理科数学2010-2019高考真题分类训练41专题十五坐标系与参数方程第四十一讲坐标系与参数方程—附解析答案

专题十五 坐标系与参数方程 第四十一讲 坐标系与参数方程 2019 年 1 2019 全国 I 理 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t t 为参数 以坐标原点 O 为极 点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的极坐标方程为 2 cos3 sin110 1 求 C 和 l 的直角坐标方程 2 求 C 上的点到 l 距离的最小值 2 2019 全国 II 理 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 O为极点 点 000 0 M 在曲线 4sinC 上 直线l过点 4 0 A 且与OM垂直 垂足为 P 1 当 0 3 时 求 0 及 l 的极坐标方程 2 当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时 求 P 点轨迹的极坐标方程 3 2019 全国 III 理 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 如图 在极坐标系 Ox 中 2 0 A 2 4 B 2 4 C 2 D 弧AB BC CD 所在圆的圆心分别是 1 0 1 2 1 曲线 1 M是弧AB 曲线 2 M是弧BC 曲线 3 M 是弧CD 1 分别写出 1 M 2 M 3 M的极坐标方程 2 曲线M由 1 M 2 M 3 M构成 若点P在 M 上 且 3OP 求 P 的极坐标 4 2019 天津理 12 设a R 直线20axy 和圆 22cos 12sin x y 为参数 相 切 则a的值为 2010 2018 年 1 2018 北京 在极坐标系中 直线cossin 0 a a 与圆 2cos 相切 则 a 2 2017 北京 在极坐标系中 点 A 在圆 2 2 cos4 sin40 上 点 P 的坐 标为 1 0 则 AP的最小值为 3 2017 天津 在极坐标系中 直线4 cos 10 6 与圆2sin 的公共点的个 数为 4 2016 北京 在极坐标系中 直线cos3 sin10 与圆2cos 交于 A B 两点 则 AB 5 2015 广东 已知直线l的极坐标方程为2 sin 2 4 点 的极坐标为 7 2 2 4 则点 到直线l的距离为 6 2015 安徽 在极坐标系中 圆8sin 上的点到直线 3 R 距离的最大值 是 7 2018 全国卷 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C的方程为 2yk x 以坐标原点为极点 x轴正半轴 为极轴建立极坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 cos30 1 求 2 C的直角坐标方程 2 若 1 C与 2 C有且仅有三个公共点 求 1 C的方程 8 2018 全国卷 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程为 2cos 4sin x y 为参数 直线l的参数 方程为 1cos 2sin xt yt t为参数 1 求C和l的直角坐标方程 2 若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为 1 2 求l的斜率 9 2018 全国卷 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在平面直角坐标系xOy中 O的参数方程为 cos sin x y 为参数 过点 0 2 且倾斜角为 的直线l与O交于A B两点 1 求 的取值范围 2 求AB中点P的轨迹的参数方程 10 2018 江苏 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在极坐标系中 直线l的方程为 sin 2 6 曲线C的方程为4cos 求直线l 被曲线C截得的弦长 11 2017 新课标 在直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程为 3cos sin x y 为参数 直线l的参数方程为 4 1 xat yt t为参数 1 若1a 求C与l的交点坐标 2 若C上的点到l距离的最大值为17 求a 12 2017 新课标 在直角坐标系xOy中 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立 