的关键 8 双曲线的焦点到相应准线的距离等于实轴长 则双曲线的离心率 为 1 考点 双曲线的简单性质 分析 由题意可得 c 2a 化简整理 结合离心率公式 即可得到所求 值 解答 解 双曲线的焦点 c 0 到相应准线 x 的距离等于实 轴长 2a 可得 c 2a 即 c2 2ac a2 0 解得 c 1 a 或 c 1 a 舍去 即有离心率 e 1 故答案为 1 点评 本题考查双曲线的几何性质的运用 主要考查准线和离心率的求法 考查运算能力 属于中档题 9 圆心在直线 y 4x 上 并且与直线 l x y 1 0 相切于点 P 3 2 的圆的方 程为 x 1 2 y 4 2 8 考点 圆的标准方程 分析 设出圆心坐标 利用直线与圆相切 求出 x 的值 然后求出半径 即 可得到圆的方程 解答 解 设圆心 O 为 x 4x kop kL 1 又相切 kop kL 1 x 1 O 1 4 r 所以所求圆方程为 x 1 2 y 4 2 8 故答案为 x 1 2 y 4 2 8 点评 本题是基础题 考查圆的方程的求法 直线与圆的位置关系 考查计 算能力 10 已知椭圆为常数 m n 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点 则 m 考点 椭圆的简单性质 分析 由题意画出图形 再由数量积的坐标运算可得答案 解答 解 如图 F1 c 0 F2 c 0 设 P x0 y0 则 x0 c y0 x0 c y0 b2 c2 a2 m 故答案为 m 点评 本题考查椭圆的简单性质 考查了平面向量在圆锥曲线问题中的应用 是中档题 11 定义在 0 的函数 f x 8sinx tanx 的最大值为 考点 三角函数的最值 分析 利用导函数研究其单调性 求其最大值 解答 解 函数 f x 8sinx tanx 那么 f x 8cosx 令 f x 0 得 cosx x 0 x 当 x 0 时 f x 0 函数 f x 在区间 0 上是单调增函 数 当 x 时 f x 0 函数 f x 在区间 上是单调减 函数 当 x 时 函数 f x 取得最大值为 故答案为 点评 本题考查了利用导函数研究其单调性 求其最大值的问题 属于基础 题 12 不等式 logax ln2x 4 a 0 且 a 1 对任意 x 1 100 恒成立 则实 数 a 的取值范围为 0 1 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 分析 不等式转化为 lnx 2 4 令 t lnx 得到 t2 4 在 t 0 ln100 恒成立 通过讨论 a 的范围 结合函数的单调性求出 a 的范围 即可 解答 解 不等式 logax ln2x 4 lnx 2 4 令 t lnx x 1 100 t lnx 0 ln100 t2 4 在 t 0 ln100 恒成立 0 a 1 时 lna 0 显然成立 a 1 时 lna 0 故 lna 令 g t t 0 ln100 则 g t 令 g t 0 解得 0 t 2 令 g t 0 解得 t 2 故 g t 在 0 2 递增 在 2 递减 故 g t g 2 故 lna 解得 a 综上 a 0 1 故答案为 0 1 点评 本题考查了函数的单调性 最值问题 考查导数的应用以及分类讨论 思想 是一道中档题 13 已知函数 y 与函数 y 的图象共有 k k N 个公共点 A1 x1 y1 A2 x2 y2 Ak xk yk 则 xi yi 2 考点 函数的图象 分析 f x 关于 0 1 对称 同理 g x 关于 0 1 对称 如图 所示 两个图象有且只有两个交点 即可得出结论 解答 解 由题意 函数 f x 2 f x f x 2 f x 关于 0 1 对称 同理 g x 关于 0 1 对称 如图所示 两个图象有且只有两个交点 xi yi 2 故答案为 2 点评 本题考查函数图象的对称性 考查数形结合的数学思想 考查学生分 析解决问题的能力 属于中档题 14 已知不等式 m n 2 m lnn 2 2 对任意 m R n 0 恒成立 则实数 的取值范围为 2 1 或 2 1 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 