极坐标系 曲线 1 C 的极坐标方程为cos4 1 M为曲线 1 C上的动点 点P在线段OM上 且满足 16OMOP 求点P的 轨迹 2 C的直角坐标方程 2 设点A的极坐标为 2 3 点B在曲线 2 C上 求OAB 面积的最大值 13 2017 新课标 在直角坐标系xOy中 直线 1 l的参数方程为 2xt ykt t为参数 直线 2 l的参数方程为 2xm m y k m为参数 设 1 l与 2 l的交点为P 当k变化时 P 的轨迹为曲线C 1 写出C的普通方程 2 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 设 3 l cossin 20 M为 3 l与C的交点 求M的极径 14 2017 江苏 在平面坐标系中xOy中 已知直线l的参考方程为 8 2 xt t y t为参数 曲线C的参数方程为 2 2 2 2 xs ys s为参数 设P为曲线C上的动点 求点P到直 线l的距离的最小值 15 2016 年全国 I 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C的参数方程为 cos 1sin xat yat t 为参 数 a 0 在以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 2 C 4cos I 说明 1 C是哪种曲线 并将 1 C的方程化为极坐标方程 II 直线 3 C的极坐标方程为 0 a 其中 0 a满足 0 tan 2a 若曲线 1 C与 2 C的公共点 都在 3 C 上 求 a 16 2016 年全国 II 在直角坐标系xOy中 圆 C 的方程为 2 2 625xy I 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 求 C 的极坐标方程 II 直线 l 的参数方程是 cos sin xt yt t 为参数 l 与 C 交于 A B 两点 10AB 求 l 的斜率 17 2016 年全国 III 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C的参数方程为 3cos sin x y 为 参数 以坐标原点为极点 以 x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线 2 C的极坐标 方程为sin 2 2 4 写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程 设点 P 在 1 C上 点 Q 在 2 C上 求 PQ的最小值及此时 P 的直角坐标 18 2016 江苏 在平面直角坐标系xOy中 已知直线l的参数方程为 1 1 2 3 2 xt t yt 为参数 椭圆C的参数方程为 cos 2sin x y 为参数 设直线l与椭圆C相交于 A B两点 求线 段AB的长 19 2015 新课标 在直角坐标系xOy中 直线 1 C 2x 圆 2 C 22 1 2 1xy 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求 1 C 2 C的极坐标方程 若直线 3 C的极坐标方程为 4 R 设 2 C与 3 C的交点为M N 求 2 C MN 的面积 20 2015 新课标 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C cos sin xt yt t为参数 t 0 其中0 在以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 2 C 2sin 3 C 2 3cos 求 2 C与 3 C交点的直角坐标 若 1 C与 2 C相交于点 A 1 C与 3 C相交于点 B 求 AB的最大值 21 2015 江苏 已知圆 C 的极坐标方程为 2 2 2 sin 40 4 求圆 C 的半径 22 2015 陕西 在直角坐标系xOy中 直线l的参数方程为 1 3 2 3 2 xt yt t为参数 以 原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 C的极坐标方程为2 3sin 写出 C的直角坐标方程 P为直线l上一动点 当P到圆心C的距离最小时 求P的直角坐标 23 2014 新课标 已知曲线C 22 1 49 xy 直线l 2 22 xt yt t为参数 写出曲线C的参数方程 直线l的普通方程 过曲线C上任一点P作与l夹角为 o 30的直线 交l于点A 求 PA的最大值与 最小值 24 2014 新课标 在直角坐标系xOy中 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极 坐标系 半圆 C 的极坐标方程为2cos 0 2 求 C 的参数方程 设点 D 在 C 上 C 在 D 处的切线与直线 32l yx 垂直 根据 中你得 到的参数方程 确定 D 的坐标 25 2013 新课标 已知曲线 1 C的参数方程为 45cos 55sin xt yt t为参数 以坐标原点为 极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为2sin 把 1 C的参数方程化为极坐标方程 求 1 C与 2 C交点的极坐标 0 02 26 2013 新课标 已知动点P Q都在曲线C 2cos 2sin x y 为参数 上 对应 参数分别为 与2 02 M为PQ的中点 求M的轨迹的参数方程 将M到坐标原点的距离d表示为 的函数 并判断M的轨迹是否过坐标原点 27 2012 新课标 已知曲线 1 C的参数方程是 sin3 cos2 y x 为参数 以坐标原点为极 点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 2 C的极坐标方程是2 正方形ABCD 的顶点都在 2 C上 且A B C D依逆时针次序排列 点A的极坐标为 3 2 求点A B C D的直角坐标 设P为 1 C上任意一点 求 2222 PDPCPBPA 的取值范围 28 2011 新课标 在直角坐标系xOy 中 曲线 1 C的参数方程为 2cos 22sin x y 为参 数 M 是 1 C上的动点 P点满足2OPOM uu u vuuuv P点的轨迹为曲线 2 C 求 2 C的方程 在以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 射线 3 与 1 C的异于极点 的交点为 A 与 2 C的异于极点的交点为 B 求AB 专题十五 坐标系与参数方程 第四十一讲 坐标系与参数方程 答案部分 2019 年 1 解析解析 1 因为 2 2 1 11 1 t t 且 2 2 22 2 22 2 14 1 21 1 ytt x t t 所以C的直角 坐标方程为 2 2 1 1 4 y xx l的直角坐标方程为23110 xy 2 由 1 可设C的参数方程为 cos 2sin x y 为参数 C上的点到l的距离为 4cos11 2cos2 3sin11 3 77 当 2 3 时 4cos11 3 取得最小值7 故C上的点到l距离的最小值为7 2 解析解析 1 因为 00 M 在C上 当 0 3 时 0 4sin2 3 3 由已知得 cos2 3 OPOA 设 Q 为l上除P的任意一点 在RtOPQ 中cos 2 3 OP 经检验 点 2 3 P 在曲线cos2 3 上 所以 l的极坐标方程为cos2 3 2 设 P 在RtOAP 中 cos4cos OPOA 即 4cos 因为P在线段OM上 且APOM 故 的取值范围是 4 2 所以 P点轨迹的极坐标方程为4cos 4 2 3 解析解析 1 由题设可得 弧 AB BC CD所在圆的极坐标方程分别为 2cos 2sin 2cos 所 以 1 M的 极 坐 标 方 程 为 2 c o s0 4 剟 2 M的 极 坐 标 方 程 为 3 2 s i n 44 剟 3 M的极坐标方程为 3 2cos 4 剟 2 设 P 由题设及 1 知 若 0 4 剟 则2cos 3 解得 6 若 3 44 剟 则2sin 3 解得 3 或 2 3 若 3 4 剟 则 2cos3 解得 5 6 综上 P的极坐标为 3 6 或 3 3 或 2 3 3 或 5 3 6 4 解析解析 由圆的参数方程 可得圆的普通方程为 22 214xy 因为直线20axy 和圆相切 所以圆心 2 1到直线20axy 的距离 2 21 2 2 1 a dr a 解得 3 4 a 2010 2018 年 1 12 解析 利用cosx siny 可得直线的方程为0 xya 圆 的方程为 22 1 1xy 所以圆心 1 0 半径1r 由于直线与圆相切 故圆心 到直线的距离等于半径 即 1 1 2 a 12a 或12 又0a 12a 2 1 解析 圆的普通方程为 22 2440 xyxy 即 22 1 2 1xy 设圆心为 1 2 C 所以 min 2 1 1APPCr 3 2 解析 直线的普通方程为2 3210 xy 圆的普通方程为 22 1 1xy 因为圆心到直线的距离 3 1 4 d 所以有两个交点 4 2 解析 将cos3 sin10 化为直角坐标方程为310 