分析 问题看作点 m m n lnn 两点的距离的平方 即为直线 y x 和直线 y lnx 的距离的最小值 当 y lnx 的切线斜率为 1 时 求出 y lnx 在 1 0 处的切线与 y x 的最小值 解出即可 解答 解 不等式 m n 2 m lnn 2 2 对任意 m R n 0 恒 成立 看作点 m m n lnn 两点的距离的平方 即为直线 y x 和直线 y lnx 的距离的最小值 当 y lnx 的切线斜率为 1 时 y 1 点 1 0 处的切线与 y x 平行 距离的最小值是 d 2 解得 2 1 或 2 1 故答案为 2 1 或 2 1 点评 本题考查了曲线的切线方程问题 考查平行线的距离 问题转化为直 线 y x 和直线 y lnx 的距离的最小值是解题的关键 本题是一道中档题 二 解答题 共二 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 90 分 分 15 14 分 已知向量 cos 1 2 sin 其中 m n 且 nm 1 求 cos2 的值 2 若 sin 且 求角 考点 数量积判断两个平面向量的垂直关系 分析 1 由已知得 2cos sin 0 从而 sin2 cos2 5cos2 1 进而 cos2 由此能求出 cos2 2 由 cos2 得 cos sin 由 sin 且 得 sin 2cos 由此能求出 的 值 解答 解 1 向量 cos 1 2 sin 其中 且 2cos sin 0 sin2 cos2 5cos2 1 cos2 cos2 2cos2 1 2 cos2 cos sin sin 且 sin cos cos sin 2cos sin sin 2cos sin2 cos2 5cos2 2 0 解得 cos 或 cos 舍 点评 本题考查角的余弦值的求法 考查角的求法 是中档题 解题时要认 真审题 注意三角函数性质的合理运用 16 14 分 2016 秋 镇江期末 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB BC EC 求证 1 AC1 平面 BDE 2 A1E 平面 BDE 考点 直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 分析 1 证明线面平行 只需证明直线与平面内的一条直线平行即可 连 接 AC 与 DB 交于 O 连接 OE AC1 OE 即可证明 AC1 平面 BDE 2 证明线面垂直 只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可 连接 OA1 可证 OA1 DB OE DB 平面 A1OE DB 可得 A1E DB 利用勾股定理 证明 A1E EB 即可得 A1E 平面 BDE 解答 解 1 ABCD A1B1C1D1是长方体 AB BC EC 可得平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1是正方形 E 为 CC1的中点 连接 AC 与 DB 交于 O 连接 OE 可得 AC1 OE OE 平面 BDE AC1 平面 BDE 2 连接 OA1 根据三垂线定理 可得 OA1 DB OE DB OA1 OE O 平面 A1OE DB 可得 A1E DB E 为 CC1的中点 设 AB BC EC AA1 a A1E A1B A1B2 A1E2 BE2 A1E EB EB 平面 BDE BD 平面 BDE EB BD B A1E 平面 BDE 点评 本题考查了线面平行 线面垂直的证明 考查学生对书本知识的掌握 情况以及空间想象 属于中档题 17 14 分 2016 秋 镇江期末 如图 某公园有三条观光大道 AB BC AC 围成直角三角形 其中直角边 BC 200m 斜边 AB 400m 现有甲 乙 丙三位小朋友分别在 AB BC AC 大道上嬉戏 所在位置分别记为点 D E F 1 若甲 乙都以每分钟 100m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走 到大 道的另一端时即停 乙比甲迟 2 