xy 将 2cos 化为直角坐标方程为 22 1 1xy 圆心坐标为 1 0 半径 r 1 又 1 0 在直线 310 xy 上 所以 AB 2r 2 5 5 2 2 解析 由2 sin 2 4 得 2 2 sincos 2 2 所以1yx 故直线l的直角坐标方程为10 xy 而点 7 2 2 4 A 对应的直角坐标为 2 2 A 所以点 2 2 A 到直线l 10 xy 的距离为 2 2 1 5 2 22 6 6 解析 圆8sin 即 2 8 sin 化为直角坐标方程为 22 4 16xy 直线 3 则tan3 化为直角坐标方程为30 xy 圆心 0 4 到直线 的距离为 4 2 4 所以圆上的点到直线距离的最大值为 6 7 解析 1 由cosx siny 得 2 C的直角坐标方程为 22 1 4xy 2 由 1 知 2 C是圆心为 1 0 A 半径为2的圆 由题设知 1 C是过点 0 2 B且关于y轴对称的两条射线 记y轴右边的射线为 1 l y 轴左边的射线为 2 l 由于B在圆 2 C的外面 故 1 C与 2 C有且仅有三个公共点等价于 1 l与 2 C只有一个公共点且 2 l与 2 C有两个公共点 或 2 l与 2 C只有一个公共点且 1 l与 2 C有两 个公共点 当 1 l与 2 C只有一个公共点时 A到 1 l所在直线的距离为2 所以 2 2 2 1 k k 故 4 3 k 或0k 经检验 当0k 时 1 l与 2 C没有公共点 当 4 3 k 时 1 l与 2 C只有一个公共点 2 l 与 2 C有两个公共点 当 2 l与 2 C只有一个公共点时 A到 2 l所在直线的距离为2 所以 2 2 2 1 k k 故0k 或 4 3 k 经检验 当0k 时 1 l与 2 C没有公共点 当 4 3 k 时 2 l与 2 C没有公共点 综上 所求 1 C的方程为 4 2 3 yx 8 解析 1 曲线C的直角坐标方程为 22 1 416 xy 当cos0 时 l的直角坐标方程为tan2tan yx 当cos0 时 l的直角坐标方程为1 x 2 将l的参数方程代入C的直角坐标方程 整理得关于t的方程 22 1 3cos 4 2cossin 80 tt 因为曲线C截直线l所得线段的中点 1 2 在C内 所以 有两个解 设为 1 t 2 t 则 12 0 tt 又由 得 12 2 4 2cossin 1 3cos tt 故2cossin0 于是直线l的斜率 tan2 k 9 解析 1 O的直角坐标方程为 22 1xy 当 2 时 l与O交于两点 当 2 时 记tank 则l的方程为2ykx l与O交于两点当且仅当 2 2 1 1k 解得1k 或1k 即 4 2 或 24 综上 的取值范围是 44 2 l的参数方程为 cos 2sin xt t yt 为参数 44 设A B P对应的参数分别为 A t B t P t 则 2 AB P tt t 且 A t B t满足 2 2 2 sin10tt 于是2 2sin AB tt 2sin P t 又点P的坐标 x y满足 cos 2sin P P xt yt 所以点P的轨迹的参数方程是 2 sin2 2 22 cos2 22 x y 为参数 44 10 C 解析 因为曲线C的极坐标方程为 4cos 所以曲线C的圆心为 2 0 直径为 4 的圆 因为直线l的极坐标方程为 sin 2 6 则直线l过 4 0 A 倾斜角为 6 所以 A 为直线l与圆C的一个交点 设另一个交点为 B 则 OAB 6 连结 OB 因为 OA 为直径 从而 OBA 2 x B O A l 所以 4cos2 3 6 AB 因此 直线l被曲线C截得的弦长为2 3 11 解析 1 曲线C的普通方程为 2 2 1 9 x y 当1a 时 直线l的普通方程为430 xy 由 2 2 430 1 9 xy x y 解得 3 0 x y 或 21 25 24 25 x y 从而C与l的交点坐标为 3 0 21 24 25 25 2 直线l的普通方程为440 xya 故C上的点 3cos sin 到l的距离为 3cos4sin4 17 a d 当4a 时 d的最大值为 9 17 a 由题设得 9 17 17 a 所以8a 当4a 时 d的最大值为 1 17 a 由题设得 1 17 17 a 所以16a 综上 8a 或16a 12 解析 1 设P的极坐标为 0 M的极坐标为 1 1 0 由椭圆知 OP 1 4 cos OM 由 16OMOP 得 2 C的极坐标方程4cos 0 因此 2 C的直角坐标方程为 22 2 4 0 xyx 2 设点B的极坐标为 B 0 B 由题设知 2OA 4cos B 于是 OAB 面积 1 sin 2 B SOAAOB 4cos sin 3 3 2 sin 2 32 23 当 12 时 S取得最大值23 所以OAB 面积的最大值为23 13 解析 1 消去参数t得 1 l的普通方程 lyk x 1 2 消去参数m得 2 l的普通方程 lyx k 2 1 2 设 P x y 由题设得 yk x yx k 2 1 2 消去k得 xyy 22 40 所以C的普通方程为 xyy 22 40 2 C的极坐标方程为 cossin 222 4 0 2 联立 cossin cossin 222 4 2 0 得 cossincossin 2 故tan 1 3 从而cossin 22 91 1010 代入 cossin 222 4得 2 5 所以交点M的极径为5 14 解析 直线l的普通方程为 280 xy 因为点P在曲线C上 设 2 2 2 2 Pss 从而点P到直线l的的距离 22 22 24 28 2 2 4 5 1 2 sss d 当 2s 时 min 4 5 5 d 因此当点P的坐标为 4 4 时 曲线C上点P到直线l的距离取到最小值 4 5 5 15 解析 1 cos 1sin xat yat t均为参数 2 22 1xya 1 C为以 01 为圆心 a为半径的圆 方程为 222 210 xyya 222 sinxyy 22 2 sin10a 即为 1 C的极坐标方程 2 2 4cosC 两边同乘 得 2222 4 coscosxyx 22 4xyx 即 2 2 24xy 3 C 化为普通方程为2yx 由题意 1 C和 2 C的公共方程所在直线即为 3 C 得 2 4210 xya 即为 3 C 2 10a 1a 16 解析 整理圆的方程得 22 12110 xy 由 222 cos sin xy x y 可知圆C的极坐标方程为 2 12 cos110 记直线的斜率为k 则直线的方程为0kxy 由垂径定理及点到直线距离公式知 2 2 610 25 2 1 k k 即 2 2 3690 14 k k 整理得 2 5 3 k 则 15 3 k 17 解析 1 C的普通方程为 2 2 1 3 x y 2 C的直角坐标方程为40 xy 由题意 可设点P的直角坐标为 3cos sin 因为 2 C是直线 所以 PQ 的最小值 即为P到 2 C的距离 d 的最小值 3cossin4 2 sin 2 32 d 当且仅当2 6 kkZ 时 d 取得最小值 最小值为2 此时P的直角坐标为 3 1 2 2 18 解析 椭圆C的普通方程为 2 2 1 4 y x 将直线l的参数方程 1 1 2 3 2 xt yt 代入 2 2 1 4 y x 得 2 2 3 1 2 1 1 24 t t 即 2 7160tt 解得 1 0t 2 16 7 t 所以 12 16 7 ABtt 19 解析 因为cos sinxy 1 C的极坐标方程为cos2 2 C的极坐标方程为 2 2 cos4 sin40 将 4 代入 2 2 cos4 sin40 得 2 3 240 解得 1 2 2 2 2 MN 1 2 2 因为 2 C的半径为 1 则 2 C MN的面积 o 1 2 1 sin45 2 1 2 20 解析 曲线 2 C的直角坐标方程为 22 20 xyy 曲线 3 C的直角坐标方程为 22 2 30 xyx 联立 22 22 20 2 30 xyy xyx 解得 0 0 x y 或 3 2 3 2 x y 所以 2 C与 1 C交点的直角坐标为 0 0 和 3 3 22 曲线 1 C的极坐标方程为 0 R 其中0 因此A得到极坐标为 2sin B的极坐标为 2 3cos 所以2sin2 3cosAB 4in 3 s 当 5 6 时 AB取得最大值 最大值为4 21 解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 以极轴为x轴的正半轴 建 立直角坐标系xoy 圆C的极坐标方程为 2 22 2 2sincos40 22 化简 得 2 2 sin2 cos40 则圆C的直角坐标方程为 22 2240 xyxy 即 22 116xy 所以圆C的半径为6 22 解析 由 2 2 3sin 2 3 sin 得 从而有 2 222 2 3 33xyyxy 所以 设 13 3t t C 0 3 22 P 又 则 2 2 2 13 PC 3312 22 ttt 故当t 0 时 PC 取最小值 此时P点的直角坐标为 3 0 23 解析 2cos 3sin x y I 曲线C的参数方程为为参数 60 lxy 直线的普通方程为2 5 分 cossinl 曲线C上任意一点P 2 3 到的距离为 5 4cos3sin6 5 d 2 54 5sin 6 tan sin3053 d