分钟出发 当乙出发 1 分钟后 求此时甲乙两 人之间的距离 2 设 CEF 乙丙之间的距离是甲乙之间距离的 2 倍 且 DEF 请将 甲乙之间的距离 y 表示为 的函数 并求甲乙之间的最小距离 考点 解三角形 分析 1 由题意 BD 300 BE 400 BDE 中 由余弦定理可得甲乙两 人之间的距离 2 BDE 中 由正弦定理可得 可将甲乙之间的距 离 y 表示为 的函数 并求甲乙之间的最小距离 解答 解 1 由题意 BD 300 BE 400 ABC 中 cosB B BDE 中 由余弦定理可得 DE 100m 2 由题意 EF 2DE 2y BDE CEF CEF 中 CE EFcos CEF 2ycos BDE 中 由正弦定理可得 y 0 ymin 50m 点评 本题考查利用数学知识解决实际问题 考查正弦 余弦定理的运用 考查学生分析解决问题的能力 属于中档题 18 16 分 2016 秋 镇江期末 已知椭圆 C 的离心 率为 且点 在椭圆 C 上 1 求椭圆 C 的方程 2 直线 l 与椭圆 C 交于点 P Q 线段 PQ 的中点为 H O 为坐标原点且 OH 1 求 POQ 面积的最大值 考点 直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 分析 1 由椭圆的离心率为 且点 在椭圆 C 上 列出方程 组求出 a b 由此能求出椭圆 C 的方程 2 设 l 与 x 轴的交点为 D n 0 直线 l x my n 联立 得 4 m2 x2 2mny n2 4 0 由此利用韦达定理 弦长公式 均值定理 结合已 知条件能求出 POQ 面积的最大值 解答 解 1 椭圆 C 的离心率为 且点 在椭圆 C 上 解得 a2 4 b2 1 椭圆 C 的方程为 2 设 l 与 x 轴的交点为 D n 0 直线 l x my n 与椭圆交点为 P x1 y1 Q x2 y2 联立 得 4 m2 x2 2mny n2 4 0 y1 2 即 H 由 OH 1 得 则 S POQ OD y1 y2 n y1 y2 令 T 12 16 设 t 4 m2 则 t 4 当且仅当 t 即 t 12 时 S POQ max 1 POQ 面积的最大值为 1 点评 本题考查椭圆方程的求法 考查三角形面积的最大值的求法 是中档 题 解题时要认真审题 注意韦达定理 弦长公式 均值定理 椭圆性质的合 理运用 19 16 分 2016 秋 镇江期末 已知 n N 数列 an 的各项为正数 前 n 项的和为 Sn 且 a1 1 a2 2 设 bn a2n 1 a2n 1 如果数列 bn 是公比为 3 的等比数列 求 S2n 2 如果对任意 n N Sn 恒成立 求数列 an 的通项公式 3 如果 S2n 3 2n 1 数列 anan 1 也为等比数列 求数列 an 的通项公 式 考点 数列递推式 分析 1 b1 a1 a2 3 可得 bn 3n a2n 1 a2n 利用分组求和与等比数列的求 和公式即可得出 S2n 2 对任意 n N Sn 恒成立 可得 n 2 时 an Sn Sn 1 化为 an 0 可得 an an 1 1 利用等差数列的通项公式即可得出 3 由 S2n 3 2n 1 且 a1 1 a2 2 可得 a1 a2 a3 a4 9 可得 a3 a4 6 由 数列 anan 1 也为等比数列 设公比为 q 可得数列 an 的奇数项与偶数项 分别成等比数列 公比为 q 即可得出 解答 解 1 b1 a1 a2 3 bn 3n a2n 1 a2n S2n 3 32 3n 2 对任意 n N Sn 恒成立 n 2 时 an Sn Sn 1 化为 an 0 an 1 an 1 即 an an 1 1 an 1 n 1 n 3 S2n 3 2n 1 且 a1 1 a2 2 a1 a2 a3 a4 3 22 1 9 1 2 a3 a4 a3 a4 6 数列 anan 1 也为等比数列 设公比为 q 数列 an 的奇数项与偶数项分别成等比数列 公比为 q a3 q a4 a2q 2q q 2q 3 2 解得 q 2 2n 1 a2n 2n 可得 an k N 点评 本题考查了数列递推关系 等差数列与等比数列的定义通项公式与求 和公式 考查